Probleme de physique quantique simple (boite a 1d) et pourtant....

[gatsu]

Salut a tous,

Je suis en train de reflechir a la physique d'une particule quantique dans une boite en essayant d'aller au dela des trucs elementaires que j'ai vu pour voir
comment par exemple on peut retrouver (ou pas) un semblant d'intuition sur ce qu'il s'y passe.

Je passe les details car ils sont archi-connu mais je me place dans le cas d'une boite de taille L et ou le zero est au milieu de la boite et donc l'ahimiltonien commute avec l'operateur parite par exemple. Les etats propres de l'hamiltonien sont soit donc pairs soit impairs et les conditions aux bords selectionnent des cosinus qui ont la forme suivante :

avec

de telle sorte que cela vale zero en et la fonction rectangle s'assure que la fonction d'onde est nulle en dehors de la boite.

Dans un fil recent sur Physics Stack Exchange, un forumeur s'etonnait que l'operateur impulsion n'avait pas d'etats stationnaires dans une telle boite. Apres avoir dit pas mal de betises, je me suis rendu compte que c'etait evident ne serait ce que parce qu'il n'y avait pas d'invariance par translation et que par consequent l'operateur impulsion ne pouvait pas commuter avec l'hamiltonien.

L'interpretation physique avec les mains que j'en ai fait est que, dans un etat stationnaire de l'equation de Schrodinger, la particule quantique passe son temps a entrer en collision avec les murs de la boite et du coup son impulsion ne cesse de changer de signe. Je me suis alors mis en tete de calculer la densite de probabilite d'etre dans un etat d'impulsion sachant que l'etat initial du systeme est dans l'etat .

Pour le reste du calcul, il est assez utile de calculer d'abord la quantite suivante :



Meme si on a la flemme de calculer ce truc, c'est une integrale de Fourier standard qu'on retrouve facilement et dont l'expression finale s'exprime en fonction de sinus cardinaux :



ou .
Maintenant l'amplitude que je souhaite calculer est :



Ou j'ai insere deux relations de fermeture des etats propres de l'hamiltonien qui forment une base orthonormee de l'espace des etats (il me semble) et ou j'ai simplifie une des sommes en utilisant l'orthogonalite des vecteurs de la base.

Si j'utilise maintenant la relation ci-dessus pour le produit scalaire et le fait que , j'obtiens :



C'est la que les problemes commencent...

En admettant que tout ce que j'ai ecrit est juste, prenons le cas simple ou . On a donc



Imaginons un cas ou il existe un tel que ou en fonction des gouts, on a choisit p_1 de telle sorte qu'il corresponde a un .

Le probleme est que peut toujours etre decompose comme etant avec entier.
Ainsi le premier sinus cardinal vaut zero pour tout a l'exception de .
Dans ce meme cas, il est egalement facile de voir que l'argument du second sinus cardinal est la somme de deux nombres impaires multipliee par qui conduit egalement a zero pour tout cette fois ci.

Ainsi, l'amplitude de probabilite est une simple phase qui me donne au final une densite de probabilite independante du temps pour retrouver l'impulsion avec laquelle j'ai commencer l'experience.

J'ai l'impression que ce resultat ne fait pas sens du tout et je ne comprends pas ou le bas blesse.

J'ai evidemment pu faire une faute de calcul ou d'interpretation et si quelqu'un a une idee, elle est plus que bienvenue.

Merci d'avance !
-----

[DarK MaLaK]

Salut, je ne suis pas sûr de suivre tout ton raisonnement, tu veux dire qu'on tombe uniquement sur des minima de la fonction sinus cardinal sauf pour une valeur ? Sinon je crois qu'il faut diviser par 2 ce qu'il y a dans tes sinus cardinaux (je trouve L/2 au lieu de L). Est-ce que ça te permet de retomber sur quelque chose de plus cohérent (des maxima en pi/2 ?) dans le cas où mon calcul serait juste ?

[gatsu]

Salut, je ne suis pas sûr de suivre tout ton raisonnement, tu veux dire qu'on tombe uniquement sur des minima de la fonction sinus cardinal sauf pour une valeur ? Sinon je crois qu'il faut diviser par 2 ce qu'il y a dans tes sinus cardinaux (je trouve L/2 au lieu de L). Est-ce que ça te permet de retomber sur quelque chose de plus cohérent (des maxima en pi/2 ?) dans le cas où mon calcul serait juste ?

