optimisation d'un trajet

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Un sauveteur se trouve sur la plage en un point A. IL peut courir sur le sable avec une vitesse constante v1 et neger dans la mer avec une vitesse constante v2<v1. Un baigneur se trouve en difficulté en un point B de la mer. On suppose que la séparation entre la plage et la mer est une ligne droite. On cherche les caractéristiques du trajet permettant d'aller de A à B le plus vite possible.

1) Déterminer l'équation à laquelle obéit x, x repérant la position du point I (on ne cherchera pas à la résoudre).
le temps total T=Tplage+Tmer=AI/v1+BI/v2 mais je n'arrive pas à l'exprimer en fonction de x
2) Quelle relation lie les angles i1, i2 et les vitesses v1 et v2? Quelle analogie peut-on faire? Je sais qu'on doit trouver v1 sin i1=v2sin i2 (analogie avce les lois de descartes) mais même avec la solution, je n'y arrive pas
Merci d'avance pour votre aide
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[pat7111]

On a
AI =
BI =

d'où
T =

exprimé en fonction de x et des données
Pour le temps mini, on dérive T par rapport à x...

Pour la deuxième, je trouve un peu autre chose...
Modulo les erreurs de calculs, je trouve pour la derivée



En exprimant les sinus en fonction de D, x, AI et BI, condition d'extremum devient alors

[pat7111]

Après reflexion, je confirme mon résultat trouvé par le calcul par une petite considération physique :

Si devient grand, l'optimum sera obtenu en parcourant le maximum de chemin sur la plage et le minimum dans l'eau. On aura donc BI perpendiculaire à la côte et
C'est bien ce qu'on retrouve en faisant tendre vers l'infini dans la relation trouvée