conduction thermique d'un fil électrique

[Louic]

Bonjour à tous,

Je désire connaitre la température d'un fil quand je fais passer un courant I à l'interieur pendant un temps t.

J'étais partie sur l'équation de la chaleur avec Q = m.Cp.ΔT. Je sais que Q = P.t, et P doit être la puissance dissipée par effet joule.
Donc au final j'arrive à quelque chose dans ce goût là :
Tf = R.i².t/(m.Cp) + Ti
avec :
R la résistance de mon fil
i l'intensité qui le traverse
m sa masse
Cp la capacité thermique
Ti : la température initiale du fil
Mais pour moi il y a un problème, si je chauffe pendant des heures, Tf atteindra des valeurs fantasmagoriques.

Du coup j'ai du oublier des pertes quelques part. Il doit y avoir un transfert thermique quelque part. Cet exemple introduit des pertes par rayonnement. Déjà j'ai regardé sur d'autres sites et je ne retrouve pas la même formule, ensuite si je veux résoudre mon problème avec cette méthode, je n'arrive pas à trouver des données pour K, et je ne sais même pas ce que c'est.

J'ai trouvé une autre méthode assez proche de mon problème mais elle ne fait pas intervenir le temps. Alors peut être qu'en fait il n'intervient pas ???
Par contre je ne vois pas comment trouver la constante autre qu'expérimentalement. Et donc pour cela il faudrait avoir du matos...

Quelqu'un pourrait il me sortir du brouillard ? ça serait vraiment sympa.

Louic
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[invite2313209787891133]

Bonjour

Dans les 1ers instants le fil va se comporter comme dans ta formule, puis assez rapidement il va communiquer sa chaleur à l'environnement immédiat, par conduction si il est dans une gaine, sinon par convection dans l'air et par rayonnement.
Très grossièrement la surface du fil nu va dissiper 10W par m² et par degré de différence avec l'air ambiant (si cette différence de température ne dépasse pas une 60aine de degrés).

[Louic]

Je suis désolé mais je ne suis pas sur de comprendre votre réponse.
Imaginant qu'une gaine entoure mon fil. Le fil va donc communiquer par conduction comme vous l'avez dit.
Je pars donc de la formule φ = -λ.S.δT(r)/δr = R.i²
J'arrive à quelque chose de la forme T(r) = -K.ln(r) + Cte
Mais du coup comment je fais pour trouver ma constante ? à part de façon expérimentale...

[invite2313209787891133]

La chaleur générée par effet joule est transférée à la gaine, mais bien évidement il faut bien que cette chaleur aille quelque part : Le flux traverse l'épaisseur de la gaine, avec un Dt entre chaque face correspondant à la conductivité thermique de la gaine et son épaisseur. En utilisant la loi de Fourier en coordonnées cylindriques on détermine t° fil - t° surface gaine = flux de chaleur / (2pi*conductivité gaine*longueur) * ln (diamètre fil / diamètre gaine) ; désolé je n'ai jamais su utiliser latex.

Ce calcul ne donne que le Dt ; il faut bien sur prendre aussi en compte l'échange avec l’environnent (entre la surface de la gaine et l'air, par convection et rayonnement pour un fil maintenu en l'air) pour connaitre la température du fil.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2313209787891133]

J'ai fais une petite erreur, j'ai inversé D fil et D gaine.
Voici l'équation en latex (il suffisait de chercher un "traducteur"):

[Louic]

encore moi,

quel est ce "traducteur" que vous utilisez ? ça me serait vraiment utile.

Bon alors, j'ai donc l'équation :
Tfil - Tgaine= R.i²/(2pi.L.λgaine) *ln Dgaine/Dfil (1)

J'ai un phénomène de convection entre la gaine et l'air, donc j'ai :
φ = h.S(Tgaine - Tinfini)
Soit Tgaine= R.i²/(h.2pi.rgaine.L) + 20°C (2)

En remplaçant (2) dans (1) j'arrive à avoir une expression de Tfil que je peux calculer.
Lorsque je fais une application numérique, j'obtiens un résultat qui ne me parait pas du tout aberrant. Donc j'imagine que je ne dois pas être trop loin.

Est ce que le phénomène de rayonnement est négligeable à faibles températures ? où est ce qu'il vaut mieux que je prenne en compte dans mes calculs ?
Pour moi, quand je me visualise les phénomènes de rayonnement je pense au filament d'une ampoule. Donc je vois mal ma gaine en caoutchouc être concernée par ça. Mais peut être que je suis à côté de la plaque.

[invite2313209787891133]

J'ai utilisé ceci : http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Le rayonnement n'est pas négligeable, il intervient environ pour moitié du transfert pour des températures proche de l'ambiant. Quand je donne un coefficient de 10W/m².°C cela comprend approximativement 5W par convection et 5W par rayonnement.

