Mécanisme de Higgs appliqué à l'interaction électromagnétique?

[ellana69]

Bonjour,

Cela fait quelques semaines que j'essaie de comprendre le mécanisme de BEH mais tout n'est pas encore très clair dans ma tête!
J'ai l'impression que la démarche c'est:
1)on part de l'expression du Lagrangien qui respecte une symétrie globale (dans le cas de l'em, on a invariance par changement de phase) et du potentiel
2)on cherche les minima du potentiels
A)soit il n'y a qu'un seul minimum et on n'a pas brisure de symétrie
B)soit on a plusieurs minima et on en choisit un (ils sont ts équivalents car on peut passer de l'un à l'autre par transformation de jauge) et là il y a brisure
a) dans ce cas on étudie le voisinage de ce minimum, on fait un DL et on ré-exprime le lagrangien
b) on identifie la masse des champs: on trouve dans ce cas un champ massif et un champ non massif qui correspond au boson de Goldstone

Maintenant si on passe à un lagrangien invariant par transformation de jauge locale (en introduisant un champ vectoriel de jauge) et qu'on applique la même démarche, on se retrouve avec un champ scalaire massif (le champ de BEH) et un champ vectoriel massif (dans cet exemple le champ électromagnétique??)

J'ai donc plusieurs questions:
1. le potentiel qui apparaît dans le lagrangien a souvent cette forme: V=m²φφ*+λφφ* mais je ne vois pas d'où ça sort.
2. Souvent la discussion des minima du potentiel se fait sur le signe de m², mais la supposition "m²<0" correspond à quoi physiquement?
3. Je ne comprends pas la justification physique qui pousse à "forcer la symétrie locale"
4. Après la mise en oeuvre du mécanisme de Higgs, on se retrouve avec un champ de jauge vectoriel massif si j'ai bien compris. Dans le cas présent, cela veut dire qu'on a des photons massifs? Est-ce que cela correspond à l'effet Meissner (le champ magnétique ne pénètre un supraconducteur que sur une distance finie parce que des photons massifs impliquent une portée finie)?

J'espère que c'est à peu près compréhensible et je serais vraiment reconnaissante si quelqu'un pouvait m'éclairer un peu!
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[ThM55]

Bonjour.

Pour la question 1: le potentiel qui apparaît dans le lagrangien ou le hamiltonien est plutôt . Il vient de l'idée qu'a eue Nambu de postuler pour le vide de la théorie quantique des champs un vide "dégénéré", et du modèle conçu par Landau pour la supraconductivité. Dans un système quantique qui possède une symétrie les niveaux d'énergie peuvent être uniques. Dans ce cas leurs états propres possèdent la symétrie du hamiltonien. Mais ils peuvent être aussi dégénérés, et dans ce cas les états propres ne sont pas symétriques. Dans la transformation, ils se transforment entre eux en une superposition linéaire des divers états. Si l'état fondamental (càd le vide en théorie des champs) est dégénéré on appelle cela une "brisure spontanée" de la symétrie. Un exemple classique en physique statistique est le ferromagnétisme: l'état fondamental a tous les spins alignés dans une direction précise, mais cette direction n'a rien de particulier car le hamiltonien possède la symétrie de rotation.

Dans le cas du modèle de Higgs (mais d'abord, dans l'ordre chronologique, dans celui de Goldstone), on postule l'existence d'un champ scalaire. On ne peut pas prendre un champ spinoriel ni un champ vectoriel ou tensoriel, car on veut tout de même que le vide reste invariant sous le groupe de Poincaré (produit du groupe de Lorentz et du groupe des translations), et cela n'est possible qu'avec un champ scalaire de Lorentz: à cause de la symétrie du vide, leur valeur moyenne dans cet état pour un champ spinoriel après quantification ne pourra qu'être nulle et il n'y aura pas brisure spontanée de la symétrie. On prend ce champ scalaire complexe, pour avoir un invariance de jauge, c'est la symétrie que l'on va briser. Au début on considère un champ classique, c'est par la suite qu'on sépare le lagrangien en un lagrangien "libre" et un lagrangien d'interaction, pour appliquer une procédure de quantification et faire les calculs perturbativement.

