Il n'y a que maille (électrique) qui m'aille !

[ceddesm]

Bonjour,

J’en appelle aux étudiants ou professionnels familiers de ce type de problème qui se pose concrètement à moi au boulot dans le cadre de l’isolation d’un rail ferroviaire. Le modèle constitué est celui représenté ci-dessous, et qui peut s’étendre à l’infini (signe S à gauche de la maille). A, B, C, D et E sont des résistances différentes (par exemple, A est différent de B, C, D et E) mais constantes le long du parcours. Ma question est de pouvoir déterminer les courants qui circulent dans les lignes B et C si j’injecte un courant I dans la ligne A.

Sauriez-vous m’aider à résoudre cette énigme ? Je vous en serais très reconnaissant !

Merci et bon WE.
-----

[obi76]

Bonjour et bienvenue,

concernant votre pièce jointe, désolé, mais les images doivent être mises dans un format image, type jpg, png ou autre.

Pour la modération,

[ceddesm]

Avec pièce jointe...

J'ose imaginer que tout cela se résout par une matrice, mais je ne sais pas comment faire...

Bonne soirée.

[Sethy]

Je suis plutôt "débutant" en électronique.

Il existe peut être une formule de récurrence, mais j'en doute.

Sinon pour la matrice, expliciter les lois des mailles et des noeuds.

A vue de nez, il y a 15 inconnues, donc avec les 9 équations de noeuds et 6 équations de mailles bien choisies, ça doit le faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pephy]

bonjour

Pour traiter le problème il faudrait savoir comment se ferme le circuit.
Si I est le courant d'entrée par où se fait le retour ?
Les premières résistances B et C sont-elles "en l'air" ou connectées à un générateur?

[albanxiii]

Bonjour,

Je ne vois pas l'utilisé des passer par des matrices, à part pour faire snob

Comme dit pephy, il faut savoir comment se fait le retour. Ensuite, qu'il y ait ou "colonnes", certaines grandeurs électriques restent les mêmes, ce qui devrait permettre de résoudre le problème.

Bonne journée.

[ceddesm]

Bonjour,

Merci pour vos interventions ! Je vais tâcher t'expliciter mon problème :

- Le courant I de 1000 A rentre là où indiqué sur la figure. Il est "éjecté d'une locomotive sur le rail (la ligne A représente le rail et sa résistance à chaque mètre).
- La maille est infinie vers la gauche, et je me demande si compte tenu de cdette infinité, il n'y a pas de simplification à apporter (sans forcément passer par des matrices)
- le courant de 1000A se diffuse dans les branches de la maille infinie, mais finit par repartir à gauche de la ligne A après une infinité de résistances. il n'y a pas d'autre générateur de tension ni de courant dans le circuit.

Voilà ce que je peux vous dire.

Bonne soirée à tous !

[LPFR]

Bonjour.
Ça ne suffit pas.
À quoi sont branchés les côtés droits des résistances B et C de droite ?

Il serait plus simple que vous nous dissiez qui sont les rails, qui est le/la caténaire et où est la locomotive.
Et où est le branchement de retour. Je crois savoir que les rails sont branchés à la terre à des intervalles et que ces branchements sont le retour du courant.

Et oui. Le fait que le montage soit infini, simplifie le problème énormément. À condition d'avoir la réponse à nos questions.
Au revoir.

[ceddesm]

Bonjour,

Me voilà donc avec quelques éléments de réponse, en espérant que ça vous aidera. Vous trouverez en pièce jointe un nouveau schéma (en fait le même mais remis dans son contexte concrêt.

J'ai donc une ligne ferroviaire alimentant par une caténaire un train sous une tension continue. Dans le meilleur des mondes, le train restitue son courant vers la sous-station par le rail uniquement. Dans la réalité, la résistance entre le rail et le sol n'étant pas infinie, du courant fuit du rail pour aller dans le sol et emprunte des structures métalliques enterrées (ferraillage, conduite de gaz etc.) et en les quittant, crée de la corrosion sur ces conduites, ce qui est fâcheux... Voilà pour le contexte.

Mon but est idéalement de calculer le courant que j'ai dans ma conduite en fonction de la résistance de mon ferraillage en fonction d'un courant consommé, que je met par convention à 1000A. Qu'importe la tension d'alimentation du train et le courant consommé (de toute façon, ces grandeurs varient dans le temps et je ne m'intéresse pas à une valeur en particulier mais à une équation/fonction).

