Notation de dirac - braket

[invitef1bc0a6d]

Bonjour à tous,

Nous avons commencé à étudier la mécanique quantique en cours.
Malheureusement je ne saisis par du tout ce qu'est la notation de Dirac (avec le bra et le ket).
Du coup, comme toutes les explications sont donnés avec cette notation et que je ne l'ai jamais vue auparavant, j'ai beaucoup de mal à comprendre.
C'est très dommage d'être bloqué à cause d'une notation.

Je me demandais si quelqu'un pouvait me l'expliquer de façon simple, car les informations trouvées sur internet sont très mathématiques et ne m'ont pas beaucoup aidé.

Merci!
-----

[invite39876]

Bonjour,
La notation de dirac illustre juste le phénomène de de refelxivité de L², c'est a dire que L² est isomorphe a son dual (topologique), et cette notation que je trouve personellement un peu maladroite, est juste une identification, on identifie une forme linéaire, à l'action d'un vecteur par produit scalaire, et donc une forme linéaire sera noté bra psi, pour dire qu'elle est juste le produit scalaire avec psi.
En gros tu vois les formes linéaires (continues) sur l'espace, comme l'espace lui meme.

Je me rend compte que mon explication est peut etre trop matheuse a ton gout.
Mais je ne sais pas trop comment te le dire autrement sans denaturer la notion.

[invite7ce6aa19]

Bonjour à tous,

Nous avons commencé à étudier la mécanique quantique en cours.
Malheureusement je ne saisis par du tout ce qu'est la notation de Dirac (avec le bra et le ket).
Du coup, comme toutes les explications sont donnés avec cette notation et que je ne l'ai jamais vue auparavant, j'ai beaucoup de mal à comprendre.
C'est très dommage d'être bloqué à cause d'une notation.

Je me demandais si quelqu'un pouvait me l'expliquer de façon simple, car les informations trouvées sur internet sont très mathématiques et ne m'ont pas beaucoup aidé.

Merci!

Bonjour,

Voici comment comprendre les bras et les kets

Tu écrits la multiplication

4*3 = 12

que tu interprètes comme 4 agit à droite sur 3 et donne 12

4 est un opérateur et 3 subit l'action de l'opérateur.

On aurait pu dire 3 est un opérateur qui agit à gauche sur 3 pour donner le même résultat 12.

Désormais on écrira ce produit:

<4|3> = 12 qui peut donc se lire dans les 2 sens.


Maintenant remplace 3 par une matrice colonne de n composantes et 4 par une matrice ligne de n composantes.

Le produit matriciel de ces 2 matrices représentent exactement le produit scalaire de 2 vecteurs W et V dont les composantes sont exprimées dans une base déterminée.

On écrira le produit scalaire sous la forme:

<W|V>

où V est représenté par un vecteur colonne et W par un vecteur ligne.

Cette notation condensée est très importante car le produit scalaire de 2 vecteurs ne dépende pas la représentation des vecteurs dans une base déterminée.

Les vecteurs auxquels tu es habitué sont des nombres réels. En MQ les composantes des vecteurs sont des nombres complexes. Cela ne change en rien les notations précédentes.


En résumé la notation <W|V> doit se lire et comprendre ainsi:

Le vecteur |W> est aussi opérateur noté <W| qui agit sur le vecteur |V> pour donner le scalaire <W|V>

Et réciproquement!!!


Rappel: le vecteur |V> est représenté par une matrice colonne alors que le vecteur <V| est représenté par une matrice ligne.

En plus Si une composante de |V> est a + I.b la composante correspondante de <V| est a - I.b

[invite6dffde4c]

Bonjour Mariposa.
Re-bienvenu parmi nous.
Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef17c7c8d]

Respect!

Voici comment comprendre les bras et les kets

Tu écrits la multiplication

4*3 = 12

que tu interprètes comme 4 agit à droite sur 3 et donne 12

4 est un opérateur et 3 subit l'action de l'opérateur.

On aurait pu dire 3 est un opérateur qui agit à gauche sur 3 pour donner le même résultat 12.

Désormais on écrira ce produit:

<4|3> = 12 qui peut donc se lire dans les 2 sens.

Cet aspect droite/gauche at-il un rapport avec la commutativité?

Cette notation condensée est très importante car le produit scalaire de 2 vecteurs ne dépende pas la représentation des vecteurs dans une base déterminée.

Je n'avais jamais fait gaffe à cela! Invariance du produit scalaire par changement de base.

