Différentielles et accroissements infinitésimaux

[Sephiralo]

Bonsoir tout le monde !

j'aurais besoin de vous pour m'aider à comprendre un passage d'un livre de thermodynamique que je ne comprends pas du tout du tout !!! Ce que je ne comprends pas n'est pas indispensable à connaître, mais sa m'énerve de laisser ce genre de détail...

Voici le passage :
Contrairement à la notation (rapport des deux infiniment petits dy et dx), la notation ne représente jamais un rapport : On ne note pas les accroissements infinitésimaux et mais toujours dU et dx. Ainsi :
à y constant, dy=0 et , soit avec dy=0

Donc voilà je ne comprends pas :
- pourquoi la notation ne représente jamais un rapport... je croyais que c'étais exactement sa sauf que comme il y a plusieures variables on utilise d rond...
- avec dy=0

Merci d'avance pour votre très précieuse aide !

Bonne soirée à vous tous.
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[LPFR]

Bonjour.
dU et dx sont des nombres et dU/dx est un rapport de nombres.
Mais est plutôt une "recette de cuisine" qui veut dire "faites la dérivée de U par rapport à x en considérant toutes les autres variables comme constantes". Donc, l'expression est un opérateur: c'est l'écriture abrégée pour le résultat des opérations à faire.
Au revoir.

[Sephiralo]

Bonsoir,

d'accord LPFR, merci pour la réponse, donc si j'ai bien compris, dU et dx peuvent avoir des valeurs, alors que et non. Ce n'est qu'une notation.

Cependant je ne comprends toujours pas la deuxième partie de ma question... car dans l'égalité, le y constant (à gauche) et le dy=0 (à droite) revient au même, donc je ne vois toujours pas ce qu'il se cache "mathématiquement" derrière le d rond...

PS : je sens bien que mon cerveau refuse de comprendre

[LPFR]

...
Cependant je ne comprends toujours pas la deuxième partie de ma question... car dans l'égalité, le y constant (à gauche) et le dy=0 (à droite) revient au même, donc je ne vois toujours pas ce qu'il se cache "mathématiquement" derrière le d rond...
...

Bonjour.
Désolé, je ne connais pas cette notation.
Je ne l'ai jamais utilisé, ni vue utiliser. Et elle ne m'a jamais manqué.
(Mais je ne doute pas qu'elle soit utilisée).
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

dU et dx ne représentent pas des nombres.

Ces notations, et celles des dérivées partielles, doivent être traitées

1) soit en les prenant toutes comme des "recettes" ;

2) soit en allant au bout, et cela veut dire apprendre leur signification en géométrie différentielle ;

Dans l'extrait donné par le message #1, l'auteur tente une approche intermédiaire, et les incohérences sont remarquées par le lecteur voulant comprendre.

Cette écriture est dangereuse. Si U dépend de deux variables x et y, l'écriture valide est


et y mettre dy à 0 n'est pas rigoureux (dy n'est pas un nombre). L'écriture ci-dessus définit les dérivées partielles, dont l'écriture ne peut pas être décomposée ( n'a pas de sens seul). Et cette écriture, une fois qu'on admet qu'y mettre dy à 0 n'a pas de sens, interdit de voir une dérivée partielle comme un rapport.

Il est plus simple, si on ne veut pas plonger dans la géo diff, de comprendre et tous deux comme des opérateurs, le premier appliqué à une fonction d'une seule variable et le second appliqué à une fonction de deux variables ou plus. Il est alors légitime d'écrire comme suit :

Si U est une fonction de deux variables, on peut noter U'(x) = U(x, y0), y0 fixé. Et on a alors , noté plus simplement comme . C'est la distinction des notations entre une fonction à deux variable et une fonction à une seule qui le permet: utiliser la même notation pour U et U' amène à des incohérences de notation.

Comprendre comme un opérateur permet de comprendre la notation pour la dérivée seconde, qui n'est pas un rapport, mais la composée d'opérateurs , que l'on note .

Comprendre en profondeur les notations dU et dx, utilisées seules, demande de passer en géométrie différentielle, ce qu'on considère comme non nécessaire pour leur usage en thermodynamique. (Ce qui n'empêche pas que comprendre la thermo dans le cadre de géo diff est très intéressant.)

[stefjm]

Est-ce correct de dire que cette relation exprime la variation de U due à la variation des signaux x et y?
Avec la fonction de transfert entre dx et dU, si on se restraint au cas linéaire.
Je dirais bien que oui, mais comme j'ai un doute...