Representation du groupe de Lorrentz

[invite39876]

Bonjour,
Hier au cours d'une discussion avec un physicien, il m'a dit qu'il ne savait plus si toutes les representations du groupe de Poincaré etait somme de leur sous-representations irreductibles. Ca m'a beaucoup embeté parce que je croyais que toute representation etait somme de ses sous-representations irreductibles.
Alors de deux choses l'une, pourquoi cela pourrait il etre faux pour le groupe de Poincaré?
Est ce vrai ou faux pour le groupe de Poincaré? Et avez vous des exemples de groupes pour lesquels ce soit faux?
J.
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[mariposa]

Bonjour,
Hier au cours d'une discussion avec un physicien, il m'a dit qu'il ne savait plus si toutes les representations du groupe de Poincaré etait somme de leur representations irreductibles. Ca m'a beaucoup embeté parce que je croyais que toute representation etait somme de ces representations irreductibles.
Alors de deux choses l'une, pourquoi cela pourrait il etre faux pour le groupe de Poincaré?
Est ce vrai ou faux pour le groupe de Poincaré? Et avez vous des exemples de groupes pour lesquels ce soit faux?
J.

Bonjour,


Bizarre, Bizarre

En effet a une représentation irréductible Da d'une groupe G correspond un espace vectoriel Va de dimension Na.

La somme directe de plusieurs espaces vectoriels sous-tend une représentation réductible dont la dimension est la somme des dimensions des espaces vectoriels de type Va.

Pour moi ceci est vrai quelque soit le groupe, discret ou continu et donc vrai pour le groupe de Poincaré.

[invite39876]

Ah oui mais la vous prenez une representation qui est deja somme de ses sous representations irreductibles (puisque vous la construisez comme tel).

Si vous prenez V une representation quelconque, le probleme est different.
Mais c'est vrai que moi aussi je pensais que c'etait vrai pour tout groupe et toute representation.

[mariposa]

Ah oui mais la vous prenez une representation qui est deja somme de ses sous representations irreductibles (puisque vous la construisez comme tel).

Si vous prenez V une representation quelconque, le probleme est different.
Mais c'est vrai que moi aussi je pensais que c'etait vrai pour tout groupe et toute representation.

Le contraire est vrai:

Soit une représentation à priori réductible d'un groupe on sait la décomposer en représentations irréductibles de ce même groupe.

A ce propos il y a une confusion entre la notion de groupe de Lorenz qui est dans ton titre et qui est (O1,3)

et le groupe de Poincaré qui est le produit semi-directe du groupe Lorenz par le groupe des translations spatio-temporelles T4.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39876]

Le contraire est vrai:

Soit une représentation à priori réductible d'un groupe on sait la décomposer en représentations irréductibles de ce même groupe.

A ce propos il y a une confusion entre la notion de groupe de Lorenz qui est dans ton titre et qui est (O1,3)

et le groupe de Poincaré qui est le produit semi-directe du groupe Lorenz par le groupe des translations spatio-temporelles T4.

Ah oui dans mon titre j'ai mis lorrentz, erreur d'inattention, je parle bien de groupe de Poincaré, pas du groupe de Lorrentz.
Et non, enfin d'apres ce que m'a dit ce physicien, toute representation n'est pas somme directe de ses sous representations irreductibles.

[mariposa]

Ah oui dans mon titre j'ai mis lorrentz, erreur d'inattention, je parle bien de groupe de Poincaré, pas du groupe de Lorrentz.
Et non, enfin d'apres ce que m'a dit ce physicien, toute representation n'est pas somme directe de ses sous representations irreductibles.

il faudrait que tu demandes au physicien des précisions argumentées, car moi aussi je suis physicien et j'ai une longue expérience de la représentation des groupes.


Bien entendu il est fort possible que quelque chose m'ait totalement échappé. J'espère que l'on aura l'opportunité de reprendre ce point.


A+

[invite39876]

En fait, j'ai trouvé un exemple, pas avec le groupe de Poincaré lui meme, mais avec R (qui en est un sous groupe).
Si on regarde la representation de R suivante , dans Gl(2,C).
Alors elle n'est pas, me semble t il, somme de ses sous representations irreductibles.

[mariposa]

En fait, j'ai trouvé un exemple, pas avec le groupe de Poincaré lui meme, mais avec R (qui en est un sous groupe).
Si on regarde la representation de R suivante , dans Gl(2,C).
Alors elle n'est pas, me semble t il, somme de ses sous representations irreductibles.

Effectivement, cette représentation n'est pas réductible.

Sur cet exemple tu sauras mieux que moi l'expliquer.

a mon avis cela provient du fait que ton groupe R n'est pas compacte (comme l'est le groupe de Poincaré).