Merci de ta participation Dark Malak, je me rends compte que le message de depart est un peu indigeste a vu d'oeil meme si le probleme est pourtant tres simple a poser "quelle est la probabilite d'etre a p2 au bout d'un temps t, si je commence a p1 dans une boite a 1d ?".
Effectivement, je dis pour l'instant que si mon calcul est juste et si je considere une impulsion de depart qui est egale a un alors tous les sinus cardinaux sont nuls sauf un.
J'avais un doute a propos du facteur 2 dans l'argument des sinus cardinaux mais il me semble que cela ne change rien a ma (fausse ?) conclusion malheureusement .

[azizovsky]

Bonjour ,je me demande est ce qu'il y'a pas une autre condition sur pour les pair de la forme ?:
avec .

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Bonjour ,je me demande est ce qu'il y'a pas une autre condition sur pour les pair de la forme ?:
avec .

Salut ,avec

[mariposa]

@ Gatsu

Bonjour,

Ta question est interessante et la maniere de poser le probleme est d y répondre qualitativement est correcte.

Par contre mathématiquement cela me parait incomprehensible.

Comme H et P ne commutent pas cela veut dire que tout etat autre que les vecteurs propres de H sont combinaisons linéaires des vecteurs propres de H.

Donc si tu veux representer une collision sur un mur de potentiel il faut former un etat tres localisé dans le puit ( un paquet d onde) par combinaison lineaire des fonctions propres et regarder son évolution.

En fait il s agit du même probleme que celui traité dans les libres de base de la MQ ou un paquet d onde formé par combinaison d onde plane rencontre un mur de potentiel. La difference avec ton cas se fait dans la formulation du paquet d onde ou les fonctions propres stationnaires sont différentes.

[Armen92]

Je n'ai pas refait votre calcul en détail mais un point me paraît important, que vous ne mentionnez pas explicitement : avez-vous tenu compte du fait que la dérivation aux bornes introduit une "fonction" de Dirac ?

[gatsu]

Bonjour ,je me demande est ce qu'il y'a pas une autre condition sur pour les pair de la forme ?:
avec .

Mais c'est bien sur !! tu as tout a fait raison, j'ai oublie une fonction. J'avais du mal a m'expliquer pourquoi je choisissais necessairement la solution paire et il n'y avait effectivement aucune raison pour cela. Il faut que je me retappe le calcul avec ca en plus maintenant .

Par contre mathématiquement cela me parait incomprehensible.

Tiens donc ? J'ai apparemment fait une erreur en omettant la moitie des vecteurs propres de l'hamiltonien mais je ne vois pas en quoi c'est incomprehensible.

Cela me parait plutot clair : je pars d'un etat qui n'est pas un etat propre de l'hamiltonien du systeme et je cherche en gros a savoir, entre autre, avec quelle probabilite est ce que je peux le retouver apres un temps . Pour ce faire, j'utilise la representation de Schrodinger dans laquelle, le vecteur d'etat dans le temps n'est rien d'autre : ou est l'operateur d'evolution du systeme.
Je projette ensuite cet etat a l'instant sur n'importe quel etat de mon choix pour calculer l'amplitude de probabilite correspondante.

Tout cela me semble tres standard et mathematiquement bien defini. Apres, lorsqu'on met les mains dans le camboui cela devient moins lisible je te l'accorde.

Comme H et P ne commutent pas cela veut dire que tout etat autre que les vecteurs propres de H sont combinaisons linéaires des vecteurs propres de H.

Oui c'est exactement ce que je fais en introduisant deux relations de fermetures avec les etats propres (le seul probleme est que j'en ai apparemment oublie la moitie).