[Louic]

Bonjour,

Je me pose une question.

J'ai en ma possession un transformateur sur lequel je peux faire varier la tension.
Jusqu'à présent je reliais mon câble à ce transformateur et j'augmentais U pour faire augmenter I.
Car au final, ce qui m'intéresse pour chauffer mon câble c'est d'avoir un I important.

Le problème c'est que je n'ai pas trop envie de modifier le R de mon câble. Donc je me suis posé la question suivante : et si je plaçais une résistance dans mon circuit :

Donc je vais avoir quelque chose dans ce style là : U = (Rcorde + Rres). I
Pour un U donné, j'aurai donc un I plus important.

Est ce que mon raisonnement est bon ?

[invite07941352]

Bonjour ,
U = RI donc I = U/R ; vous augmentez R, vous dinimuez I ...

[invite2313209787891133]

En effet une résistance en série va limiter encore plus l'intensité. De quel type de câble s'agit il ? Une solution pourrait être de le couper en 2 et mettre les 2 morceaux en parallèle.

[Louic]

Merci pour vos réponses,

en effet je disais n'importe quoi

Pour vous en dire un peu plus, mon but c'est d'obtenir 100°C avec un fil métallique avec la plus petite puissance possible.
La seule contrainte c'est que ce fil doit faire 20m.
Je suis parti de la formule R= rho * L / S Avec rho la résistivité électrique, L la longueur du fil et S la surface en coupe du fil.
Actuellement j'ai diminué au maximum le nombre de fils et le diamètre des fils. J'utilise un acier avec une résistivité électrique de 80 µOhm.cm (c'est un acier inox). Je pourrais utiliser un acier avec une résistivité plus importante mais je n'ai pas les moyens. J'ai aussi penser à faire une boucle à l'intérieure de ma corde. C'est à dire plier une corde de 40m en deux, en faisant attention qu'ils n'y aient pas de contacts. Ainsi je peux multiplier R par 2.
Donc voila, pour Rcorde je ne peux plus rien faire.

D'après ce qui a été dit au début de cette discussion, je pense qu'en diminuant la conductivité de la gaine, j'aurais moins de perte de chaleur et donc une température de fil plus importante, isn't ?

Auriez vous d'autres suggestions par hasard ?

[invite2313209787891133]

La température est directement reliée à la puissance et les dissipations, donc modifier R, U ou I ne servira à rien. En fonction du transformateur utilisé par contre la plage d etravail choisie peut permettre d'améliorer le rendement du système (le transfo chauffe moins, il y a moins de pertes).

Pour consommer le moins possible il faut que la section du fil soit petite si il est directement exposé à l'air, ou bien le bobiner, ce qui va réduire la surface d'émission.
Tu peux aussi le placer dans un isolant.

[Louic]

Bon je suis d'accord pour les dissipations mais ma chaleur doit bien dépendre aussi de U, I et R quand même.

J'ai U = R. i (1)
et P = R. i² (2)

J'ai U qui est constant, donc d'après (1) si je multiplie i par n alors cela revient à diviser R par n.

Dans ce cas d'après (2) j'arrive à P = R'/n * (n.i')² = n.R'.i'²
Et donc si j'analyse bien, si je réduit R alors j'augmente la quantité de chaleur...
...quelque chose m'échappe.

[invite2313209787891133]

Oui bien sur, mais pour arriver à monter le fil à 100°C il faudra toujours la même quantité d’énergie (toutes conditions identiques, sauf résistance, tension et intensité).

[Louic]

Bonjour à vous,

Voici une nouvelle interrogation aujourd'hui.
Si je reprend cette formule :

Tfil - Tgaine= P /(2pi.L.λgaine) *ln Dgaine/Dfil

avec P la puissance.
Du coup j'ai compris votre remarque :

La température est directement reliée à la puissance et les dissipations, donc modifier R, U ou I ne servira à rien.

Mais alors il manque quand même quelque chose. Il faut bien qu'il y ait une caractéristique du fil qui rentre dans l'équation.
Par ce que sinon, que j'utilise un fil d'acier ou un fil de fer, cela ne changerait rien. Or ce n'est pas le cas.

[invite2313209787891133]

Oui, j'ai bien précisé à puissance égale, mais bien sur si le fil est en fer au lieu d'être en acier la tension d'alimentation sera différente puisque la résistance le sera aussi (à géométrie identique).