Cela doit être relié au fait également que ta matrice n'est visiblement pas diagonalisable.

Une autre question: En général au ramène tout, en physique, à des représentations unitaires (est-ce toujours possibles?). Je ne sais plus pourquoi mais il y a peut-être une difficulté

avec les groupes non compactes.


Bref je compte sur toi, en tant que mathématicienne, pour mettre de l'ordre dans tout çà et m'éclairer.

[invite39876]

Ben elle est pas somme de ses sous representations irreductibles car la seule sous representation qu'elle a est engendrée par e1.
Oui, ca vient du fait que R n'est pas compact, puisque c'est vrai pour les groupes compacts par l'existence d'une mesure de Haar.

Par contre je ne suis pas du tout mathématicienne (je ne suis pas asse douée pour ca :s), je suis physicienne (du moins j'essaie).

Mais effectivement toute representation n'est pas forcement "unitarisable". Par exemple celle que j'ai donnée ne l'est pas.

Mais apres, je suis etonnée, j'etais persuadée, comme vous que toute representation etait somme de ses sous representations irreductibles.

[mariposa]

Ben elle est pas somme de ses sous representations irreductibles car la seule sous representation qu'elle a est engendrée par e1.
Oui, ca vient du fait que R n'est pas compact, puisque c'est vrai pour les groupes compacts par l'existence d'une mesure de Haar.

Par contre je ne suis pas du tout mathématicienne (je ne suis pas asse douée pour ca :s), je suis physicienne (du moins j'essaie).

Mais effectivement toute representation n'est pas forcement "unitarisable". Par exemple celle que j'ai donnée ne l'est pas.

Mais apres, je suis etonnée, j'etais persuadée, comme vous que toute representation etait somme de ses sous representations irreductibles.

Finalement on est bien d'accord et l'on a apprit quelque chose ensemble. C'est sympa!!

[invite39876]

Oui, mais je ne sais toujours pas si c'est vrai pour le groupe de Poincaré ou pas.

[mariposa]

Oui, mais je ne sais toujours pas si c'est vrai pour le groupe de Poincaré ou pas.

Pourtant si.

Le groupe de Poincaré n'est pas compact et donc......

[invite39876]

Bah non, ce n'est pas parce qu'il est pas compact que ses representations ne sont pas toutes sommes de ses ss representations irreductibles.

Si le groupe est non compact il est possible que ca ne soit pas le cas, mais ca peut aussi etre le cas.

[invite39876]

Par exemple le groupe des matrices symplectiques réelles de taille 2n, est non compact et chacune de ses representations est somme de ses sous representations irreductibles.

[mariposa]

Par exemple le groupe des matrices symplectiques réelles de taille 2n, est non compact et chacune de ses representations est somme de ses sous representations irreductibles.

OK,

Et donc quelles sont les conditions a remplir sur le groupe ou sur ses représentations pour que la réductibilité soit possible.

[invite39876]

Ca je n'en sais rien, je ne sais meme pas si c'est su en general (en fait pour avoir parcouru le net cet apres midi la dessus, j'ai l'impression qu'on le sait dans certains cas).
En fait j'ai l'impression que pour les groupes de Lie connexes, cela revient a se demander si l'agbère de Lie est semi simple, et ca c'est connu.
Mais par exemple pour les groupes de Lie non connexes, par exemple Z, etudier l'agèbre de Lie n'est d'aucun secours.

(en fait tout tourne autour de cette notion de semi simplicité, que je ne connaissais pas).

[mariposa]

Ca je n'en sais rien, je ne sais meme pas si c'est su en general (en fait pour avoir parcouru le net cet apres midi la dessus, j'ai l'impression qu'on le sait dans certains cas).
En fait j'ai l'impression que pour les groupes de Lie connexes, cela revient a se demander si l'agbère de Lie est semi simple, et ca c'est connu.
Mais par exemple pour les groupes de Lie non connexes, par exemple Z, etudier l'agèbre de Lie n'est d'aucun secours.

(en fait tout tourne autour de cette notion de semi simplicité, que je ne connaissais pas).

Ok,

Au hasard de mes lectures j'essaierais de trouver s'il n'existe pas la réponse toute faite. Sinon la question peut-être posée. Je genre de questions est en dehors de mes limites de compétences.

[invite39876]

Ok, comme j'ai dit on a la reponse dans pas mal de cas, par exemple c'est le cas de tous les groupes semi simples, en fait c'est plus generalement le cas des groupes reductifs (bon je connais rien a ce sujet, mais apparement il existe une litterature tres abondante dessus).