Les vecteurs auxquels tu es habitué sont des nombres réels. En MQ les composantes des vecteurs sont des nombres complexes. Cela ne change en rien les notations précédentes.

car a.a*=un nombre réel, non?

En résumé la notation <W|V> doit se lire et comprendre ainsi:

Le vecteur |W> est aussi opérateur noté <W| qui agit sur le vecteur |V> pour donner le scalaire <W|V>

Et réciproquement!!!

Fantastique de synthèse: un opérateur ket est un vecteur bra et inversement.


Mariposa,
lorsqu'on a votre savoir, on arrête le jardinage et on nous abreuve de messages sur ce forum.
A ce niveau là de connaissance, c'est un devoir moral!

[Amanuensis]

Je n'avais jamais fait gaffe à cela! Invariance du produit scalaire par changement de base.

Attention au risque de confusion entre l'opération "produit scalaire" et le calcul usuel d'un produit scalaire.

Dans R², le produit scalaire de (1,0) et (0,1) dans une base orthonormée vaut 0, mais ces deux vecteurs ont pour composantes (1,0) et (1,-1) dans la base . Leur produit scalaire vaut quand même 0 (invariance), mais ne se calcule pas comme 1 x 1 + 0 x (-1)

[invite7ce6aa19]

Bonjour Mariposa.
Re-bienvenu parmi nous.
Cordialement,

Bonsoir à toi

Ce n'est qu'une courte apparition en attendant du temps disponible.

Mariposa

[invite7ce6aa19]

Respect!


Cet aspect droite/gauche a t-il un rapport avec la commutativité?

bonsoir,

Non cela n'a pas voir avec la propriété de commutation.

Je réponds en même temps à ta remarque suivante:

Fantastique de synthèse: un opérateur ket est un vecteur bra et inversement.

Le vecteur |V> appartient à un espace vectoriel que l'on notera E alors que le vecteur <W| appartient à un autre espace vectoriel (de même dimension) que l'on notera E*.

Ce qui veut dire qu'au vecteur |V> de E on fait correspondre un vecteur jumeaux noté <V| de E*.

On dit en mathématiques que E* est l'espace dual de E ou que <V| est le dual de |V>.


Pourquoi?

Bien sûr il y a des raisons profondes et facilement à comprendre si l'on prend le temps de la réflexion, à cela, les voici:


1- Si l'on veut respecter la règle de multiplication des matrices le produit scalaire exprimé en composantes doit être obligatoirement être le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne.

2- Si un vecteur comme |V> est représenté par une matrice colonne et un vecteur comme <W| par une matrice ligne alors il n'appartienne pas au même espace car matriciellement il est seulement possible d'ajouter des matrices ayant le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes, ce qui n'est pas le cas des vecteurs |V> et <W| qui donc appartiennent à des espaces vectoriels différents.

En résumé: le fait de vouloir écrire un produit scalaire de 2 vecteurs sous forme matricielle exige d'inventer un nouvel espace, l'espace dual pour respecter la règle d'addition des vecteurs.


Il y a donc le vecteur |V> de E et son vecteur dual <V| de E*


Voilà comment redécouvrir les inventions mathématiques.

Je n'avais jamais fait gaffe à cela! Invariance du produit scalaire par changement de base.

tu as du au lycée apprendre que le produit scalaire de 2 vecteurs, c'est le produit des 2 modules par le cosinus de l'angle. on voit ainsi que les composantes d'un vecteur dans un repère déterminé ne sont pas explicites car ni les modules, ni l'angle ne dépendent d'un quelconque repère.

car a.a*=un nombre réel, non?

Oui

Mariposa,
lorsqu'on a votre savoir, on arrête le jardinage et on nous abreuve de messages sur ce forum.
A ce niveau là de connaissance, c'est un devoir moral!

Bien sûr je ne suis pas indifférent au compliment. La justification de mes interventions sont justement le devoir moral de partager mes connaissances mais aussi un certain plaisir de voir que des choses plus ou moins difficiles peuvent être comprises par quiconque moyennant un temps de disponibilité. toutefois tu remarqueras que c'est loin d'être mon premier message.

[invitef17c7c8d]

Le vecteur |V> appartient à un espace vectoriel que l'on notera E alors que le vecteur <W| appartient à un autre espace vectoriel (de même dimension) que l'on notera E*.

Ce qui veut dire qu'au vecteur |V> de E on fait correspondre un vecteur jumeaux noté <V| de E*.

