Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

[LPFR]

Re.
N est la normale à la surface de roulement (exercée par la bille sur le rail). Donc, en toute rigueur, elle est égale à la force centrifuge (plus le poids).
Alors que la force centripète est celle exercée par le rail sur la bille et qui l'oblige à suivre le rail.
Je parle de force centripète car je me place sur le repère inertiel (la table). Alors que la force centrifuge n'est sentie que sur le repère non inertiel lié à la bille. Mais, pas de problème, les deux forces ont la même valeur et ont des directions opposées. En plus d'être appliquées sur des objets différents.
A+
-----

[LPFR]

Bonjour,
Dans quel article de wiki ?
S’agit-il d’un objet en mouvement rotatif ou d’objet sur une trajectoire rectiligne ?
Je suppose sinon que le r est le rayon de la bille ou boule .

Re
Dans celui-ci:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rolling_resistance
A+

[cal34]

Je parle de l'article cité par LPFR au début du thread:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rolling_resistance
r est bien le rayon de la bille
b est le coefficient de friction de roulement.
La valeur de r ou b a peu d'importance pour mon animation (c'est constant).
Effectivement, ils disent que la bille roule à vitesse constante.
Donc en rotation, on tient aussi compte de la force centripète.
Ils ont aussi écrit ceci:
The above shows resistance proportional to but does not explicitly show any variation with speed, loads, torque, surface roughness, diameter, tire inflation/wear, etc. because itself varies with those factors.
On dirait que le coefficient C_rr dépend de la vitesse?

[ansset]

ça, ça dépasse mes connaissance ...
Pour le reste, on était bien cohérent.

[LPFR]

...
On dirait que le coefficient C_rr dépend de la vitesse?

Re.
N'oubliez pas que l'article parle surtout de pneumatiques. Il est connu que la friction, même si elle est "constante", elle ne l'est pas tout-à-fait. Mais ces variations sont bien au delà de ce que vous voulez faire. Oubliez-le. D'autant plus que votre bille n'est pas un pneumatique.
A+

[ansset]

Revenons à notre roulette.
J’ai pris 1m de rayon, ça parait grand
Prenons 1m de diamètre ( 50 cm de rayon )
W(T/s) a v(km/h))

3 178 34
2,5 123 28
2 78 23
1,5 44 17
1 19 11
0,5 5 6

le a est à comparer avec g
la vitesse à la fois pour le lancer initial et le moment de chutte

[ansset]

impossible de tabuler proprement.

[cal34]

Je vais partir sur votre formule et essayer runge-kutta.
Je vous donne des nouvelles si j'y arrive.

[cal34]

J'ai réussi à appliquer runge-kutta d'ordre 4 sur cette équation différentielle.
Voici le résultat:
http://monique.damichel.perso.sfr.fr...e/roulette.zip

Il faut avoir java7 32 bits installé sur l'ordinateur et cliquer sur l'exécutable.
Je suis sûr des calculs effectués à partir de l'équa.diff. (vérifiés avec Maple). Le mouvement de la bille a l'air cohérent.

[ansset]

impossible pour moi mais content pour toi.
cordialement.

[cal34]

Je peux faire un exécutable pour java7 64 bits si tu veux?

[ansset]

pourquoi pas !
Ce qui peut être intéressant, c’est de comparer avec l’équation simple obtenue dans le cas g négligeable.
De voir à partir de quand les courbes divergent.

[ansset]

As-tu comparé avec g=0, au moins pour le début du mouvement.
Rappel , cette hypothèse simplificatrice amène simplement.
V(t)=V0/(1+V0(k/R)t)

[cal34]

Voici les courbes obtenues avec Maple
En abscisse, on a le temps t et en ordonnée, theta(t).
j'ai tracé la courbe sans négliger g, puis en négligeant g:

Comme valeurs, j'ai pris k=0,05
g=9,81
R=0,5
angle initial=0
vitesse angulaire initiale=10
(c'est ce que j'ai pris pour mon animation).
C'est pas trop mal jusqu'à t=2,5 mais après ça ne marche plus.
C'est vrai qu'on pourrait peut-être négliger v^4 à partir d'un certain moment ensuite , mais comment savoir à quel moment, et comment faire entre les deux (où on ne peut rien négliger)?
Surtout que pour la roulette, la vitesse initiale sera aléatoire.

[ansset]

Pourquoi veux tu négliger v^4 ?
Le modèle de simulation semble bon, bien meilleur qu’en négligeant g.
Par contre j’aurai pris une vitesse initiale plus importante.
10 c’est en gros 1,5 T/s .
Quand au k , je n'ai aucune idée
Et c’est surtout la fin qui est assez non modélisable, car une roulette possède des petits obstacles en laiton qui la freinent quand elle descend du bord, et précipitent sa chute ( encore plus aléatoire ).
Au pif effectivement la chute se produit légèrement entre ½ et 1 T/sec.
( mais je ne suis pas joueur )

[cal34]

Je pensais négliger v^4 à la fin quand la vitesse est faible pour faire comme au début quand on néglige g et simplifier les calculs.
Mais de toute façon, comme tu le dis, faire une résolution numérique de l'équa diff avec Runge Kutta est mieux (le temps de calcul ne pose pas de problème).
Donc pas la peine de négliger g.
La vitesse initiale sera aléatoire donc je choisirai dans un intervalle avec des bornes plus grandes que 10.
Pour la fin, je vais me contenter d'attendre que la bille s'arrête d'elle même (dès que la vitesse s'annule).

[ansset]

Ça c’est pas gentil pour ton modèle.
Après avoir fait l’effort de la simulation.
Il ne faut pas oublier que le « rail » est légèrement en pente, donc en perdant de la vitesse , la bille descend légèrement jusqu’à toucher les plots en laiton qui provoque sa chute après qcq sautillement.
Donc, tu peux au moins estimer le moment où elle ne colle plus au bord.
A moins que tu soit un peu lassé de ton petit exercice ( ce qu’on peut comprendre )

[cal34]

Oui, en fait je vais m'arrêter là. Ça suffira bien...
Merci pour votre aide précieuse.

[ansset]

Ps pas sur d’avoir bien saisi les abcisses et ordonnées de tes courbes.

[cal34]

Pourquoi: t en abscisse et theta(t) en ordonnée, c'est absurde?
J'ai entré cette équa diff dans Maple:

diff(theta(t), t, t) = -k*sqrt((diff(theta(t), t))^4+g^2/R^2)

et j'obtiens bien la courbe rouge.

[cal34]

C'est vrai que ça ressemble un peu à une parabole.

[ansset]

theta ne peut pas diminuer, la bille ne revient pas en arrière !

[cal34]

ah oui, c'est parce que j'aurais dû arrêter le tracé dès que la vitesse de la bille s'annule (au sommet de la courbe).
Je pense que l'équa diff n'est plus valable après, sinon, c'est que l'équa diff de départ était fausse.

[cal34]

L'équa diff de départ est :


Si la vitesse v(t) vaut 0, l'accélération n'est pas nulle, donc la bille repart dans l'autre sens.
Donc soit l'équa diff est valable jusqu'à ce que la bille s'arrête, soit elle est fausse

[ansset]

Non, je crois que l’equa diff est bonne, mais non valable après vitesse nulle.
Les math se moquent de la physique là.
En toute logique, si je poursuis ce que j’avais dit.
En supposant une « pré chutte » de la bille au moment ou elle décolle du rail.
C’est le moment ou
Rw² ou v²/R devient < g*tan(alpha) ( avec alpha= angle du rail : ex 20° )
Donc un peu avant vitesse nulle

juste un petit paramètre simple de plus.