[invite58a61433]

Juste un indice en passant (je n'ai pas les idées bien claires en tête donc je préfère pas me lancer dans des explications foireuses) mais vous devriez regardez du coté des représentations indécomposables. Et j'ai comme exemple en tête le groupe conforme à 2D pour lequel les représentations ne sont pas toutes des sommes de représentations irréductibles (évidemment ce n'est peut-être pas l'exemple le plus simple). Mais j'imagine (devine) qu'au moins quand le groupe est localement compact on doit avoir la même propriété que pour les groupes compacts.

[invite58a61433]

en fait tout tourne autour de cette notion de semi simplicité, que je ne connaissais pas

En fait oui c'est bien ça je crois, sur le coup j'ai pas tilté mais dans mon cours sur les algèbres de Lie mon prof a dit un truc vague en fin de cours comme quoi les algèbres de Lie semi-simples avaient toujours des représentations décomposables (et donc la notion doit s'étendre aux groupes associés par simple exponentiation). En particulier, on a montré qu'une représentation donnée de l'algèbre de Lie était indécomposable par l'absurde en montrant que si elle était décomposable (réductible) alors L devait être semi-simple ce qui n'est évidemment pas le cas (L étant abélienne).

[invite39876]

Tiens magnétar, comme tu as l'air de t'y connaitre en representations de groupe, pourrait tu me dire (ou m'indiquer un ouvrage) pourquoi dit on que la théorie des representations de groupe generalise l'analyse de Fourier, j'ai entendu ceci moultes fois dans mon cours de theorie des representations, mais j'ai jamais vraiment capté pourquoi.

[invite58a61433]

C'est très gentil de ta part mais malheureusement j'ai pas l'impression de m'y connaitre plus que toi (la preuve en est mon cafouillage vaguement imprécis juste au dessus). En ce qui concerne l'histoire de l'analyse de Fourier et de sa généralisation j'ai entendu la même chose que toi (ce qui est déjà bon signe) il y a un certain temps déjà (3 ans maintenant) et la preuve que je n'avais probablement pas bien compris pourquoi à l'époque c'est que j'ai oublié, cependant je penserai à toi si je retrouve la réponse (qui j'imagine ne doit pas être si compliquée).

[invite58a61433]

Bon j'ai trouve un truc hier soir qui valide l'idee selon laquelle la theorie des representations de groupe generalise la transformee de Fourier. Deja on peut voir les fonctions 2pi-periodiques comme fonction sur , or c'est U(1) topologiquement. En second lieu il y a un truc qui m'avait intuitivement indique la voie : les representations irreductibles de U(1) sont indexees par un entier n envoie un element de U(1) (une fois donnee une parametrisation) vers . Hors cela ressemble beaucoup aux vecteurs de base des series de Fourier, bref on sent bien qu'il y a quelque chose...

Voila donc je pretend pas donner une explication precise et complete (j'ai vraiment pas le temps de me plonger la dedans maintenant). Bon en fait c'est vraiment le cas au sens ou il y a un theoreme (theoreme de Peter-Weyl) qui assure que toute fonction de carre integrable sur un groupe de Lie compact vu comme une variete peut-etre ecrite comme une combinaison lineaire d'elements de matrice de representations irreductible de ce groupe (bon en fait c'est plus precis que cela le theoreme assure que la fonction peut-etre uniformement approximee par une combinaison lineaire...). Donc les elements de matrice vu comme fonction du groupe vers R ou C (ou plus generalement le corps sur lequel on construit notre espace de representation ?) forment une base topologique des fonctions L² de ce groupe (la compacite assurant que ca a un sens car la mesure de Haar existe). Donc d'un certain point de vue effectivement l'etude des representations de groupe est une generalisation de l'analyse de fourier au sens ou elle revient a chercher une base des fonctions de carre integrable sur le groupe.
Ca me semble etre un resultat assez puissant, surtout si on se place dans l'optique de resoudre des equations types Schrödinger moches mais tout de meme definies sur des espaces assez symetriques a partir du moment ou l'on peut trouver un groupe qui est topologiquement cet espace et que l'on est capable d'etudier ses representations.
Voila des references : le truc que j'ai vu hier soir (en fait la fin de mon cours d'algebres de Lie, ceci explique cela...) "Fuchs, Schweigert, Symmetries, Lie algebras and representations". Aux environs de la page 380.
Un lien wiki : http://en.wikipedia.org/wiki/Peter%E2%80%93Weyl_theorem
Un autre qui peut-etre utile pour comprendre : http://en.wikipedia.org/wiki/Representation_ring
Et des notes qui m'ont semblees assez accessibles : http://www.math.columbia.edu/~woit/R...pthynotes3.pdf

Voila, amuses toi bien.

PS : Etant en allemagne les claviers n'ont pas les accents, les cedilles etc (du moins pas ceux utilises en Francais)...

[invite39876]

Ok, merci pour ces precisions!