Théorème de Liouville : problème de compréhension

[invite00e7f0bd]

Bonjour,

Le théorème de Liouville ( ici, page 986 )dit que le volume de l'espace se conserve : .
Les coordonnées et s'écrivent au premier ordre en :

• 
• 

et les éléments du jacobien sont

• 
• 
• 
• 

Ensuite, il est dit que les éléments non diagonaux sont proportionnels à .

Ma question est : je ne vois pas comment ?
Pour moi, si alors , puisque aucun terme en "j" n'apparaît dans ?????
Il y a quelque chose qui m'échappe mais je ne sais pas quoi.


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[gatsu]

Salut,

La seule chose que tu saches en mécanique hamiltonienne c'est que , et .

Cela ne te permet pas de conclure que si il me semble.

[invite00e7f0bd]

Salut,

Merci.
Oui, apparemment cela ne doit pas être nul.
En fait, c'est quand je fais le calcul que j'ai un problème:

[gatsu]

Oui mais tu te moques de ce que valent ces dérivées dans les termes non diagonaux parce qu'ils sont proportionnels à . Ils ne contribuent pas à la valeur du déterminant (car ils ne donnent que des termes d'ordre dans le déterminant) ou plus précisément le truc important est qu'il ne contribuent pas à



indépendament de l'ordre auquel tu as décidé de faire le développement des q' et p'.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00e7f0bd]

Oui, c'est vrai: comme tu dis, ils s'éliminent.

Merci pour les explications

[invite00e7f0bd]

En fait, j'ai pensé après coup, le volume de phase se conserve au premier ordre en .
Mais qu'en est-il aux ordres supérieurs?
Est-ce que le volume se conserve aussi à long terme ?
Parce qu'avec le mouvement brownien, les points de phase n'ont-ils pas tendance à diffuser ?

[gatsu]

En fait, j'ai pensé après coup, le volume de phase se conserve au premier ordre en .
Mais qu'en est-il aux ordres supérieurs?
Est-ce que le volume se conserve aussi à long terme ?
Parce qu'avec le mouvement brownien, les points de phase n'ont-ils pas tendance à diffuser ?

En dynamique hamiltonienne le volume de l'espace des phases se conserve quelque soit le temps considéré. Le mouvement Brownien est different parce qu'il oublie volontairement des degrés de liberté dans le système et se focalise sur ceux qui sont "intéressants"...mais comme les degrés de liberté oubliés sont beaucoup plus nombreux que ceux auxquels on s'intéresse, ils jouent le role d'un thermostat qui est équivalent à une sorte de théorème de Liouville "flou" puisque l'énergie n'est pas exactement conservée mais est statistiquement conservée.

[invitef17c7c8d]

Une analogie particulièrement significative pour comprendre le théorème de liouville est celle entre l'équation du théorème de Liouville
et l'équation de la conservation de la masse de la particule en mécanique des milieux continus, à savoir

Ces deux équations ne diffèrent que par leur membre de droite.
EN Mécanique des milieux continus, la variation de la densité est équilibrée par l'apport de masse extérieur.
Dans le théorème de liouville, tout ce qui entre soit ressort soit s'accumule. Cette accumulation peut se comprendre comme étant la conséquence du désordre ou de l'entropie.

[invite00e7f0bd]

Si je comprends bien:
Soit un volume de phase. Il se déforme dans le temps mais son volume est conservé. Il se déforme jusqu'à se répandre dans tous les états accessibles, comme une goutte de sirop dans un verre d'eau.
Cette déformation concerne aussi le "pavage" de l'espace de phase, de sorte que les points représentatifs ont toujours les mêmes coordonnées canoniques dans le temps.

En fait je comprends pas très bien
Si les points de phase ont toujours les mêmes coordonnées, comment peuvent-ils se déplacer dans l'espace des phases?
J'ai du mal à voir à quoi sert ( ou que représente ) le théorème de Liouville ?
Que représente l'espace des phases s'il se déforme avec le temps en suivant les points de phases?
Peut-être que j'ai pas compris ce qu'est l'espace des phases?
Ou alors, il y l'espace des phases qui se déforme dans un autre espace?

(c'est un peu tordu dans ma p'tite tête )

[gatsu]

Si je comprends bien:
Soit un volume de phase. Il se déforme dans le temps mais son volume est conservé. Il se déforme jusqu'à se répandre dans tous les états accessibles, comme une goutte de sirop dans un verre d'eau.
Cette déformation concerne aussi le "pavage" de l'espace de phase, de sorte que les points représentatifs ont toujours les mêmes coordonnées canoniques dans le temps.

En fait je comprends pas très bien
Si les points de phase ont toujours les mêmes coordonnées, comment peuvent-ils se déplacer dans l'espace des phases?
J'ai du mal à voir à quoi sert ( ou que représente ) le théorème de Liouville ?
Que représente l'espace des phases s'il se déforme avec le temps en suivant les points de phases?
Peut-être que j'ai pas compris ce qu'est l'espace des phases?
Ou alors, il y l'espace des phases qui se déforme dans un autre espace?

(c'est un peu tordu dans ma p'tite tête )

Ce n'est pas une affaire de coordonnés canoniques. Pour que le théorème de Liouville fasse sens il faut plutot imaginer un certains nombre de systèmes qui commencent dans avec des conditions initiales differentes dans l'espace des phases. Le théorème de Liouville dit simplement qu'à un instant t ultérieur si on compte le nombre de points differents dans l'espace des phases, on trouvera toujours le même nombre que celui de la condition initiale.

Dans un système dissipatif ce n'est pas le cas. Les trajectoires des differents systèmes vont converger rapidement vers un sous ensemble plus petit de trajectoires pour finir en un seul point.

[invitef17c7c8d]

L'accroissement de l'espace des phases ne peut réellement se comprendre qu'en connaissant un minimum de concepts mathématiques comme la théorie des ensembles ou la topologie.

Pour comprendre les mécanismes sous-jacents à un ensemble de particules, comme dans un gaz, il faut renoncer à une vision géométrique et au contraire apprendre à "regarder" de façon topologique.

Henri poincaré, encore lui, est à l'origine de l'algèbre topologique.
Cette algèbre se prète merveilleusement à l'étude des gaz!

[invite00e7f0bd]

Maintenant, je crois que je comprends mieux, surtout en comparant avec les processus irréverssibles, ca me permet de positionner le thm de Liouville dans un contexte plus général.

Pour l'instant, je crois que vais continuer à me concentrer sur la phy stat au lieu de me plonger dans un cours de topologie algébrique, sinon je crois que je vais faire comme les systèmes dissipatifs et ne plus vérifier le théorème de Liouville (mais si je trouve une occasion je vais y penser)



Merci pour les explications !