Théorie des perturbations stationnaires - Exercice

[JoOoO]

Bonsoir à vous,

Je suis actuellement bloqué sur un exercice concernant les perturbations stationnaires et j'aurais besoin qu'on me guide car pour être honnête, je suis un peu perdu.

Voici l'exercice en question:



Voici ce que j'ai fait pour l'instant:

1)

On a affaire içi à un oscillateur harmonique à deux dimensions.
On a donc Ho|n,p>=En,p|n,p>
où En,p=(n+p+1)hw

On nous demande de se limiter au premier ordre pour l'énergie donc nous avons deux cas:
soit n=1 et p=0
soit n=0 et p=1
=> En,p=2hw , Dégérescence=2

Ho|n,p>=2hw|n,p>

Les vecteurs propres sont |1,0> et |0,1>


2)

W1=mw²XY
Avec les opérateurs annihilation et création, j'en conclus que W1=(hw/2)*(ax+ax*)(ay+ay*) (*=croix)

W2=(hw/2)*((Lz²/h²)-2I)

E2=3hw
J'ai choisi la base |2,0> |1,1> |0,2>
A ce moment là je bloque, je ne vois pas du tout comment mettre W1 et W2 sous forme de matrice.



Merci d'avance.
Cdt, JoOoO
-----

[QuarkTop]

Bonjour,
Les éléments de matrice d'un opérateur linéaire A dans une base |a_i> (i=1..d) sont A_ij = <a_i|A|a_j> .

[JoOoO]

Bonjour,
donc la matrice pour W1 serait du type

<2,0|W1|2,0> <2,0|W1|1,1> <2,0|W1|0,2>
<1,1|W1|2,0> <1,1|W1|1,1> <1,1|W1|0,2>
<0,2|W1|2,0> <0,2|W1|1,1> <0,2|W1|0,2>

Et seuls les éléments diagonales de la matrice sont non nuls ?

[QuarkTop]

Et seuls les éléments diagonales de la matrice sont non nuls ?

Je te laisse faire le calcul...

[A voir en vidéo sur Futura]

[JoOoO]

C'est à ce moment là que je bloque. Je ne vois pas ce que donne <2,0|W1|2,0>. Serait-ce 3hw.W1?

[QuarkTop]

Tu connais l'action des opérateurs de création et d'annihilation sur ta base.

[JoOoO]

Je sais que <phi_n+1|W1|phi_n> = (hw/2)
et <phi_n-1|W1|phi_n>= (hw/2)

[QuarkTop]

Ton état est caractérisé par deux entiers, pas juste un seul. Les ax et ax* agissent sur le premier, les ay et ay* sur le deuxième.

[JoOoO]

Exact. Donc cela donnerait <n',p'|W1|n,p>=(hw/2)+)

[QuarkTop]

Le résultat ne dépendrait pas de n', p' et p ? Il faut vérifier la cohérence de ce que tu obtiens...

[JoOoO]

<n',p|W1|n,p>=(hw/2) ?

[QuarkTop]

Non plus... Tu pourrais au moins détailler proprement tes calculs, là ça ressemble un peu à un jeu de devinettes...

[JoOoO]

En fait mon gros problème c'est que je n'arrive pas à faire la corrélation entre n',n,p',p et ax,ax*,ay et ay*.
On m'a donné comme indication de calculer <n',p'|W1|n,p> comme le produit tensoriel de <n'|W1|n>x<p'|W1|p>.
Sauf que je ne vois pas du tout ce que peut valoir <n'|W1|n> par exemple.

[QuarkTop]

L'indication dit de le voir comme m.w².<n'_x|x|n_x>.<p'_y|y|p_y> , c'est aussi ce que j'ai voulu dire au post #8.

[JoOoO]

Je voulais savoir si j'avais le droit d'écrire que: (ax+ax*)= en ayant appliqué l'action des opérateur annihilation et création ?

[QuarkTop]

En ayant appliqué entre quels états ? Tu n'as pas pris en compte le calcul des <n'_x|n_x>. Je t'ai déjà dit de détailler les calculs au lieu de donner un résultat...

[JoOoO]

J'ai juste remplacé les actions de a et a* tels que a|n>=sqrt{n}|n-1>
et a*|n>=sqrt{n+1}|n+1>

[JoOoO]

Pourriez-vous me donner l'exemple pour <n'|X|n> car je ne vois vraiment pas comment faire. J'essaierai ensuite de l'appliquer pour <p'|Y|p>

[QuarkTop]

Tu n'as pas fait ce que j'ai dit au post #16. Que vaut <n'|n> ?

[JoOoO]

Selon moi, <n'|X|n>= X|n+1> + X|n-1> avec X=