[Exos] Cinématique

[kp369]

Bonsoir,

J'essaye actuellement de résoudre un petit exercice tout gentil mais je pense que quelque chose m'échappe .
Voici l'énoncé :

Austin prétend être un surhomme, il tente d'attraper un homme qui s'enfuit dans une voiture de sport. La distance entre Austin et la voiture est de 100m au moment où la voiture commence à accélérer. Cette accélération est constante et vaut 5m/s². Austin court à un vitesse constante de 30 m/s.
a) Montrez qu'il ne parviendra pas à rattraper la voiture
b) Calculer la distance minimal qui séparera Austin et la voiture

Donc les équations du mouvement sont respectivement


pour Austin et la voiture.
Soit la distance qui sépare Austin de la voiture, sa valeur est donnée par

Et donc pour trouver le minimum il suffit juste de dériver et de faire un tableau de signe, on trouve le minimum à

En 6 secondes, Austin aura parcouru 180m (6x30) tandis que la voiture en aura fait 190m (100+90).
Et donc une distance minimale de 10 m. Premièrement est-ce juste ?

Secondement comment démontrer a) ? Est-ce suffisant de dire comme la distance minimale est de 10m, elle n'est pas nulle et donc à priori il ne rattrapera jamais la voiture ?

Merci de votre aide !
-----

[LPFR]

Bonjour.
Il est évident que si Austin court à 30 m/s il est, sans contestation possible, un surhomme.
Comparez avec le record du monde du 100 m de Usain Bolt.

Vos équations sont fausses. Vous utilisez la même variable pour Austin et la voiture, alors qu'ils ne partent pas de la même position. Pour t=0, les deux ne sont pas à x = 0.
Au revoir.

[kp369]

Bonjour,

Merci de votre réponse.
Il va de soi que courir à 30m/s, et ce à vitesse constante, est improbable mais j'imagine que mon prof de physique devait manquer d'imagination à ce moment là. Bref passons.

En effet, je ne tiens pas en compte la distance qui les sépare au départ. Mais je partais du principe que, quelque soit la distance qui les sépare au temps initial, la distance que chacun ferra pendant un temps t est la même qu'il soit séparé d'un, de dix ou de cent mètres.
C'est pour ça que j'obtiens 180m et 90m (sans tenir compte des 100m).
Puis j'ajoute 100m à la voiture (car elle est effectivement 100m "plus loin" qu'Austin).

J'ai quand même essayé de modifier mes équations au cas où, et j'ai dés lors


Ce qui, en dérivant, reviens à la même chose (même fonction, même minimum et même distance donc).

Est-ce toujours faux ?
Qu'en est-il de la sous question a) ?

[LPFR]

Re.
Oui. C'est toujours faux. Ce que vous avez calculé n'est pas un minimum mais un maximum (la distance d'avance d'Austin sur la voiture). Et ceci pour un problème différent.
Votre problème est un problème de physique et non des maths. Il faut que les équations décrivent le problème. Que vous ayez obtenu la même valeur numérique pour deux grandeurs différentes ne rend pas votre réponse correcte.

Pour la question a) il faut que vous montriez qu'il s'agit d'un minimum et que donc, il ne rattrapera jamais la voiture.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[kp369]

Re,

D'accord !
Donc je vais reprendre depuis le début.
Austin : MRU (vitesse constante, donc accélération nulle) donc
Voiture : MRUA (accélération donnée dans l'énoncé) donc
Je remplace ce que je connais


Ici j'ai considéré la vitesse initiale de la voiture comme étant nulle, mais après réflexion on dit nulle part dans l'énoncé qu'il démarre on dit juste qu'il commence à accélérer. Je vais continuer en considérant celle-ci comme nulle, si c'est ici qu'est mon erreur je recommencerai.

Et puis je suis un peu perdu, j'avais aussi pensé que Austin rattrapera la voiture quand sa position sera égale à celle de la voiture (pour le a) )



Le discriminant étant négatif, il n'y a pas de solution dans R et donc il ne rattrapera jamais la voiture.
Mais bon c'est une tout autre justification que celle que vous m'avez suggéré.

Mais pour le b) du coup je sèche.
Pourriez-vous me donner une piste ? Car hormis le , je vois pas du tout comment mettre en équation la distance qui les sépare.

Merci de votre patience !

[LPFR]

Re.
Peut-être que la distance entre la voiture et Austin est Xv - Xa ?
Il faut que vous exprimiez la distance entre la voiture et Austin, et que vous trouviez quand cette distance passe par un extrême. Puis la valeur de cet extrême. Comme avant vous avez démontré qu'Austin ne rattrape pas la voiture, cet extrême ne peut être qu'un minimum.
Si non, il faut calculer le signe de la deuxième dérivée.
A+

[kp369]

Re,

D'accord, mais c'est ce que j'ai fais dans mon premier message non ?



La dérivée première est
Son unique zéro est

Valeur de l'extrême : 6, donc cet extrême correspond à mon minimum (car négative, nulle en 6 et puis positive)
Soit
Je retombe sur exactement la même réponse

La dérivée seconde est , donc positive en tout point (et donc ne s'annule jamais).

[LPFR]

Re.
Relisez le post #2.
A+

[kp369]

Vos équations sont fausses. Vous utilisez la même variable pour Austin et la voiture, alors qu'ils ne partent pas de la même position. Pour t=0, les deux ne sont pas à x = 0.
Au revoir.

Oui ils ne partent pas de la même position, c'est pour ça que dans l'équation du mouvement de la voiture.
Je comprends pas du tout où est mon erreur.

La fonction est correcte non ?
(situation initiale)
(A est à 30m, et V est à 102,5m, donc c'est bien 72,5)
(A est à 60m, et V est à 110m, donc c'est bien 50)
(A est à 180m, et V est à 190m, donc c'est bien 10)
Finalement à 7 secondes
(A est à 210m, et V est à 222,5m, donc c'est bien 12,5)

Austin : MRU (vitesse constante, donc accélération nulle) donc
Voiture : MRUA (accélération donnée dans l'énoncé) donc
Je remplace ce que je connais

Oui je sais que même si j'ai le même résultat cela signifie pas que c'est juste mais franchement je ne vois pas du tout où est mon erreur.
Les équations sont fausses, pourquoi ? Où est l'erreur ?

Je ne sais pas si c'est parce que c'est le matin, mais décidément ça ne veut pas !

[LPFR]

Re.
Votre calcul dans le post #7 est le bon.

Ce qui n'est pas bon est votre phrase:

...
Je retombe sur exactement la même réponse
...

Dans le premier cas vous aviez trouve une avance maximale de 10 m d'Austin sur la voiture.
Votre réponse n'était donc pas la même. Les 10 m ne correspondaient pas à la même grandeur ni au même problème.
A+

[kp369]

Re,

Ah oui d'accord ! J'ai saisi la nuance !
Merci énormément !

Bonne journée