Chute libre dans le référentiel terrestre non galiléen

[Ana_20]

Bonjour,

On considère la chute d'une bille de masse m dans le champ de pesanteur considéré comme uniforme. Expérimentalement en 1833 Ferdinand Reich fit l'expérience dans un puits de 160 mètres environ et observa une déviation vers l'est de 2.8 cm !

J'aimerai savoir si lorsqu'on fait la modélisation et que l'on prend en compte les frottements on s'attend à une plus petite ou plus grande déviation vers l'est que lorsqu'on fait la modélisation en négligeant les frottements .

Merci
-----

[invite07941352]

Bonjour,
A quoi est due la déviation vers l'Est ? Et donc, avec frottement , la chute durant plus longtemps , que va devenir cette déviation ?

[Ana_20]

La déviation vers l'est est un des effets de la force de Coriolis ! Et bien si la chute dure plus longtemps on s'attendra à une plus grande déviation nan ?

[lucas.gautheron]

Bonjour,
EDIT: betise,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07941352]

Re,
Il faut déjà aller loin pour lire que l'effet sera amoindri avec frottement , mais jamais masqué, ni inversé .
J'espère que c'est un bon lien , mes collègues confirmeront ;

http://www.udppc.asso.fr/bupdoc/cons...ID_fiche=14436

[lucas.gautheron]

Bonjour,
Dans mon post initial j'avais écrit :

L'air est immobile par rapport au référentiel terrestre (sauf vent), donc les frottements ont tendence à s'opposer aux mouvements dans le référentiel terrestre ; plus les frottements seront grands, moins l'amplitude du mouvement sera grande dans ce référentiel. Donc il y aurait amoindrissement de la déviation.

Il apparait une vitesse limite dans la chute, je ne sais pas si elle est atteinte, mais onne peut juste considérer que puisque l'effet est plus long, il est plus important.
J'ai fait unesimulation pour vérifier tout ça, il semble que ça abonde dans mon sens, je vais faire quelques tests.


A+

[calculair]

Bonjour

La réponse n'est pas évidente

La force de Coriolis va dépendre de la vitesse de chute Aceleration Coriolis = V^W ou W est la projection du vecteur rotation terrestre

Donc si V diminue due au frottement , coriolis diminue, mais le temps s'allonge... alors il faut faire le calcul .....

[lucas.gautheron]

Re,

Je me suis intéressé au problème historique (puit de 158 m à 50° de latitude).
Pour le référentiel terrestre, j'ai choisi comme repère le repère xyz direct, où l'axe z est la normale à la surface à la terre dirigée "en l'air", et ou l'axe y est tourné vers l'est.
J'ai considéré des frottements de type v^2, pour une bille de rayon 1 mm (toute petite pour qu'on puisse relever sa position) et de masse volumique 5 kg / L

Voici le code utilisé (fortran) :

program chute
    implicit none

    real,parameter     :: PI = 2.0 * acos(0.0), DEG2RAD = PI/180.0
    real,parameter     :: g = 9.81, omega = 2.0 * PI / (86164.0)     ! constantes physiques
    real               :: h = 158, latitude = PI/4.0, alpha = 0.00001, m = 0.0002                      ! parametres physique
    real,dimension(3)  :: p, v, f, fg, c
        real,dimension(3)  :: om
        real               :: nv

    real               :: t = 0, dt = 0.0001

    integer            :: i = 0

        latitude = 50*DEG2RAD

        om(1) = -omega * cos(latitude)
        om(2) = 0
        om(3) = omega * sin(latitude)

    do i = 1, 3
        p(i) = 0
        v(i) = 0
        f(i) = 0
        fg(i) = 0
        c(i) = 0
                fg(i) = 0
    enddo
        
        fg(3) = -m*g

    do while (p(3) > -h)
                c(1) = -2*m*(om(2)*v(3) - om(3) * v(2))
                c(2) = -2*m*(om(3)*v(1) - om(1) * v(3))
                c(3) = -2*m*(om(1)*v(2) - om(2) * v(1))
                nv = sqrt(v(1)**2 + v(2)**2 + v(3)**2)
                f = c + fg - alpha * v * nv
                v = v + f * dt / m
                p = p + v * dt
                t = t + dt
        enddo

        
        dt = (-h - p(3))/(v(3))
        p = p + v * dt
    write (*, *) t, p(1), p(2), p(3)
t = sqrt(2*h/g)
        write (*, *) t, (1.0/12.0) * g * (omega**2) * (t**4) * sin(2*latitude), (2.0/3.0) * t * h * cos(latitude) * omega, -h

end program chute

Résultats :
Analytique par perturbations, sans frottements :

Calcul	temps de chute (s)	déviation sud (µm)	déviation est (cm)
Analytique perturbative, sans frottements	5.67556	4.44205	2.80218
Numérique, sans frottements	5.67674	4.44365	2.80276
Numérique, avec frottements	12.2656	2.58920	1.87893

Donc il y a bien diminution. Je vais essayer de faire un graphe en fonction du coef de frottement divisé par la masse.