[Louic]

Bonjour,

j'ai voulu voir un peu ce que ça donnait si je prenais en compte les phénomènes de convection et de rayonnement sur les parois de mon fil électrique.
Je sais que je peux écrire le phénomène de convection ainsi : R.i²=h.2πrL(T-Ta)
Je sais aussi que je peux écrire le phénomène de rayonnement ainsi : R.i²= ε.2πrL.σ(T^4-Ta^4)

J'en arrive donc à l'équation de degrès 4 : εσT^4+ hT=(R.i²)/( 2πrL)+Ta^4 + Ta

Mais là je ne peux plus rien faire. Je m'explique. Je désire connaître la valeur de T en fonction des autres paramètres.
Premièrement, j'ai essayé de résoudre cette équation algébrique via le logiciel Matlab. Mais il refuse catégoriquement. Peut être que je m'y prend mal donc je suis encore en train de chercher là dessus. Mais le plus problématique c'est que...
...Deuxièmement, je ne parviens pas à trouver des valeurs de h. Ce coefficient dépend de trop de paramètres (température, type de fluide, vitesse du fluide, surface de contact fluide/solide). Je ne vois pas comment faire.
Et sans ce coef, mon équation ne sert pas à grand chose...

[invite2313209787891133]

Je ne connais pas Matlab donc je ne pourrais pas t'aider, par contre tu dois pouvoir résoudre cette équation sur Excel.
Pour h tu peux utiliser cette corrélation simplifiée qui fonctionne pour un cylindre horizontal dans l'air :

avec Dt la différence de température entre la surface du cylindre et l'air ambiant, et D le diamètre du cylindre en mètres.

[invite2313209787891133]

J'ai essayé de résoudre ta formule sur Excel, mais ce n'est pas possible. Je pense qu'il doit y avoir une erreur.

[invite2313209787891133]

Voici une feuille de calcul ; tu peux utiliser le solveur pour faire converger (la cellule cible est C20; la cellule variable est l'une des valeurs en bleu).

calcul dissipation fil.zip

[Louic]

Bonjour,

oui en effet il y avait une erreur j'avais oublié un terme, le bon résultat c'est : 2πrL(εσ(T^4-T^4)+ h(T-Ta))=R.i²

J'ai aussi utilisé le solveur pour trouver mon résultat. Je suis même allé plus loin. Comme je veux pouvoir modifier les données sans avoir à relancer le solveur j'ai codé en VB un petit solveur qui se lance (quasi)automatiquement.
Avec l'équation de la chaleur que j'ai calculé, j'arrive à tracer un belle courbe de variation de température au sein de mon fil. C'était mon but.

Je suis quasiment arrivé à ce que je voulais faire. Il manque plus qu'un ou deux fignolage et ça sera bon.

Je vous remercie beaucoup pour votre aide.

[Louic]

Finalement je vais encore avoir besoin de vous...

J'ai décidé de passer à l'expérimentation pour voir si mon étude théorique n'était pas complètement fausse.
hum...

Fausse je ne dirais pas ça. Mais je suis loin des valeurs réelles.

Voici les paramètres :
Test sur une corde de 1m.
au milieu de la corde j'ai un polymere avec autour plusieurs fils métalliques. Et enfin, encore autour, un isolant.

Tout d'abord, théoriquement je devrais avoir une résistance du fil métallique de 0.6 ohms or l'ohmmètre m'affiche 0.9 Ohms. Je ne veux vois pas du tout d'où vient cette différence. J'ai évalué l'incertitude sur mes mesures, j'arrive à environ 2% d'erreur. Donc le problème ne vient pas de là.

Ensuite, d'après mon étude théorique, pour une puissance de 37 W je devrais atteindre une température extérieure de 100°C.
Mais il faut que je monte jusqu'à environ 100W pour atteindre les 100°c. Alors j'ai du oublier pas mal de perte

Mon polymere au milieu me permet d'estimer la température intérieure. Je n'ai pas trouvé d'autres moyens. Comme je connais sa température de transition vitreuse, je sais que si il a fondu, alors j'ai dépassé telle température.
Sur une partie de ma corde j'ai retiré l'isolant, afin de visualiser un peu ce que je fais.
Résultat :
Là où il n'y a plus d'isolants, le polymere fond.
PAr contre là où il y a l'isolant, le polymere s'est juste un peu solidifier mais reste quand même souple.
Conclusion : la température à l'intérieur de l'isolant est plus basse que sans isolant. Ce n'est pas normal. Dans la partie polymere/fil métallique, il y a plus de déperdition comme il y a directement contact avec l'air. Et l'isolant devrait justement conserver et augmenter ma température à l'intérieur.
Ce point est très problématique car il rend erroné mon étude théorique.


Avez vous des explications sur toutes ces différences ?

[Louic]

Précision :

Mais il faut que je monte jusqu'à environ 100W pour atteindre les 100°c.

Pour 100W, théoriquement je devrais atteindre plus de 300°C...