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Centre de masse

  1. LicenceXP

    Date d'inscription
    juillet 2005
    Localisation
    Bruxelles
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    27
    Messages
    945

    Centre de masse

    Bonsoir !

    Je n'ai pas vraiment trouvé de lien intéressant et mon cours de physique sur le sujet est à proprement parler incompréhensible (je ne serai pas le 1er à le remarquer ).


    On va faire simple : comment allez-vous calculer le centre de masse d'une pyramide à base carrée ? On va poser que sa base est de surface B² et sa hauteur est H.

    Intuitivement je vois déjà que la position x et y du centre de masse est 0.

    Comment va-t-on calculer la position z ? Je sais que ça concerne une histoire de découper la pyramide en des tas de petits morceaux et de les additionner via les intégrales. Mais je ne sais pas pourquoi on fait ça ni comment...


     


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  2. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
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    10 539

    Re : Centre de masse

    Le plus simple est de prendre l'origine des z au sommet de la pyramide.
    On décompose alors la pyramide en petits carrés parallèles à la base à la distance z du sommet et de hauteur dz.
    On voit facilement que le côté du carré est ***, son volume est dV = ***** (à toi)
    Le centre de masse se calcule alors comme l'intégrale de z*dV de 0 à H divisée par le volume total.
     

  3. LicenceXP

    Date d'inscription
    juillet 2005
    Localisation
    Bruxelles
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    27
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    945

    Re : Centre de masse

    La surface de chaque carré sera b² et le volume b² x dz
    Mais je ne comprends pas très bien :

    "On décompose alors la pyramide en petits carrés parallèles à la base à la distance z du sommet et de hauteur dz."

    Pourquoi fait-on ça à la distance z ? La distance z c'est la hauteur H en fait ?

    "Le centre de masse se calcule alors comme l'intégrale de z*dV de 0 à H divisée par le volume total."

    Tu pourrais développer cette dernière ligne ? z représente quoi exactement ? Tu fais la sommes de tous les z par pas de dV de 0 à H et tu divises par le volume total : je ne comprends en quoi ça nous donne le centre de masse -_-
     

  4. rvz

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Versailles
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    1 379

    Re : Centre de masse

    Citation Envoyé par LicenceXP
    La surface de chaque carré sera b² et le volume b² x dz
    Mais je ne comprends pas très bien :

    "On décompose alors la pyramide en petits carrés parallèles à la base à la distance z du sommet et de hauteur dz."
    _-

    Non ! En fait, il faut regarder la surface du carré à la hauteur z : Attention, cela dépend forcément de z. En haut de la pyramide, ça doit faire zéro !

    __
    rvz
     

  5. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
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    Banlieue parisienne
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    10 539

    Re : Centre de masse

    On reprend sans s'énerver.
    La hauteur H est une constante, la distance z est une variable comptée à partir de la pointe (plsu simple).
    Si la section était constante, le centre de gravité serait au milieu, mais ce n'est pas le cas, le centre de masse sera déplacé vers les zones "lourdes" = de forte section = la base.
    Comme c'est sûrement écrit dans ton cours, le centre de masse est le barycentre (pléonasme) des éléments qui constituent le solide. D'où besoin de calcul d'une intégrale.
    On tire parti des symétries de la pyramide en coupant la pyramide par des plans horizontaux situés à la distance z du sommet.
    Cela crée des carrés de côté B*z/H (OK ?) et de hauteur dz, donc de volume (B*z/H)² dz.
    Le barycentre se calcule (voir le cours) comme l'intégrale de 0 à H de z*(B*z/H)² dz divisée par le volume total qui est l'intégrale de 0 à H de (B*z/H)² dz.

    Ca donne la position par rapport à la pointe, bien évidemment.
     


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  6. LicenceXP

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    Bruxelles
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    945

    Re : Centre de masse

    Bon on a bien avancé car j'ai bien compris 75% de ce que tu as expliqué

    La pyramide a une hauteur H et une base B²
    On découpe la pyramide en carrés de hauteur dz et de surface b² variable.

    Pour exprimer cette variation de la surface, on se sert de Thalès et on voit que :


    Dès lors H/B=z/L Donc L = Bx(z/H)
    où z est paramètre.
    Si on fait la somme de tous ces carrés en faisant varier z de 0 à H, on obtient le volume de la pyramide (tout à fait logique).