Donc si tu veux representer une collision sur un mur de potentiel il faut former un etat tres localisé dans le puit ( un paquet d onde) par combinaison lineaire des fonctions propres et regarder son évolution.

je ne m'interesse pas a une collision en particulier mais imagine qu'une succession de collisions vont se produire et diluer ma condition initiale dans une mer de differentes valeurs d'impulsion dans la plupart des cas. Cependant, j'ai l'intuition (peut etre fausse) qu'il doit exister des impulsions initiales "resonnantes" dont le signe change simplement de maniere reguliere moyennant quelque fluctuations autours de ce comportement. Cette approximation de changement de signe regulier serait d'autant meilleure que la taille de la boite serait grande devant la longueur de de Brooglie de l'etat initial....c'est ce que j'imagine en tout cas.

Je n'ai pas refait votre calcul en détail mais un point me paraît important, que vous ne mentionnez pas explicitement : avez-vous tenu compte du fait que la dérivation aux bornes introduit une "fonction" de Dirac ?

Je me rends compte que j'ai effectivement pu oublier pas mal de choses et c'est tant mieux car je n'aime pas le resultat que je trouve actuellement .
Cela etant, je suis desole mais je ne suis pas sur de voir dans quel contexte cette "fonction" de Dirac devrait apparaitre dans ce probleme. Pouriez vous m'eclairer d'avantage ? Merci.

[Chip]

je pars d'un etat qui n'est pas un etat propre de l'hamiltonien du systeme et je cherche en gros a savoir, entre autre, avec quelle probabilite est ce que je peux le retouver apres un temps

Tu pars d'un état qui n'est pas physique pour le problème considéré (puisque tu as un puits infini et tu considères un état p). Sa décomposition sur les états propres du hamiltonien ne va pas être correcte, car ils forment une base uniquement pour les états physiques du problème.

Oui c'est exactement ce que je fais en introduisant deux relations de fermetures avec les etats propres (le seul probleme est que j'en ai apparemment oublie la moitie).

Pas le seul problème.

[gatsu]

Tu pars d'un état qui n'est pas physique pour le problème considéré (puisque tu as un puits infini et tu considères un état p). Sa décomposition sur les états propres du hamiltonien ne va pas être correcte, car ils forment une base uniquement pour les états physiques du problème.

Je me suis pose la question en effet..mais pas plus de trois secondes. La raison en est que je traite le probleme de facon generale comme si j'avais affaire a un hamiltonien avec un potentiel general et une fonction d'onde definie sur R. Si je trouve les vecteurs propres du hamiltonien, entre autres operateurs, alors j'ai une base de mon espace de Hilbert des fonctions qui sont L2(R) integrables (dit a la sauce physique).
J'ai par ailleurs du mal a visualiser comment choisir, sans se tromper, un soit disant etat physique du probleme qui ne soit pas trivialement un etat stationnaire de ce dernier...
Est ce que la somme de deux ou trois vecteurs de bases convient ou y a t-il un critere specifique pour etre etre autorise dans le club des "conditions initiales physiques". Et si les etats p ne sont pas des etats physiques pour ce systeme, alors comment se fait-il que je puisse decomposer mes solutions stationnaires sur la base qu'ils forment ? (pour ce dernier argument, on pourra me retorquer que les ondes planes ne sont pas L2, ce qui est vrai mais cela est aussi vrai de la pseudo-fonction de Dirac et pourtant cela n'empeche personne de commencer un probleme de particule libre avec la position de la particule exactement determinee).

Note que j'ai peut etre tord mais c'est juste pour dire que je ne demande qu'a etre convaincu qu'il existe un truc comme des bonnes conditions initiales physiques pour un systeme donne et si tu pouvais me donner une strategie au passage pour pouvoir les determiner ca serait sympa.

[Chip]

La raison en est que je traite le probleme de facon generale comme si j'avais affaire a un hamiltonien avec un potentiel general et une fonction d'onde definie sur R. Si je trouve les vecteurs propres du hamiltonien, entre autres operateurs, alors j'ai une base de mon espace de Hilbert des fonctions qui sont L2(R) integrables (dit a la sauce physique)

Non. Ton hamiltonien n'admet pas de fonctions propres non-nulles en dehors du puits. La base que tu trouves n'est une base que pour les fonctions qui respectent les conditions physiques de ton problème ("physique" n'est sans doute pas le meilleur mot mais c'est ce qui me vient). Tes états p ne peuvent pas être décomposés sur cette base. Pour être un peu plus spécifique,

Maintenant l'amplitude que je souhaite calculer est :



Ou j'ai insere deux relations de fermeture des etats propres de l'hamiltonien qui forment une base orthonormee de l'espace des etats (il me semble) et ou j'ai simplifie une des sommes en utilisant l'orthogonalite des vecteurs de la base.