On dit en mathématiques que E* est l'espace dual de E ou que <V| est le dual de |V>.


Pourquoi?

Bien sûr il y a des raisons profondes et facilement à comprendre si l'on prend le temps de la réflexion, à cela, les voici:


1- Si l'on veut respecter la règle de multiplication des matrices le produit scalaire exprimé en composantes doit être obligatoirement être le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne.

2- Si un vecteur comme |V> est représenté par une matrice colonne et un vecteur comme <W| par une matrice ligne alors il n'appartienne pas au même espace car matriciellement il est seulement possible d'ajouter des matrices ayant le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes, ce qui n'est pas le cas des vecteurs |V> et <W| qui donc appartiennent à des espaces vectoriels différents.

En résumé: le fait de vouloir écrire un produit scalaire de 2 vecteurs sous forme matricielle exige d'inventer un nouvel espace, l'espace dual pour respecter la règle d'addition des vecteurs.


Il y a donc le vecteur |V> de E et son vecteur dual <V| de E*

L'approche algébrique de ta réponse permet effectivement de justifier l'existence de cet espace dual.
Géométriquement, pourrait-on dire que l'espace dual E* est orthogonal à E?
Par contre pourquoi ces espaces sont ils complexes?

tu as du au lycée apprendre que le produit scalaire de 2 vecteurs, c'est le produit des 2 modules par le cosinus de l'angle. on voit ainsi que les composantes d'un vecteur dans un repère déterminé ne sont pas explicites car ni les modules, ni l'angle ne dépendent d'un quelconque repère.

D'accord! Tel un couple d'amoureux qui se fiche du reste du monde...

[Amanuensis]

(...)

Il y a de quoi faire grincer les dents à plein d'endroits de ces explications. Mais puisque cela à l'heur de plaire, vraisemblablement à la majorité des lecteurs, ne gâchons pas le plaisir.

[inviteb836950d]

...vraisemblablement à la majorité des lecteurs...

ça c'est gratuit...

[Amanuensis]

ça c'est gratuit...

Basé sur des stats extrèmement limitées, je l'admets. Si le panel statistique grossit, il y aura moyen d'améliorer l'estimateur, y compris l'inverser.

[invite7ce6aa19]

L'approche algébrique de ta réponse permet effectivement de justifier l'existence de cet espace dual.
Géométriquement, pourrait-on dire que l'espace dual E* est orthogonal à E?

Ce n'est pas l'usage. on réserve l'expression orthogonalité a 2 vecteurs d'un même espace.

L'orthogonalité de 2 vecteurs nécessitent le choix d'un produit scalaire. Par contre l'existence du dual E* c'est presque une copie de E

Par contre pourquoi ces espaces sont ils complexes?

Tout dépend comment comprendre ta question.

Si elle relative aux mathématiques, c'est simple: Un espace vectoriel est défini par une loi externe qui est un corps. dans la MQ il s'agit du corps (qui est lui-même un espace vectoriel) des complexes.

Par contre le pourquoi du corps des complexes en MQ, cela n'est pas facile à expliquer, cela renvoie au pourquoi des espaces de Hilbert qui lui même renvoie ..... etc.....

[invitef17c7c8d]

Ce n'est pas l'usage. on réserve l'expression orthogonalité a 2 vecteurs d'un même espace.

L'orthogonalité de 2 vecteurs nécessitent le choix d'un produit scalaire. Par contre l'existence du dual E* c'est presque une copie de E

Oui d'accord, peut être alors que l'espace dual est une sorte d'espace "mirroir". Peut -être que la notion d'antisymétrie se prêterait mieux à sa description.

Tout dépend comment comprendre ta question.

Si elle relative aux mathématiques, c'est simple: Un espace vectoriel est défini par une loi externe qui est un corps. dans la MQ il s'agit du corps (qui est lui-même un espace vectoriel) des complexes.
Par contre le pourquoi du corps des complexes en MQ, cela n'est pas facile à expliquer, cela renvoie au pourquoi des espaces de Hilbert qui lui même renvoie ..... etc....

En fait, j'aurais aimé une réponse lapidaire du type "espace complexe car dualité onde/corpuscule" ou "espace complexe car relations d'incertitudes"

Que l'espace soit de dimension finie (spectre discret) ou infinie (spectre continu) ne me pose pas conceptuellement de problème, si l'on admet la notion d'états comme moyen de représentation.