    Mais je ne comprends pas encore pourquoi on obtient le centre de masse en ajoutant encore z dans l'intégrale selon z*(B*z/H)² ni pourquoi on divise par la masse totale...
     

  7. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
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    10 539

    Re : Centre de masse

    Ce n'est rien d'autre que la formule du barycentre.
    Si on a 2 masses m1 et m2 disposées sur une droite en x1 et x2, alors :
    xG = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2)
    Ici une intégrale va remplacer la somme.
     

  8. LicenceXP

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    Re : Centre de masse

    J'obtiens pour réponse que le barycentre (ou Centre de masse donc) est à 3/4 x H par rapport au sommet de notre pyramide...

    Je vais faire les calculs pour une pyramide à base triangulaire, ça me permettra de voir si j'ai pigé
     

  9. LicenceXP

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    945

    Re : Centre de masse

    Question : avec ta formule pour la pyramide à base carrée j'obtiens au final une très esthétique expression :

    Ca ne simplifie pas une expression pareille ?
     

  10. LicenceXP

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    945

    Re : Centre de masse

    Pour la pyramide à base triangulaire, je trouve que le centre de masse est à 3H/8 du sommet.

    Mais ici il y a un problème c'est que si on réflechit, notre pyramide doit parfaitement être droite... Admettons que la pyramide n'est pas parfaitement droite, est-ce juste de dire que son centre de masse sera à 3H/8 du sommet selon la droite qui base par le sommet et qui coupe le centre de masse de la base ?
     

  11. LicenceXP

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    945

    Re : Centre de masse

    Mes excuses c'est à 3/4 h du sommet pour la pyramide à base triangulaire.
     

  12. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
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    10 539

    Re : Centre de masse

    C'est bien les 3/4 et non les 3/8.
    Il n'y a aucune raison de trouver des formules différentes pour une base carrée ou triangulaire (un carré, c'est la juxtaposition de 2 triangles).
    Si la pyramide est de travers, ça ne change rien, ce qui compte, c'est que les différentes tranches soient bien homothétiques de la base, ce qui est toujours le cas.
     

  13. LicenceXP

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    juillet 2005
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    Re : Centre de masse

    Donc dans le cas ou la pyramide est de travers, le centre de masse est toujours à 3/4 du sommet, mais plus sur l'axe vertical, mais sur l'axe qui va du sommet au centre de masse de la base ?


    Autre question (qui n'as plus avoir directement avec ma compréhension du calcul des centres de masse) : Je dois calculer le centre de masse d'une demi sphère (d'un hémisphère).

    J'ai du mal à trouver la relation qui lie R, le rayon de la sphère, r le rayon d'un disque dans la sphère et z le paramètre (et H la hauteur mais qui dans ce cas vaut bien entendu R).

    Je ne peux pas poser que r/R=z/R étant donné que r va au début augmenter de valeur très vite puis lentement alors que z augmente linéairement...
     

  14. LicenceXP

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    945

    Re : Centre de masse

    Autre problème : on demande de calculer le centre de masse d'un fil qui est courbé pour former un demi-cercle dont on donne le rayon, R

    Donc la formule c'est 1/V x l'intégrale de y dv
    Dans mon cas le volume c'est jamais que la longueur donc pixR

    Il faut que j'exprime la longueur "r" (pixr = dv) en fonction du paramètre y qui va augmenter de 0 à R.... Je suis un peu perdu là...
     

  15. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
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    Re : Centre de masse

    Citation Envoyé par LicenceXP
    Je dois calculer le centre de masse d'une demi sphère (d'un hémisphère).

    J'ai du mal à trouver la relation qui lie R, le rayon de la sphère, r le rayon d'un disque dans la sphère et z le paramètre (et H la hauteur mais qui dans ce cas vaut bien entendu R).

    Je ne peux pas poser que r/R=z/R étant donné que r va au début augmenter de valeur très vite puis lentement alors que z augmente linéairement...
    Le calcul est sensiblement le même, mais il vaut mieux prendre comme variable l'angle par apport à l'axe ou à l'équateur (latitude). On découpe la sphère en morceaux entre alpha et alpha + delta alpha.
    questions : que vaut le rayon pour alpha ? que vaut la hauteur pour alpha, puis pour alpha + delta alpha ?
    Ca donne une sorte de cylindre dont on calcule le volume.
    On somme et hop, comme avant !
     


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