Dans la pièce jointe, je schématise mon réseau, le ferraillage de la dalle (sur laquelle sont posés les rails) étant évidemment sous les rails, et la conduite sous le ferraillage. Entre le rail et le ferraillage existe une isolation non infinie, de même qu'entre le ferraillage et la conduite de gaz. Le courant réstitué par le train enprunte tout ou partie du ferraillage et de la conduite pour revenir ensuite à la sous-station.

J'ai modélisé mon réseau par des mailles d'une quantité infinie. Sans doute cette "infinité" permet-elle d'avoir une formule simplifiée pour ma fonction.

Je sais qu'un autre modérateur, Hulk28, a déjà travaillé sur les réseaux.
Existe-t-il sinon sur le net des petits softs pour modéliser et calculer un réseau de résistances ? Je n'ai pas envie de me taper un calcul par éléments finis...

Voilà donc pour le problème comme il se pose à moi. Je peux encore préciser certaines choses si nécessaire.

Merci pour votre aide et bonne soirée.

[YBaCuO]

Bonsoir,

La répartition de courant se présente avec un zone constante au centre et deux zones transitions aux extrémités.
Dans la zone centrale, le calcul de la répartition est facile si on considère qu'il n'y a aucun courant transversal, les résistances transversales n'ont pas d'influence.
Par contre ces résistances ont une incidence sur la longueur caractéristique des zones de transitions.

Tu t'intéresses au courant sur la conduite, a priori au cas défavorable où il est maximal.
Ce cas survient par chance à mi-distance...

[LPFR]

Bonjour.
Je ne pense pas que votre nouveau circuit équivalent soit correct.
D'abord, la résistance totale du rail (somme des A) dépend de la distance entre le poste d'alimentation et le train. On peut diviser la résistance du rail en petits bouts, mais la valeur de chacun sera égale à la résistance totale (qui dépend de la distance au train) divisée par le nombre de petits bouts.

D'autre part, ni les rails ni le sol ne s'arrêtent au train. Ils continuent. Donc il faut prolonger le dessin jusqu'au prochain poste d'alimentation qui fixe la tension entre le/la caténaire et les rails.
Regardez la situation où le train se situe à mi-distance entre deux postes d'alimentation. Le courant repart par les rails et le sol en partie vers un poste et en partie vers l'autre.

C'est pour cela que ce n'est pas une bonne idée de dire que le système est alimenté en courant. Il est alimenté en tension, même si le courant qui circule est surtout déterminé par le train.
Au revoir.

[ceddesm]

Bonsoir,

A LPFR : Je vois que vous avez quelques connaissances en ferroviaire, et c'est tout à votre honneur ! Pour essayer de répondre à vos interrogations :
- la résistance du rail vue par le train dépend effectivement de sa distance par rapport à la sous-station. Pour modéliser mon schéma, j'ai découpé ma résistance (qui, pour votre info, égale environ 11mOhm/km) en micro-cellules de résistances constantes. Il en est de même pour ma résistance rail-sol, la résistanc elinéique de mon ferraillage et celle de ma conduite en acier. L'intérêt est de récupérer des résistances A, B, C, D et E constantes et de travailler sur un schéma où les cellules sont identiques quant aux résistances qui les composent.
- Ensuite, vous avez raison de dire que le train est alimenté par ses sous-stations encadrantes (qui ne se limitent pas aux deux qui l'encadrent, mais à d'autres encore), mais le courant qui sort de la sous-station représentée retournera dans son intégralité à celle-ci et verra donc le réseau de résistances que j'ai modélisé. Bien sûr, dans la réalité, le phénomène sera le même sur la droite du schéma (quoi que lorsque le train est en bout de ligne entre la sous-staton et le terminus, il ne voit qu'une sous-station).

Encore une fois, mon but est de chercher à déterminer la fonction I(conduite)=f(I(ferraillage)) à I(train donné), et c'est là que je câle...

A YbeCuo : merci pour ton intervention qui simplifiera les choses. Arriverais-tu à résoudre la queston qui se pose à moi en termes de fonction (voir phrase ci-dessus) ?

Bon WE !

[YBaCuO]

Bonjour,

Il me semble avoir déjà vu une expression analytique pour un cas traitant seulement deux conducteurs (rail+terre). Je ne crois pas que la démonstration soit compliquée mais j'ai la flemme de la refaire.
Dans ton problème, le maillage des circuits de terre au niveau de la sous-station est aussi à prendre en compte, tout comme le fait que le pôle moins raccordé au rail est relié ou non à la terre.