[Amanuensis]

Que l'espace soit de dimension finie (spectre discret) ou infinie (spectre continu)

Intervention sur un point marginal, loin du sujet : un spectre peut être discret et "infini". C'est le cas du spectre d'énergie du classique exemple qu'est l'atome d'hydrogène...

[invite7ce6aa19]

Oui d'accord, peut être alors que l'espace dual est une sorte d'espace "mirroir". Peut -être que la notion d'antisymétrie se prêterait mieux à sa description.

Peu importe, les mots qui t'aideront à à comprendre. L'essentiel est de comprendre. L'usage est de parler d'espace dual, autant utiliser ce terme partagé par les physiciens et les mathématiciens.

Par contre tu pourrais regarder la présentation classique des mathématiciens. En 2 mots:


On montre qu'une application linéaire A qui agit sur les vecteurs d'un espace de départ DE de dimension n pour donner un vecteur d'un espace arrivé AR de dimension m peut elle-même (il s'agit de l'application) se décomposer linéairement en applications élémentaires.

Autrement dit les applications de DE vers AR forment également un espace vectoriel de dimension m.n. On a donc 3 espaces vectoriels.

Dans le cas où l'espace d'arrivée est de dimension 1 (c'est un réel) l'usage est de parler de forme linéaire (au lieu d'application linéaire). L'espace des formes linéaires de dimension n est l'espace dual.

Dans le langage de la MQ Le brat <W| est une forme linéaire qui agit sur le vecteur |V> etc....

En fait, j'aurais aimé une réponse lapidaire du type "espace complexe car dualité onde/corpuscule" ou "espace complexe car relations d'incertitudes"

Rien de tout çà. Les complexes dans la MQ est lié à la nécessité de dire la MQ en termes d'espace de Hilbert.

[invitef17c7c8d]

Par contre tu pourrais regarder la présentation classique des mathématiciens. En 2 mots: ...

Parfois, 2 mots valent mieux qu'un long discourt!

Sinon en réfléchissant sur tes messages, l'espace d'un instant, il m'a semblé percevoir un trait caractéristique du génie de Paul Dirac: celui de percevoir les symétries. Il me vient trois exemples:
1. Bra et Ket
2. Matière/antimatière
3 anticommutation : aa*-a*a n'est pas égal à 0

[Amanuensis]

Dans le cas où l'espace d'arrivée est de dimension 1 (c'est un réel) l'usage est de parler de forme linéaire (au lieu d'application linéaire). L'espace des formes linéaires de dimension n est l'espace dual.

Presque...

Dans le cas où l'espace d'arrivée est le corps K (celui tel que DE est un K-espace vectoriel ; K est souvent R ou C, et C en PhyQ), qui est un K-espace vectoriel de dimension 1, l'usage est de parler de forme linéaire (au lieu d'application linéaire). L'espace vectoriel des formes linéaires sur DE (les applications linéaires de DE dans K) est l'espace dual de DE.

Notons quand même qu'en PhyQ, on travaille souvent avec un sous-ensemble du dual (un sous-espace vectoriel du dual) plutôt que le dual, le dual topologique, comme mentionné correctement par Bloupou ; cette notion correspond à une contrainte de continuité.

La notation de Dirac a deux aspects. Le premier est juste une écriture particulière de , l'élément du corps résultat de l'application de la forme au vecteur , .

L'autre est la possibilité de noter une application linéaire avec la même étiquette que celle d'un vecteur, |V> et <V|. Cela n'a de sens que si l'espace vectoriel est muni d'un produit scalaire (d'une forme quadratique non dégénérée, plus généralement). Par convention, <V| est la forme linéaire qui appliquée à |W> donne comme résultat le produit scalaire en question (plus généralement le résultat de la forme quadratique en question).

Enfin, et c'est ce que soulignait Bloupou, dans certains cas toute forme linéaire du dual (ou seulement du dual topologique) peut s'écrire avec comme étiquette un vecteur. (On dit alors que l'espace vectoriel muni du produit scalaire (pour simplifier) est réflexif ; c'est toujours le cas quand l'espace vectoriel est de dimension finie, mais exceptionnellement le cas en dimension infinie.)

La notation de Dirac peut s'utiliser aussi pour des formes linéaires qui ne correspondent pas à un vecteur (dans le cas d'un espace non réflexif), par exemple si f est une fonction de R vers R (ces fonctions forment un R-espace vectoriel), est égal à f(x), le résultat de l'application linéaire "distribution de Dirac en x" à la fonction f. Dans un tel cas, a un sens, mais n'en a pas. Autrement dit, il est important de réaliser qu'il n'y a pas (toujours) symétrie entre bra et ket.