A+

[lucas.gautheron]

Sinon, on peut utiliser la méthode perturbative même avec frottements, éventuellement ? si la trainée est , sauf erreur : (avec mon choix de repère précédent)

, en négligeant d'abord coriolis

et donc puisqu'en première approximation, , alors en intégrant deux fois



à intégrer jusqu'à

quelqu'un pour le faire ?

A+

[obi76]

(c'est cool le fortran pour ce genre de trucs quand même )

Pour les frottements j'aurai plutôt pris en ...

[lucas.gautheron]

Oui, le fortran, c'est pratique
J'ai choisi des frottements en v^2 à cause de la vitesse (v de l'ordre de racine(2gh) ça fait quand même plus v >= 50 m/s vers la fin et un nombre de reynolds de quelques milliers dans l'air, non ?

Puisqu'il n'y a pas de volontaire pour les calculs, je reprends :
Pour arbitrairement petit, en faisant un développement de taylor de z avant de l'intégrer pour calculer une valeur approchée de y, (), on trouve donc :

(ordre 1 en alpha)

(à l'ordre 0 en alpha on retrouve exactement le résultat sans frottement, pour ça que j'ai fait un DL à l'ordre 4 du ln cosh)

il ne suffit cependant pas de comparer y dans le cas avec ou sans frottement pour un même instant, il faut comparer y au fond du puit (parce que le temps de chute n'est pas le même en présence ou en absence de frottements).

En développant le temps de chute au voisinage de alpha = 0 : (là j'ai utilisé http://www.wolframalpha.com/input/?i=serie+expansion+argch%28e^x %29+for+x%3D+0 )
(ordre 1 en alpha)

Donc :

donc une différence de déviation , ce qui est positif..
numériquement je trouve quelque chose de négatif, donc là je ne vois pas, où est l'erreur ?
s'il n'y a pas d'erreur, cest peut être parce qu'il y a une valeur de alpha/m très petite pour laquelle y(th) est maximale.

A+

[obi76]

J'ai choisi des frottements en v^2 à cause de la vitesse (v de l'ordre de racine(2gh) ça fait quand même plus v >= 50 m/s vers la fin et un nombre de reynolds de quelques milliers dans l'air, non ?

Je n'avais pas calculé mais effectivement si on est de l'ordre de quelques milliers, vaut mieux une loi en v²... Au temps pour moi

[pephy]

bonsoir

numériquement je trouve quelque chose de négatif, donc là je ne vois pas, où est l'erreur ?
s'il n'y a pas d'erreur, cest peut être parce qu'il y a une valeur de alpha/m très petite pour laquelle y(th) est maximale.

avec alpha= 1E(-5) et m=2.1E(-4) le terme h*alpha/(6m) n'est pas très petit devant 1...
Sinon félicitations pour vos calculs!
A+

[albanxiii]

Bonjour,

Puisqu'il n'y a pas de volontaire pour les calculs,

Étonnant, non ? (pas pu résister)

@+

[lucas.gautheron]

bonsoir

avec alpha= 1E(-5) et m=2.1E(-4) le terme h*alpha/(6m) n'est pas très petit devant 1...

Vous avez raison. En pratique, on ne peut pas se servir du DL pour répondre à la question (sauf pour une grosse bille puisque )
Seulement, j'ai comparé au calcul numérique pour des valeurs ridiculement petites de a/m et dans ce cas, je trouve une parabole décroissante (et pas une droite croissante!)



soit une déviation de la forme :

avec : a = 0.0274347, b= -12.13, n = -2.00

ce qui correspond mieux à ce à quoi je mattendais, d'ailleurs.
si je vais trop proche de 0 j'obtiens bien une droite croissante mais en changeant le pas de temps pour quelque chose de plus précis ce n'est plus le cas, je pense que ce n'est que du bruit / de l'erreur numérique

Sinon félicitations pour vos calculs!
A+

merci mais il y aune erreur (on dirait) à corriger dans le développement en série de la méthode perturbative avec frottement pour l'instant, il faut se fier uniquement aux posts #8 et #9

Bonjour,



Étonnant, non ? (pas pu résister)

@+

pas tant que ça, puisque pour ce calcul, plus d'une minute est nécesaire, même à monsieur cylopède

j'espère avoir plus d'aide pour me dire où est l'erreur dans le post #11, ceci dit

A+

[lucas.gautheron]

Bonjour,

Je pense que la raison est que l'équation à résoudre est en fait :



Parce qu'il faut prendre en compte les frottements selon la direction est, même si la vitesse est faible dans cette direction. Je ne vois pas d'autre explication.
(sachant que )

les calculs sont encore un peu plus sales

A+