Ta relation de fermeture n'est pas correcte puisque tes états n ne sont pas une base pour l'espace entier, uniquement pour les fonctions admises par ton hamiltonien.

[gatsu]

Non. Ton hamiltonien n'admet pas de fonctions propres non-nulles en dehors du puits. La base que tu trouves n'est une base que pour les fonctions qui respectent les conditions physiques de ton problème ("physique" n'est sans doute pas le meilleur mot mais c'est ce qui me vient). Tes états p ne peuvent pas être décomposés sur cette base. Pour être un peu plus spécifique,

Ta relation de fermeture n'est pas correcte puisque tes états n ne sont pas une base pour l'espace entier, uniquement pour les fonctions admises par ton hamiltonien.

Ok tu as raison. Mais on peut imaginer prendre la restriction de l'onde plane a la boite comme condition initiale et le meme type de restriction pour l'etat "d'impulsion" p2 que l'on souhaite sonder apres un temps t. Des trucs bizarres se passent aux bords de la boite mais grosso modo a l'interieur exclusif de la boite on a quelque chose proche d'un vecteur propre de l'impulsion.

Il me semble que tous les produits scalaires ont la meme valeur que calculee ci-dessus (a l'exception du fait que j'ai oublie la moitie des vecteurs de base) et je retrouve le meme resultat "bizarre" avec une probabilite independante du temps.

Cette correction me semble convenable non ?

[Armen92]

Bonjour,
Indépendamment des remarques judicieuses qui vous ont déjà été faites, j'ajoute ce qui suit.
Si je vous lis bien, ce que vous notez est tout simplement la représentation-impulsion de l'état stationnaire en représentation-coordonnée, nullement un état propre de l'impulsion.

[gatsu]

Bonjour,
Indépendamment des remarques judicieuses qui vous ont déjà été faites, j'ajoute ce qui suit.
Si je vous lis bien, ce que vous notez est tout simplement la représentation-impulsion de l'état stationnaire en représentation-coordonnée, nullement un état propre de l'impulsion.

En effet et je ne crois pas avoir pretendu le contraire. Par contre ce que je voulais faire etait de partir d'un etat propre de l'operateur impulsion et le developper sur la base et c'est ce developpement qui fait apparaitre la representation que vous mentionnez.
Chip m'a fait remarquer a juste titre que les vecteurs propres de l'impulsion ne peuvent pas etre exprimes par les vecteurs propres de l'hamiltonien que je considere car ces derniers generent seulement un sous espace des fonctions L2(R) qui s'annulent en +-L/2 et valent zero en dehors de cette region.

Est#ce que vous comprenez le sens de ma demarche ou y a-t-il toujours quelque chose qui bloque ?

[Chip]

Mais on peut imaginer prendre la restriction de l'onde plane a la boite comme condition initiale et le meme type de restriction pour l'etat "d'impulsion" p2 que l'on souhaite sonder apres un temps t. Des trucs bizarres se passent aux bords de la boite mais grosso modo a l'interieur exclusif de la boite on a quelque chose proche d'un vecteur propre de l'impulsion.

Il me semble que tous les produits scalaires ont la meme valeur que calculee ci-dessus (a l'exception du fait que j'ai oublie la moitie des vecteurs de base) et je retrouve le meme resultat "bizarre" avec une probabilite independante du temps.

Je ne vois pas spécialement ce qu'il y a de bizarre. Il faudrait écrire tout ça de façon un peu réaliste/précise pour voir des problème éventuels. Mais globalement je ne suis pas choqué, inverser la direction de propagation d'un paquet d'ondes correspond à appliquer des déphasages différents à ses composantes (en représentation p). On reste avec la même distribution en module carré, pas en phase (toujours en p).

[mariposa]

@gatsu


Pour me repeter entermes simples et repeter ce que on ecrit Chip et Armen:

Toute dynamique dans le puit quantique doit s écrire dans l'espace de Hilbert du puit, Espace de Hilbert supporté par les fonctions propres de l'hamiltonien.

