Déduction de la loi des G.P via l'expérience ?

[Rajesh]

Bonsoir !

J'essaye de déduire la loi des gaz parfaits en partant uniquement des lois de Gay-Lussac, Mariotte, Charles et Avogadro et j'aimerais avoir votre avis sur ma "démonstration" qui semble légère.

Les lois utilisées sont :

loi de Mariotte : le produit volume fois température d'un G.P est constant à T et N constants.
PV=cste (lorsque N=cste et T=cste)

loi de Gay-Lussac : le volume d'un G.P varie de manière linéaire avec la tempéraure à P et N constants
V=cste x T (lorsque P=cste et N=cste)

loi de Charles : la pression d'un G.P varie de manière linéaire avec la température à V et N constants.
P=cste x T (lorsque V=cste et N =cste)

loi d'Avogadro : le volume qu'occupe une mole de GP est constant pour P et T constants.
V/N= cste (lorsque P=cste et T=cste)

Et voici ce que j'ai essayé de bricoler pour essayer de retomber sur PV=NRT :

On part de la loi de Mariotte PV=cste. Cette égalité ne nous donne à priori aucun moyen de relier le produit PV à N ou T. Mais en prenant en compte les lois de Charles et Gay-Lussac, le seul moyen de faire en sorte que les 3 égalités soient cohérentes est d'envisager PV = cste x T. Enfin, en prenant en compte la loi d'Avogadro on doit se résoudre à poser PV=cste x NT.

Qu'en pensez vous ? Est-il possible d'arriver au bon résultat de manière plus rigoureuse ? Si oui auriez vous quelques indices pour me mettre sur la voie SVP ?
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[Rajesh]

Bonjour !

Je reviens vers vous en ce qui concerne cette fameuse loi des gaz parfaits. J'ai laborieusement réussi à surpasser mon raisonnement initial qui en gros consistait à dire "la loi est de cette forme parce qu'elle ne peut être que de cette forme"

Cependant, même s'il me semble que je n'ait pas trop truandé ma "démo", j'aimerais votre avis sur quelques points. Sachant d'avance le résultat sur lequel je souhaite retomber, j'ai peur d'avoir effectué quelques transitions cruciales de manière un peu rapide, et mon raisonnement pourrait éventuellement complètement tomber à l'eau si certaines simplifications n'avaient pas lieu d'être. Ou peut-être mon raisonnement est-il tout simplement faux quelque part ?!

Tout d'abord j'ai reformulé différemment les observations des scientifiques de l'époque en langage mathématique :

Loi de Gay-Lussac :

Loi d'Avogadro :

Loi de Charles :

Loi de Boyle-Mariotte :

Je pense ne pas avoir fait de bourde jusque là ?

Ensuite, petit passage délicat... Du fait que je sais que je veux retomber sur je sais que les fonctions sont nulles. Optimiste, j'ai donc essayé de me les trimballer tout le long en espérant pouvoir montrer à un moment donné qu'elles sont nulles mais je n'y suis pas arrivé... C'est à ce moment que j'ai décidé de poser :



Même si on peut (je pense) justifier physiquement que en disant que le "rien" n'occupe pas de volume, cela me pose plus de problème en ce qui concerne les deux autres fonctions.

Ce sujet http://forums.futura-sciences.com/ph...ro-absolu.html m'a toutefois un peu conforté dans mon idée de poser et nulles car il semblerait que lorsque la matière cristallise et donc il n'est plus question de parler du volume ou de la pression d'un gaz lorsque la température s’approche du zéro absolu... En résumé : si j'ai bien suivi lorsque "il n'y a plus" de gaz parfait, donc si on veut que la loi des G.P reste cohérente avec la nature il faudrait nécessairement que V et P tendent vers 0 pour ce qui implique nulles.

Qu'en pensez vous ? Suis-je "honnête" en faisant cette simplification ? J'espère que oui sinon tout le reste aura été inutile !

Du coup après ma simplification j'obtiens :

(1)
(2)
(3)
(4)

Ensuite j'essaye de tout manipuler :

(2)*(3) --->
(1)*(3) --->

Donc en posant l'égalité du rapport j'obtiens (5)

D'autre part (1)=(2) donne (6)

Maintenant, je dérive (1) et (2) par rapport à et j'égalise les résultats, ce qui donne :

(7)

Même chose en dérivant (1) et (2) par rapport à :

(8)

Si je reprends (6), avec les égalité (7) et (8) j'obtiens :

(9)

Puisque ne dépend pas de etne dépend pas de je déduis de (9) que les dérivées partielles de etrespectivement par rapport à et, ne dépendent que de P ?

Ensuite je reviens à (5) que je dérive pas rapport à :

(10)

Or, d'après la conclusion tirée de (9), les 2 termes intervenant dans l'égalité (10) ne peuvent dépendre que de .

Ce qui m'amène à écrire (?!) que :

(11)

Puis j'injecte (11) dans (2) ce qui donne (12)

Or (4) implique que (13)

Je dérive donc (12) et (13) par rapport à pour identifier :

(14)

A partir de (14) je peux procéder à une identification des termes de chaque coté de l'égalité du fait que ne dépend que de et.
A ce stade je ne savais pas trop comment "gérer" le signe moins : comment savoir si je dois identifier à ou à dans (14) ?? Du coup j'ai essayé les 2 et dans le cas ou j'identifie à j'obtiens une équation des G.P aberrante qui permettrait des volume négatifs.

Donc à partir de (14) j'établis que et que .

Et donc en fin de compte j'obtiens en injectant dans (2):

(15)

Or cette égalité est en contradiction avec les observations de Boyle et Mariotte puisqu'elle laisse entendre que (à etconstants) pour une pression qui tendrait hypothétiquement vers l'infini, le volume tendrait alors vers une valeur fixe au lier de diminuer de sorte que le produit reste constant.

De (15) je déduis donc pour au final obtenir :



Voilà où j'en suis pour le moment et j'ai donc 2 questions à vous poser :

1 - Mon raisonnement jusqu'ici est-il acceptable ?
2 - A quel stade suis-je sensé faire apparaître la constante ? J'ai pensé que je pourrais changer (11) en mais sans grande conviction... ça me donne l'impression d'introduire la constante A uniquement parce que je connais le résultat sur lequel je dois retomber mais je ne pense que l'introduction d'une constante soit requise mathématiquement parlant à ce stade, si ?

J'espère que des âmes charitables voudront bien se pencher la dessus et me donner leurs avis !

Je les en remercie par avance si cela est le cas