J'ai eu l'occasion de travailler sur des systèmes d'alimentation électrique pour le ferroviaire et de mémoire ton problème est traité dans ce bouquin:
Contact Lines for Electrical Railways: Planning, Design, Implementation, Maintenance
Il est particulièrement exhaustif (près de 1000 pages sur le système caténaire) et peut être considéré comme un livre de référence, le bémol c'est qu'il est rédigé par des ingénieurs de Siemens et donc ce sont essentiellement les pratiques germaniques qui y sont décrites.
Mais la physique est la même pour tous, il faut juste veiller à être critique et vérifier si les cas décrit son applicable dans ton cas.

[ceddesm]

Bonsoir YbaCuo,

Merci pour la référence du bouquin, je vais essayer de le dénicher quelque part.
Ce qui pourrait déjà m'aider, c'est de savoir calculer la tension dans une ligne résistive (appelons la B par exemple) isolée par une réactance R par rapport à une ligne parallèle (appelons la A) qui est sous une tension donnée. Il me semble qu'un rapport impliquant les résistances de A et de B (voire de R en principe) permet de déduire la tension dans B en connaissant la tension dans A. Cela te parle-t-il ?

Bonne soirée.

[YBaCuO]

Re bonsoir,

Pourquoi fais-tu intervenir des reactances? On est en courant continu.
Au sujet de ton courant j'ai une formule avec seulement le rail et la terre, le courant dans de rail est de la forme:

Avec

L est la distance entre le train et la sous-station.
R est la résistance linéique longitudinale de la voie et
G la conductance linéique transversale équivalente entre la voie et la terre.
Pour le courant passant par la terre tu retranches ce courant au courant traversant la caténaire.

[ceddesm]

Merci, je vais regarder demain ce que ça donne. J'ai de mon côté des formules qui donne le courant qui s'échape du rail, mais de là à calculer le courant dans le ferraillage... Je suis séduit par ton approche consistant à dire que les résistances transversales/verticales (compte tenu du caractère infini de la maille) peuvent être omises, même si leur valeur rentre quand même dans le calcul des courants. Je vais investiguer, mais je pense que je ne pourrai pas m'en tirer sans un calcul par éléments finis (le problème, c'est que je n'ai pas l'outil logicile pour le faire).
Pour la réactance, ce n'est bien sûr pas applicable en courant continu, j'ai été déformé en regardant les formules de courant dans un écran de câble 11kV en courant alternatif... cependant, je ne sais pas s'il existe une équivalence en continu. Penses-tu qu'il soit possible de déterminer la tension dans un fil parallèle à un autre qui a une ddp à ses bornes, connaissant la résistance d'isolation entre les deux ?
Dis-moi, tu as l'air de bien t'y connaître sur le sujet. Quel est ton "pédigré" ?

Bonne soirée.

[invite07941352]

Bonjour ceddesm ,
Juste un petite question annexe : ce problème n'est il pas bien connu à la SNCF aujourd'hui ? Il me semble que ce genre de problème était lié aux courants de retour vagabonds qui faisaient ( ou qui font ?) l'objet de litiges avec les particuliers en détruisant notamment les citernes enterrées ; or, on n'en parle plus trop de nos jours . De plus, il me semble avoir vu des études de ce genre quand mon père ramenait " du travail à la maison" , il travaillait sur les circuits de voies ( subdivision ZL ) . Attention, il y a plus de 50 ans ....

[LPFR]

Bonjour.
Plus récemment que 50 ans (30 ans, peut-être) un de mes étudiants avait fait un stage à la SNCF, précisément dans le service qui s'occupait de corrosions dues à ces courants. Les vagues idées que j'ai sur le sujet proviennent de la visite que j'avais faite au service en question.
Donc, comme le dit Catmandou, le problème est vieux et connu.
Au revoir.

[ceddesm]

Bonsoir,

A LPFR et Catmandou : il s'agit effectivement de ocurants vagabonds et je connais bien les documents SNCF s'y référant. Au passage, je note et j'apprécie votre culture ! Cependant, je travaille pur un projet anglo-saxon qui utilise une autre méthode pour traiter ces courants. Le but est de les capter dans un ferraillage intermédiaire, et d'apprécier la quantité de courant capté dans le ferraillage (c'est celui qui n'ira pas dan sles conduites pour les corroder !). Voilà donc tout le fond de mon problème : établir une loi de courant dans chacune des branches.