Tu choisis au départ un état ( qui n'est pas vecteur propre de H) et tu regardes ton évolution en fonction du temps. Tu ne pas prendre ton état de départ qui n'appartiend pas a l espace de Hilbert de ton systéme physique. Donc des ta premiere ligne c'est faux.

[gatsu]

@gatsu


Pour me repeter entermes simples et repeter ce que on ecrit Chip et Armen:

Toute dynamique dans le puit quantique doit s écrire dans l'espace de Hilbert du puit, Espace de Hilbert supporté par les fonctions propres de l'hamiltonien.

Tu choisis au départ un état ( qui n'est pas vecteur propre de H) et tu regardes ton évolution en fonction du temps. Tu ne pas prendre ton état de départ qui n'appartiend pas a l espace de Hilbert de ton systéme physique. Donc des ta premiere ligne c'est faux.

En réponse à Chip, j'ai proposé une autre condition initiale qui appartient au bon espace de Hilbert car s' annulant en dehors de la boîte. Ce n'est donc pas un état d'impulsion mais c'est ce qui s'en rapproche le plus. En utilisant cette condition initiale je ne crois pas que le calcul que je veuille faire soit faux dès le départ. Par ailleurs, si vous avez une autre idée comme condition initiale qui m'aiderait à capturer ce qu'il se passe pour l'impulsion, je reste tout ouïe.

[mariposa]

En réponse à Chip, j'ai proposé une autre condition initiale qui appartient au bon espace de Hilbert car s' annulant en dehors de la boîte. Ce n'est donc pas un état d'impulsion mais c'est ce qui s'en rapproche le plus. En utilisant cette condition initiale je ne crois pas que le calcul que je veuille faire soit faux dès le départ. Par ailleurs, si vous avez une autre idée comme condition initiale qui m'aiderait à capturer ce qu'il se passe pour l'impulsion, je reste tout ouïe.

Bonjour,

Je n'ai pas reperer la solution que tu as proposé a Chip. Neanmoins il faut que la fonction soit nulle en dehors du puits mais aussi nulle aux extermités.

Si tu veux prendre un etat qui se rapproche d'un vecteur P la solution que je vois est de prendre un etat de la forme exp (ik.r -i.w.t) avec k= 2.pi/lambda avec lambda << L et k qui respecte les conditions aux limites. Autrement dit de prendre un etat fortement excité du puits, ce qui revient a considerer que le puits pour cet état est tres large et d'autant pret de linfini que lambda <<< L. Ce qui renvoie au probleme classique.

Dans le cas general il n y a qu une seule solution qui est de prendre n importe quelle combinaison des etats propres du puits (en tenant compte de la composante temporelle) et de regarder son évolution.

[gatsu]

Si tu veux prendre un etat qui se rapproche d'un vecteur P la solution que je vois est de prendre un etat de la forme exp (ik.r -i.w.t) avec k= 2.pi/lambda avec lambda << L et k qui respecte les conditions aux limites.

Oui c'est ce que je veux proposer justement. Le probleme est que exp(ikx).rect(x/L) est presque bon mais pas tout a fait car cela ne sarisfait pas necessairement les conditions aux bords (en tout cas cela depend de comment je definis ma fonction rectangle aux bords et je ne sais pas si c'est "autorise" de dire "je choisis la fonction rectangle telle que...").

[stefjm]

Oui c'est ce que je veux proposer justement. Le probleme est que exp(ikx).rect(x/L) est presque bon mais pas tout a fait car cela ne sarisfait pas necessairement les conditions aux bords (en tout cas cela depend de comment je definis ma fonction rectangle aux bords et je ne sais pas si c'est "autorise" de dire "je choisis la fonction rectangle telle que...").

Bonjour Gatsu,
D'où la remarque d'Armen92 à propos des distributions de Dirac, non?
Tu la définis comment ta fonction porte?

[gatsu]

Bonjour Gatsu,
D'où la remarque d'Armen92 à propos des distributions de Dirac, non?
Tu la définis comment ta fonction porte?

