Question sur le théorème de Lagrange (mécanique des fluides)

[invite8b63c296]

Bonjour,
J'ai une question concernant la démo du théorème de Lagrange. Je rappelle le théorème : "Dans un champ de forces conservatives, un écoulement parfait, incompressible et homogène, irrotationnel à t=0, reste irrotationnel ultérieurement."
Pour la démo, on part de l'équation d'Euler, on en prend le rotationnel et on aboutit à :

Et à partir de là, je ne comprends pas comment on arrive au résultat. Une explication ?
Merci d'avance.
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[ThM55]

Bonjour; il me semble que si le rotationnel est nul, le second membre s'annule identiquement. L'équation dit alors que le rotationnel est constant (donc qu'il reste nul).

[invite8b63c296]

Merci de votre réponse. Mais on obtient :



Donc on retrouve :

à .

Je ne comprends pas pourquoi c'est vrai aussi pour .

[ThM55]

Le fait que le rotationnel soit nul en t=0 nous dit que le second membre de l'équation est nul en t=0.

Je définis l'inconnue de l'équation par et on a comme conséquence de l'équation et de sa condition initiale: .

Mais l'inconnue w apparaît aussi au second membre de l'équation . Par conséquent, la solution w = 0 partout et pour tout t, est une solution particulière de cette équation qui vérifie la condition initiale. Et en vertu du théorème d'unicité qui s'applique à ce genre d'équation, ce doit être la seule solution.

En fait on peut aussi le voir assez facilement en développant w en série de puissances autour d'un point et proche de t=0, et constater que la seule solution est w=0. Ce n'est rien d'autre qu'un cas particulier très simple du théorème de Cauchy-Kovalesvsky, qui est valable pour des fonctions analytiques (donc pour lesquelles le développement de Taylor est possible); mais il y a des théorèmes qui peuvent s'appliquer à des fonctions plus générales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Et en effet, je dois m'excuser pour la légèreté de ma première réponse. J'avais allègrement franchi de nombreuses étapes sans les justifier.

Je dois ajouter un mot sur les théorèmes d'unicité: malheureusement, pour les équations aux dérivées partielles ils sont beaucoup plus restrictifs que pour les équations différentielles ordinaires, pour lesquels on a des démonstrations simples comme celle de Picard. Même le théorème de Cauchy-Kovalevski, pourtant de portée très limitée, ne s'applique pas à certaines équations très simples. J'ai mentionné une méthode de développement en série au voisinage d'un point (par ex l'origine des coordonnées, et t=0), qui par substitution devrait donner pour v des coefficients à rotationnel nul). Mais je dois préciser que, bien que je sois persuadé que cette méthode fonctionne, je n'ai pas fait l'exercice moi-même, et je pense qu'elle doit être difficile à mettre en oeuvre, et mener à plusieurs pages de calculs. Je ne recommande donc pas de le faire effectivement. Le mieux est de se renseigner sur les conditions d'applicabilité des théorèmes d'unicité.

[invite8b63c296]

Le fait que le rotationnel soit nul en t=0 nous dit que le second membre de l'équation est nul en t=0.

Je définis l'inconnue de l'équation par et on a comme conséquence de l'équation et de sa condition initiale: .

Mais l'inconnue w apparaît aussi au second membre de l'équation . Par conséquent, la solution w = 0 partout et pour tout t, est une solution particulière de cette équation qui vérifie la condition initiale. Et en vertu du théorème d'unicité qui s'applique à ce genre d'équation, ce doit être la seule solution.

Merci de votre réponse, j'ai parfaitement compris.

Par contre, je vous avoue que je n'ai pas tout saisi pour le reste, ce sont des notions qui me dépassent et que je n'ai pas encore abordées. Mais ça a l'air fort intéressant.