@Desperate Chemist

Cela est peut-être très "mathématique", mais il n'y a pas moyen de faire autrement. Le concept essentiel est celui de "forme linéaire", d'application linéaire d'un K-espace vectoriel vers K. On ne peut pas comprendre la notation de Dirac sans comprendre d'abord ce qu'est une forme linéaire.

[invitef17c7c8d]

Presque...


Notons quand même qu'en PhyQ, on travaille souvent avec un sous-ensemble du dual (un sous-espace vectoriel du dual) plutôt que le dual, le dual topologique, comme mentionné correctement par Bloupou ; cette notion correspond à une contrainte de continuité.

Un aspect important d'un ensemble topologique est que l'union de deux sous-ensembles quelconques appartient encore à l'ensemble. (Il en est de même pour l'intersection)
Est ce que le dual topologique vérifie cette propriété?
Il me semble d'ailleurs qu'un espace topologique est plus grand que l'espace de départ. C'est juste un problème combinatoire.

La notation de Dirac peut s'utiliser aussi pour des formes linéaires qui ne correspondent pas à un vecteur (dans le cas d'un espace non réflexif), par exemple si f est une fonction de R vers R (ces fonctions forment un R-espace vectoriel), est égal à f(x), le résultat de l'application linéaire "distribution de Dirac en x" à la fonction f. Dans un tel cas, a un sens, mais n'en a pas. Autrement dit, il est important de réaliser qu'il n'y a pas (toujours) symétrie entre bra et ket.

Peut-être que cela ne se vérifiait pour la fonction de Dirac, mais que justement Paul Dirac a postulé que cela se vérifiait...

[invitef17c7c8d]

Presque...


Notons quand même qu'en PhyQ, on travaille souvent avec un sous-ensemble du dual (un sous-espace vectoriel du dual) plutôt que le dual, le dual topologique, comme mentionné correctement par Bloupou ; cette notion correspond à une contrainte de continuité.

En tout cas, l'image de la déformation de l'espace en son dual tel celui du "donuts" en "tea cup" ajoute une impression dynamique du passage de l'un à l'autre.

[invite7ce6aa19]

Parfois, 2 mots valent mieux qu'un long discourt!

Sinon en réfléchissant sur tes messages, l'espace d'un instant, il m'a semblé percevoir un trait caractéristique du génie de Paul Dirac: celui de percevoir les symétries. Il me vient trois exemples:
1. Bra et Ket
2. Matière/antimatière
3 anticommutation : aa*-a*a n'est pas égal à 0

Bonjour,

Indéniablement Dirac était un génie, mais sur les 3 exemples que tu cites les symétries n'interviennent pas.


1- Bra et ket sont des notations, des commodités d'écriture qui ont fait leurs preuves et qui sont universellement utilisées en MQ voire même par certains mathématiciens.

Les concepts d'applications, d'opérateurs, de formes linéaires, bilinéaires etc....existaient bien avant Dirac et celui-ci les connaissaient parfaitement.


Au lieu d'utiliser les notations de Dirac, pour les kets tu mets une petite flèche dirigée vers la droite au-dessus de V (comme l'usage standard des vecteurs du lycée)et pour les bras tu mets une petite flèche dirigée vers la gauche au-dessus de V.

Ce genre de notation est parfois utilisé dans le contexte des tenseurs: le premier est un vecteur contravariant (par convention) et le deuxième un vecteur covariant.


2- La découverte conceptuelle du couple matière/antimatière est une conséquence de la tentative réussie d'écrire une équation de Schrodinger en version relativiste, connue aujourd'hui comme l'équation de Dirac.

Néanmoins, ce n'est pas l'essentiel apportée par de l'équation de Dirac: la révolution est qu'en MC il y a des particules (idéalisées comme des points) qui disparaissent en MQ (en fait TQC) pour devenir ce que l'on appelle des excitations élémentaires. En MQ il n'y a pas de particules!!!! ou du moins ce que l'on appelle "particule" n'a rien à voir avec les particules de la MC.

3-L'anticommutation est une autre affaire,

En très court:

On part de la formulation de la MQ en termes d’algèbre de Poisson et l'on représente cette algébre par des opérateurs agissant dans un espace Hilbert et en imposant des valeurs aux commutateurs des opérateurs une valeur ad'hoc.