Bonne soirée.

[LPFR]

Bonjour.
Comme je l'ai déjà dit, je pense que votre modélisation n'est pas bonne.
Je ne vois pas l'intérêt de faire des efforts sur un modèle dont on sait qu'il est trop éloigné de la réalité.
Au revoir.

[ceddesm]

Bonsoir LPFR,

Il m'est tout-à-fait possible de proposer un modèle avec deux sous-stations, mais j'ai du mal à voir comment le problème sera simplifié dans la mesure où :
- on ne pourra de toute façon que raisonner en statique concernant le train (la résistance de ce dernier ayux deux sous-stations quyi l'encadrent se résumera donc à une somme de résistance par unité de longueur
- on ne connait pas le comportement du train en termes de consommation (résistif ? à puisssance constante ?), aussi ne pouvons-nous que le modéliser à mon sens comme une source de courant
- Vu du train, il y aura deux maillage (un vers chaque sous-station) et je ne vois pas la simplification apportée.

Mais si vous le "sentez", je peux vous fournir un tel schéma.

Bonne soirée.

[LPFR]

Bonsoir LPFR,

Il m'est tout-à-fait possible de proposer un modèle avec deux sous-stations, mais j'ai du mal à voir comment le problème sera simplifié dans la mesure où :
- on ne pourra de toute façon que raisonner en statique concernant le train (la résistance de ce dernier ayux deux sous-stations quyi l'encadrent se résumera donc à une somme de résistance par unité de longueur
- on ne connait pas le comportement du train en termes de consommation (résistif ? à puisssance constante ?), aussi ne pouvons-nous que le modéliser à mon sens comme une source de courant
- Vu du train, il y aura deux maillage (un vers chaque sous-station) et je ne vois pas la simplification apportée.

Mais si vous le "sentez", je peux vous fournir un tel schéma.

Bonne soirée.

Bonjour.
Le problème est le vôtre, pas le mien.
Utiliser un modèle que décrive la situation correctement ne simplifie pas le problème mais rend les efforts pour le résoudre moins vains.
Le modèle plus proche de la réalité est évident. Il faut le prolonger jusqu'au prochain poste d'alimentation. (Et ça ne se résumera pas à une somme de résistances).
Et, bien sur, il ne faut pas un nombre infini de résistances, mais un nombre grand, fini, et avec chaque résistance avec la bonne valeur.
L'alimentation est en tension et le train se comporte comme une résistance: vous êtes en continu.

À votre place, j'essaierai de regarder ce que la SNCF a déjà fait (et dépuis quelques décennies il doit en avoir pas mal) et surtout l'ouvrage que YbaCuO vous a conseillé. Je suis sur qu'on doit le trouver dans la bibliothèque des centres de recherche de la SNCF.
Car j'imagine que vous travaillez ou faites un stage à la SNCF ou dans une autre société.
Au revoir.

[ceddesm]

Bonsoir LPFR,

La modélisation du système est moins évidente que ça puisque le train se comprote réellement comme un consommateur à puissance constante, même en courant continu (la tension attaque des onduleurs qui pilotent des moteurs asynchrones). Côté SNCF, je ne pense pas pouvoir m'en inspirer car la SNCF travaille en voie ballast, donc relativement bien isolée, alors que mon projet est un tram avec rails encastrés dans le sol, d'où une forte dégradation de son isolation, et d'où l'ajoût volontaire de ce ferraillage pour capter les courants vagabonds. Autrement dit, le contexte est assez différent, et la SNCF à ma connaissance ne s'est jamais penché sur ce type de configuration.
Il me faut me procurer le livre de YbaCuo et voir si je peux trouver des indices dedans.

Bonne soirée.

[YBaCuO]

Bonsoir,

Le ferraillage est-il installé tel quel? N'y a-t-il pas un drainage polarisé réalisé au moyen de diodes?
Dans ton modèle il manque la terre, ton problème consiste aussi à vérifier le potentiel de ta conduite en différents points par rapport à la terre car c'est la polarisation et l'amplitude de cette tension qui déterminent les zones de corrosions.

