Puissance/travail: parcours dans un champ de force/vitesse

[membreComplexe12]

Bonsoir,

je vous appelle à l'aide car je ne suis pas du tout à l'aise avec les intégrales curvilignes (je n'ai que de vagues souvenir) pourtant j'aimerais pourvoir calculer le travail associé à un déplacement (courbe en rouge) dans un champs de force (champs de vecteur ) : cf. image en pièce jointe.

J'ai regardé sur le net des rappels sur les intégrales curvilignes et voici le type de définition que je trouve :
"Pour calculer le long de cette courbe on calcule en fonction de t la composante des forces le long de la courbe F(C(t)).C’(t) et ensuite on intègre le résultat le long de cette courbe. Soit U un ensemble ouvert, et F un champ vectoriel défini dans U. Soit C(t) une courbe dans U définie dans [a,b]. On appelle intégrale curviligne de F le long de C et on note intégrale: "

Là ce que je comprends c'est que pour F(C(t)).C'(t) on évalue la force à la position C(t) et on fait le produit scalaire avec la dérivée temporelle de cette courbe (donc la tangente puisque cette courbe est exprimée par rapport à "t" ici). Ensuite on intégre sur le temps (a et b sont les temps t0 et tfin ?)

Par contre ce que je ne comprends pas trop pourquoi on intégre une variable temps là dedans alors que le temps n'intervient pas dans mon problème à priori ... ?

La même pour faire une intégrale de contour et de paramétrer tout par rapport au temps mais pourriez vous me montrer s'il vous plait comment faire sur mon exemple en pièce jointe (donné par ce code matlab) :

x=-1:1:3;y=-2:1:2;
[X Y]=meshgrid(x,y);
u=zeros(length(x),length(y)); v=u;
u(:,1)=1;u(:,2)=2;u(:,3)=4;u(:,4)=8;u(:,5)=12;
figure (1);hold on
quiver(X,Y,u,v,'linewidth',2)
plot([-1:0.01:3],sin([-1:0.01:3]),'r','linewidth',2)
axis([-1.1 4 -2.1 2.1])

ps: on procéderait de la même façon si le champs de vecteur était un champs de vitesse et la courbe le parcours d'une force ? (sauf que l'on aurait une puissance)
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[LPFR]

Bonjour.
En tant que physicien la définition d’intégrale curviligne que vous utilisez me donne envie de vomir.
Elle provient d’un cours de maths. Pas d’un cours de physique.
D’abord une intégrale de ligne n’a rien à faire avec le temps. On aurait des sacrées difficultés pour définir un potentiel ou des forces conservatives ou non.
La définition habituelle est :



C’est bien la composante du champ parallèle à la ligne qui est additionnée le long de la ligne.
Au revoir.

[membreComplexe12]

Bonjour.
En tant que physicien la définition d’intégrale curviligne que vous utilisez me donne envie de vomir.

Bonjour LPFR,
au moins c'est clair

Elle provient d’un cours de maths. Pas d’un cours de physique.
D’abord une intégrale de ligne n’a rien à faire avec le temps.

En fait en voyant cette définition je l'a trouve assez claire : on décrit une courbe par rapport à une variable "t" et on évalue pour ce temps la valeur de la force à la position courante. Le soucis que j'ai c'est pour appliquer cette relation à l'exemple que j'ai donné : comment définit le champs et comment appliquer ensuite cette relation.

On aurait des sacrées difficultés pour définir un potentiel ou des forces conservatives ou non.

là je n'arrive pas à te suivre car ça fait longtemps que je n'ai pas touché à des potentiels ou forces concervatrices. Du coup je ne vois pas le lien

La définition habituelle est :

C’est bien la composante du champ parallèle à la ligne qui est additionnée le long de la ligne.

Cette définition me plaît bien également et me rappel de vagues souvenir.
Pourrais tu me montrer comment appliquer cette relation sur mon exemple ci dessus ?
par contre ça me perturbe un peu que l'on est à faire à des vecteurs (qui ne sont pas constants et varies au fur et à mesure du chemin?)
dl est la tangente à la courbe ? bref, je ne vois pas trop comment appliquer cette relation ou la précédente sur mon exemple.

Au revoir.

merci pour ton aide, bonne journée

[LPFR]

Re.
J’ai l’impression que le ‘t’ dans vos formules n’est pas le temps mais une variable paramétrique qui décrit la position dans le courbe (c’est bien une idée de matheux d’appeler ‘t’ le paramètre d’une courbe en physique). Dans ce cas les deux grandeurs F et C sont vectoriels et le produit dans votre formule est un produit scalaire. C’(t)dt et le petit vecteur le long de la courbe.
Bref, je ne vais pas continuer à regarder votre courbe à cause des risques qu’elle pressente (je viens de déjeuner).

Au lieu de définir votre champ dans un ensemble U, définissez-le dans l’espace de tous les jours : celui dans lequel on prend le métro.

On prend votre exemple et on écrit F en fonction de ‘x’ et ‘y’ :
Désolé, mais je n’arrive pas à déchiffrer le codage de votre traceur. Je prend quelque chose qui lui ressemble.

Mettons :
F = (x/3, 0 )
C = (x, sin(x))

Ici la courbe n’est pas définie paramétriquement, mais en fonction de ‘x’ et ‘y’.
Donc, il faut trouver la petite longueur de courbe :

on intègre sur ‘x’ entre les limites choisis :


Les limites et le reste sont simples.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

merci beaucoup LPFR !

Le seul truc compliqué est en fait de pouvoir définir F et dl à l'aide d'une seul variable qui permet l'intégration (ici dx).
Comment faire dans le cas général où mon champs de vecteur est très compliqué et le parcours aussi ? (cf. ex en PJ)

Par exemple si mon champs de vecteur est donné par une résolution numérique et que je n'ai pas d'expression analytique je fais
discrétise mon parcours en morceaux et je fais :
?

avec les Fi qui sont les efforts moyens sur les portions li ?

[LPFR]

...
Par exemple si mon champs de vecteur est donné par une résolution numérique et que je n'ai pas d'expression analytique je fais
discrétise mon parcours en morceaux et je fais :
?

avec les Fi qui sont les efforts moyens sur les portions li ?

Bonjour.
Oui. C’est bien ça qu’il faut faire.
Mais, en général, la trajectoire est choisie pour une bonne raison physique, et est donc connue.
Au revoir.

[membreComplexe12]

j'ai une autre question également très bête : pourquoi est forcement tangent à la courbe

j'ai un peux de mal avec ceci... pour la force on voit qu'elle est fonction de x et y donc on peut calculer le gradient en un point et dire que avec dl une élément de longeur de composantes (dx,dy)

par contre pour "l" comme ce n'est pas une quantité telle que la force qui est fonction de (x,y) j'ai un peu de mal à me représenter son gradient... c'est l'augementation de "l" avec x et l'augmentation de "l" avec y ?

[membreComplexe12]

Bonjour.
Oui. C’est bien ça qu’il faut faire.

SUPER!!! merci

Mais, en général, la trajectoire est choisie pour une bonne raison physique, et est donc connue.
Au revoir.

ah oui c'est pas faux ça