Heureusement que l'on n'enseigne pas la MQ ainsi, mais cela est indispensable pour comprendre comment on peut quantifier la RG (c'est la démarche suivie par le programme LQG)

[invite7ce6aa19]

Bonjour,


Petit complément sous la forme d'une question pour comprendre la pertinence de l'écriture de Dirac:

<W|V> est donc un produit scalaire des vecteurs |V> et |W>

Que signifie?

|V><W|

Il ne suffit pas de donner la réponse (que certains connaissent) mais de justifier celle-ci.

A+

[invitef17c7c8d]

Bonjour,


Petit complément sous la forme d'une question pour comprendre la pertinence de l'écriture de Dirac:

<W|V> est donc un produit scalaire des vecteurs |V> et |W>

Que signifie?

|V><W|

Il ne suffit pas de donner la réponse (que certains connaissent) mais de justifier celle-ci.

A+

|V> est un vecteur
<W| est une forme linéaire

D'après ce que tu dis, un vecteur peut être vu comme une forme linéaire...
Donc |V>=<V| et de même <W|=|W> (une forme linéaire peut être vu comme un vecteur)
D'où |V><W|=<V||W> et peut-être que <V||W>=<V|W>

Mais le produit scalaire est symétrique, non ? Puisqu'une addition est commutative...


D'où |V><W| = <W|V> ?

[invite39876]

|V> est un vecteur
<W| est une forme linéaire

D'après ce que tu dis, un vecteur peut être vu comme une forme linéaire...
Donc |V>=<V| et de même <W|=|W> (une forme linéaire peut être vu comme un vecteur)
D'où |V><W|=<V||W> et peut-être que <V||W>=<V|W>

Mais le produit scalaire est symétrique, non ? Puisqu'une addition est commutative...


D'où |V><W| = <W|V> ?

Non, une forme linéaire n'est pas un vecteur de l'espace (de base), meme s'il y a une isomorphisme canonique entre les 2.
ici, la notation |v><w| est simplement une notation pour un "coefficient matriciel", c'est a dire l'application qui a un ket u associe <w|u>.|v>, c'est une projection sur |v>.

Pour le corps de base, un espace de hilbert n'est psa forcement complexe, tu peux tres bien etre sur R, en MQ on considère des espaces de Hilbert sur C (bon on fait souvent, a tort, comme s'il n'y en avait qu'un seul, et on l'appelle L'espace de Hilbert).

[invitef1bc0a6d]

Merci à vous tous pour ces réponses qui se complètent vraiment et m'ont beaucoup aidé!
Je vois que cette notation est loin d'être anodine.
A ce stade du cours de quantique, c'est dommage que la notation me complique la vie alors qu'elle est plutôt censée faciliter les calculs...
Finalement, comment traduire la notation <f|g> en notation "classique", lorsque f et g sont deux fonctions? Faut-il faire intervenir une intégrale?

[invite39876]

Merci à vous tous pour ces réponses qui se complètent vraiment et m'ont beaucoup aidé!
Je vois que cette notation est loin d'être anodine.
A ce stade du cours de quantique, c'est dommage que la notation me complique la vie alors qu'elle est plutôt censée faciliter les calculs...
Finalement, comment traduire la notation <f|g> en notation "classique", lorsque f et g sont deux fonctions? Faut-il faire intervenir une intégrale?

Oui, bien sur, si f et g sont des fonctions d'onde <f|g> c'est juste la produit scalaire

[invitef1bc0a6d]

Merci.
Je vais imprimer cette discussion et prendre le temps de l'étudier.
Je suis très content que mon message ait éveillé vos esprits mathématiques

[Amanuensis]

Oui, bien sur, si f et g sont des fonctions d'onde <f|g> c'est juste la produit scalaire

En réel, oui. En complexe, la forme quadratique doit être sesquilinéaire : manque une conjugaison.

[Amanuensis]

Non, une forme linéaire n'est pas un vecteur de l'espace (de base), meme s'il y a une isomorphisme canonique entre les 2.

Pas canonique. Le choix du produit scalaire est arbitraire, et ce choix est équivalent (dans le cas réflexif, sinon cela ne s'applique pas) au choix d'un isomorphisme.

[invite39876]

En complexe, la forme quadratique doit être sesquilinéaire : manque une conjugaison.

Exact! J'ai oublié une conjugaison, sur f ou g.