Avec des Heaviside pas avec des Diracs...la question est de savoir que vaut ma fonction porte exactement en +-L/2 (qui peut etre relie a l'integrale d'un delat au bord mais pas necessairement) mais j'ai du mal a croire que cela change tout a ce point la...

[stefjm]

La valeur en un point n'a pas d'importance. (mesure nulle)

Par contre, j'ai souvenir de gag lorsqu'il y a mélange des propriétés des transformées (Fourier ou Laplace) pour les fonctions ou pour les distributions.

En particulier sur la façon de tenir compte des valeurs à l'origine.

[mariposa]

Oui c'est ce que je veux proposer justement. Le probleme est que exp(ikx).rect(x/L) est presque bon mais pas tout a fait car cela ne sarisfait pas necessairement les conditions aux bords (en tout cas cela depend de comment je definis ma fonction rectangle aux bords et je ne sais pas si c'est "autorise" de dire "je choisis la fonction rectangle telle que...").

Bonjour,

La fonction porte est strictement exclue car la fonction d'onde doit Étre continue ainsi que ses dérivées premiéres et secondes.

[gatsu]

Bonjour,

La fonction porte est strictement exclue car la fonction d'onde doit Étre continue ainsi que ses dérivées premiéres et secondes.

Desole de jouer les efrontes a chaque fois mais je veux juste comprendre. Pourquoi la fonction d'onde de ma condition initiale devrait etre C^2 au juste ? Je sais que la fonction d'onde solution de l'equation de Schrodinger doit l'etre (et cela peut meme se montrer a partir de l'equation de Schrodinger) mais cela n'implique pas que toutes les fonctions d'ondes doivent en faire autant si ?
Par exemple, pour une particule libre, il arrive souvent de prendre comme condition initiale une "fonction" delta qui n'est meme pas L2 et pourtant la physique qui en decoule contient pas mal de principes generaux.

Que cela soit clair, je ne veux pas faire un truc realiste, je veux prendre une condition initiale bidon qui me permette d'interpreter ce qu'il se passe pour l'impulsion et retrouver eventuellement les comportement "balle de ping-pong" que j'attends de facon classique dans la limite d'une grande boite par rapport a la longueur d'onde de la particule.

[stefjm]

La fonction porte est strictement exclue car la fonction d'onde doit Étre continue ainsi que ses dérivées premiéres et secondes.

Le produit de la porte par autre chose peut être C2, non?
D'où l'apparition des dirac (oui dirac, pas heaviside) , voir dirac', dirac'' pour tenir compte des dérivées de produits, comme déjà signalé par Armen92.

[stefjm]

Desole de jouer les efrontes a chaque fois mais je veux juste comprendre. Pourquoi la fonction d'onde de ma condition initiale devrait etre C^2 au juste ? Je sais que la fonction d'onde solution de l'equation de Schrodinger doit l'etre (et cela peut meme se montrer a partir de l'equation de Schrodinger) mais cela n'implique pas que toutes les fonctions d'ondes doivent en faire autant si ?
Par exemple, pour une particule libre, il arrive souvent de prendre comme condition initiale une "fonction" delta qui n'est meme pas L2 et pourtant la physique qui en decoule contient pas mal de principes generaux.

Je peux me tromper mais j'ai l'impression que le problème vient du fait d'un mélange entre une résolution classique d'ED avec condition initiale non nulle (ou condition de bord) et une résolution en passant par les distributions.

Exemple tout bête pour illustrer :
Méthode classique

Solution en

Méthode par distribution ;

Réponse à :


Et mince, pas de Tex...

Copie sans ci-dessous comme à l'ancienne :

Méthode classique
s+ds/dt=0\ ; s(0)=S0
Solution en S0.e^(-t).h(t)

Méthode par distribution ;
s+ds/dt=0
Réponse à s(t)=S0.delta(t)
S0.e^{-t}.h(t)

[stefjm]

Bonsoir,
Je me demande si ce que voulait dire Armen92 à propos des diracs et de ta fonction porte n'est pas la dérivée généralisée des fonctions non continues. (et des distributions associées)



Cordialement.

[azizovsky]

Bonsoir , l'équation à résoudre est : avec ,ça va te rappeler quelque chose ....