La symétrie de jauge fait "tourner" le champ dans le plan complexe, elle modifie sa phase. Pour avoir brisure spontanée de la symétrie de jauge, il faut que l'état fondamental soit dégénéré, de sorte que le champ sélectionne une phase particulière, qui n'est pas distinguée par la symétrie. Exactement comme en ferromagnétisme avec les spins qui s'alignent parallèlement. Pour cela, il doit avoir une valeur en module non nulle. Le plus simple est de choisir pour le potentiel un polynôme de degré 4 avec seuls les termes de degré 2 et 4. On doit avoir pour garantir que le hamiltonien est bornée par les valeurs négatives (sinon, instabilité). Et si on prend , il y a un vide unique. Pour avoir un état fondamental à valeurs non nulles du champ, il faut postuler . Si ensuite on sépare naïvement les termes, après quantification on serait amené à interpréter faussement le terme de degré 2 comme un terme de masse. Mais cette interprétation est non physique car une masse ne peut être imaginaire. D'où les procédures de Goldstone, puis de Higgs.

Voilà d'où vient le potentiel, l'idée originale remonte en fait au physicien russe Lev Landau.

[ThM55]

Je crois avoir expliqué ce qu'il faut pour répondre à la question 2: le signe négatif du terme de degré 2 donne une concavité vers le bas pour les faibles modules de et vers le haut pour les grands modules. Il y a donc un minimum pour une valeur finie de (il suffit de faire un graphique, ou bien pour les vrais matheux d'invoquer le théorème des valeurs intermédiaires), ce qui permet de réaliser une brisure spontanée de la symétrie.

Pour la question 3: je ne connais pas ce vocable "forcer la symétrie", mais plutôt la "briser spontanément". Le fait est que l'invariance de jauge locale est une bénédiction en théorie quantique des champs, elle la rend renormalisable. t'Hooft et Veltmann ont par exemple montré que la théorie de Yang-Mills (généralisation non abélienne de Maxwell) est renormalisable et est donc idéale pour construire des modèles. Si on brise "stupidement" cette invariance en ajoutant comme un bourrin un terme de masse au boson de jauge, cette bénédiction disparaît. D'où l'idée de le faire plus subtilement, par une brisure spontanée, c'est-à-dire engendrée par la dynamique. En fait la symétrie de la théorie reste absolument intacte, elle est simplement cachée. C'est pour cette raison qu'on a postulé cette brisure de symétrie. Cela était jugé très important dans les années 1960 pour la construction d'un modèle viable en physique des particules.

[ThM55]

On arrive enfin à la question 4. Dans le modèle de Higgs, le champ était un scalaire complexe. En théorie électrofaible il devient un isodoublet SU(2), tout en restant un scalaire pour Lorentz. le groupe de jauge de la théorie est SU(2)xU(1), ce qui permet de représenter l'interaction faible comme des vecteurs de Yang-Mills et le photon comme un vecteur U(1). En réalité comme vous le savez peut-être c'est un peu plus compliqué dans le modèle de Salam-Weinberg, il y a une rotation de l'angle de Weinberg qui fait que la symétrie U(1) de l'électromagnétisme n'est pas celle qui apparaît dans l'intitulé de la théorie. Mais peu importe, la symétrie qui est brisée par le champ de Higgs est SU(2) et non pas le groupe complet SU(2)xU(1), et il reste dans la théorie un boson de jauge de masse nulle que l'on identifie au champ électromagnétique.

Cela répond-il à vois questions?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ellana69]

Bonsoir,

tout d'abord merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre.

Pour la question 1 et 2: oui j'avais oublié un ². Du coup, en gros, on choisit la forme du potentiel pour pouvoir avoir une brisure de symétrie. Par contre, je ne comprends pas, vous dites que c'est faux d'interpréter -m² comme une masse? Parce que dans l'exemple que j'étudie, je pensais que cela correspondait justement à la masse du boson de Higgs (cf. pièce jointe)

ok pour la question 3.

pour la question 4: en fait je me demandais juste si l'on pouvait donner un sens à des "photons" massifs. Par exemple, pour en revenir à la supraconductivité, je sais qu'Anderson avait parlé d'"excitations massives"

[albanxiii]

Bonjour,

Ces documents pourraient vous intéresser :
http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...mps/CDC.24.PDF
http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...mps/CDC.25.PDF

Et éventuellement les autres chapitres que vous trouverez sur la page http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain/ au paragraphe "Théorie Quantique des Champs" -- "Cours (DEA de Physique nucléaire et des particules, Grenoble, 1981-82)".

@+

[ellana69]

Merci bien, je vais regarder ça ce week-end!