Bonsoir à tous,
Est ce que vous avez une idée si on sait actuellement résoudre les équations de Yang Mills, et dans quel espace se trouvent les solutions ? Dans quel cadre se situe ce problème par rapport au monde de la recherche et son importance en physique et en mathématiques ?
Est ce que vous pouvez me donner l'intitulé des ouvrages et références qui s’intéressent à ce problème ?
Merci d'avance.
Comme les équations d'Einstein, les équations de Yang-Mills (classiques, non quantiques) sont non-linéaires. Cela implique une grande différence avec les équations de Maxwell sans sources: ces dernières étant linéaires, leur espace des solutions est un espace vectoriel et on peut exprimer une solution générale comme une combinaison linéaire de solutions de base. C'est ce que l'on fait, par exemple, avec la tranformée de Fourier.
Pourtant, on connait bien des solutions exactes dites "auto-duales" des équation de Yang-Mills; il s'agit de solutions pour lesquelles le champ est son propre dual, ce qui réduit a priori les degrés de liberté. Je peux me tromper, mais je crois que les mathématiciens considèrent qu'on les connaît "toutes" (c'est du moins ce que j'ai entendu dire lors d'un séminaire, sans pouvoir le vérifier ni bien comprendre d'ailleurs ce que signifie "toutes les solutions"). Elles ne sont pas sans intérêt en physique: par exemple les instantons, et, pour les équations YM en présence d'un champ de Higgs, les monopôles magnétiques.
Voici une référence qui explique ces solutions auto-duales: "Twistor Geometry and Field Theory", R.S.Ward & R.O.Wells.
Dans son livre sur les équations d'Einstein (General relativity and the Einstein equation), Yvonne Choquet-Bruhat mentionne l'existence d'une solution des équations d'Einstein+Yang-Mills à symétrie sphérique et statique, obtenue numériquement. Elle construit aussi une solution en onde progressive (p 361).