Une fois que tu auras établi comment modéliser et discrétiser ton problème, tu peux utiliser un logiciel tel que EMTP-ATP (http://www.eeug.org/), c'est un logiciel de simulation de transitoire électrique.
Celui-ci est gratuit, il faut faire une demande de licence par écrit pour l'obtenir.
L'interface graphique atpdraw permet d'avoir une représentation similaire à tes schémas.
Ce logiciel offre beaucoup de possibilité, par contre il n'est pas d'une utilisation aisée pour un novice et même la procédure d'installation n'est pas évidente.

[ceddesm]

Hello,

Tu as parfaitement raison sur la protection du ferraillage contre la corrosion : il s'agit de mesurer l'évolution de son potentiel par rapport au sol et de voir, si cette évolution est liée au courant dans le rail (concommitance des courbes), auquel cas il y a lieu d'installer un drainage polarisé (ou une autre forme de protection cathodique). La solution du drainage est loin d'être idéale, car elle double la tension rail-sol (donc problème de tension de toucher) et multiplie par 4 les courants vagabonds.
Les anglais ont eu l'idée d'installer un ferraillage sous la voie pour piéger les courants vagabonds, en tous cas limiter leur tentation d'aller chatouiller les conduites de gaz aux alentours, et c'est justement l'efficacité de ce ferraillage (appelé stray current mat en anglais) dont je cherche à calculer l'efficacité théorique, d'où mla modélisation que j'avais affichée à l'origine.
La formule que tu m'avais donnée permet de calculer les courants vagabonds en un point. Il me reste à voir maintenant comment, du ferraillage, les courants s'échapent de ce dernir pour fuir vers la conduite, et de calculer le courant dans la conduite, sachant que tout ce qui quitte le ferraillage ne va pas dans la conduite...
Cette dernière est bien dans la terre, le ferraillage étant dans le béton de la dalle de voie. Autrement dit, on se retrouve avec "deux terres"... ce que je veux dire par-là est que le courant qui fuit le rail ne va pas que vers "une seule terre", et c'est là toute la difficulté !

Merci pour tes suggestions de logiciel. Lorsque tu parles de transitoires, n'est-ce qu'en alternatif l'établissement de la tension ? Je travaille en continu et en régime permanent.

Très bon WE et merci pour tes infos.

[YBaCuO]

Bonjour,

Si tu t'intéresses uniquement au courant dans la conduite, en omettant la terre tu auras un résultat conservatif. C'est peut-être suffisant pour ton problème.
Par terre, j'entendais terre lointaine avec une résistance longitudinale nulle. Celle-ci est reliée par des résistances transversales à la conduite et au ferraillage (a priori celui-ci fait écran aux rails).
On aborde un sujet spécialisé qui me dépasse, je suis le sujet pour ma culture personnelle mais je craints ne pas pouvoir t'aider beaucoup plus; il faudrait rechercher et étudier des travaux qui traitent de celui-ci pour voir les approches utilisés.

Concernant le logiciel, effectivement ces possibilités dépassent tes besoins. Celui-ci est utilisé principalement pour simuler des phénomènes tel que la propagation des chocs de foudre ou autres phénomènes transitoires.
Dans ton cas, un logiciel de simulation de circuit électronique peut sans doute suffire.

[ceddesm]

Bonjour,

J'imagine que tout le monde ne peut pas avoir la tête dans les courants vagabonds (chacun son métier...), et j'apprécie ta curiosité et ta culture sur le sujet. Si tu le souhaites, et indépendamment de l'origine de nos échanges, je peux essayer de répondre aux questions de curiosité que tu pourrais avoir.

En fait, mon sujet est à la base moins sur les courants vagabonds que sur l'électricité, mon but initial étant de connaître la résistance équivalente du circuit de résistances que j'ai envoyé. Cela m'aiderait justement à connaître l'impédance rail/sol, le fameaux "G" que tu indiques dans ta formule.

Concernant le logiciel, je crois aussi qu'un bête logiciel de simulaton électronique peut suffir. J'ai essayé Solveled en rentrant 10 mailles, mais c'était visiblement trop compliqué pour lui. Connais-tu par hasard quelque chose de simple sur lequel je pourrais modéliser mon circuit (résistances et générateur de courant) ?

Bon dimanche

[obi76]

Bonjour,

un logiciel pas mal que j'utilisais souvent : QUCS.

[ceddesm]

Bonjour Obi76,

Merci pour ton intervention. Je suis allé voir sur Google et ce logiciel semble être bien. J'espère qu'il traite aussi les circuits avec beaucoup (une cinquantaine) de noeuds.

Merci encore et bon dimanche !