Optimisation d'une force

[FroPyx]

Bonjour, mon problème est le suivant :
Soit un mobile sur une table horizontale soumis à son propre poids P, la réaction du support R et une force de traction F(t) horizontale. On veut que ce mobile suive une trajectoire rectiligne (x_i; x_f) en un temps donné T.

Comment trouver F(t) telle que la puissance soit minimale en fonction des paramètres initiaux (v(0), F(0), ...) ?

Le but étant par la suite de rajouter plusieurs contraintes comme des frottements, une accélération maximale sur une certaine portion ou encore une pente.

Merci d'avance.
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[invite07941352]

Bonsoir,
Donc, pour l'instant, c'est un palet sur la glace , sans frottement ? Si oui, Il n'a besoin d'aucune force pour aller à l'infini avec v(0) .

[Dynamix]

Salut
C' est un exercice , ou pas ?

[FroPyx]

Il s'agit bien pour le moment d'un simple palet sur la glace sans frottement. Si v(0) est différent de 0, le palet arrivera bien à destination avec une force nulle, cependant la contrainte du trajet en un temps T donné ne sera pas respectée.

Il ne s'agit pas d'un exercice mais d'un projet personnel. Le but final étant de trouver la puissance qu'un moteur doit fournir pour déplacer un véhicule sur une trajectoire donnée (coordonnées GPS) afin que la consommation du véhicule soit minimale tout en respectant une limite de temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Si la force peut varier en fonction du temps, il faut une force qui accélère dans un premier temps et qui freine dans un second temps. Le travail peut être même négatif si le palet « était pari dans la bonne direction ».

Mais s’il s’agit d’un palet que l’on lance, on ne récupérera rien comme énergie. Tout finira dans le gant du gardien.

Si on ne peut pas freiner, alors il suffit de calculer la vitesse nécessaire. L’énergie cinétique, et le travail à fournir.
La forme de F en fonction du temps ne joue pas.
Au revoir.

[Dynamix]

Si tu récupère l' énergie au freinage et que la vitesse initiale est nulle , le bilan énergétique est nul .
Sinon tout ce que tu dépenses pour donner de la vitesse est perdu .

[FroPyx]

L'énergie n'est pas récupérée au freinage. D'où mon problème, comment trouver F(t) dépendant du temps pour minimiser l'énergie fournie.

[VirGuke]

Salut FroPyx,

En fait en l'état tes hypothèses ne vont pas te donner une solution qui te plaise. Tu veux minimiser l'énergie dépensée pour faire parcourir une distance D à ton mobile sans frottements en au maximum un temps T. Dans la mesure où tu te donnes juste F, tu ne peux que compter l'énergie cinétique de ton mobile (ça revient à dire que tu as un rendement de 1 quoi).

Bref, question solution, on va dire qu'au début ta vitesse est nulle parce que ça ne change pas grand chose :

L'énergie que tu donnes au mobile est au moins égale à l'énergie cinétique qu'il a au maximum de sa vitesse.

Si ton mobile arrive en un temps t en D, sa vitesse moyenne est de D/t et la vitesse max de ton mobile sur le parcours est d'au moins D/t, c'est cette vitesse maximum que tu veux minimiser pour minimiser l'énergie que tu lui fournis.

En occurrence, ton mobile peut être en permanence à la vitesse moyenne et la vitesse moyenne minimale est de D/T

Si je résume, tu dois dépenser au moins 0.5 * m * ( D/T ) ² et tu peux te rapprocher de cette solution en utilisant une force F de plus en plus grande au début sur un temps de plus en plus petit (un choc à la limite) pour propulser ton mobile à la vitesse D/T au début et freiner aussi vite que tu peux à la fin (pas d'hypothèse la dessus).


De façon générale, si tu veux résoudre ces problèmes tu peux faire appel à des méthodes variationnelles en différentiant l'expression de ton énergie totale dépensée suivant ton chemin.