Calcul portance avec hypothèse de Bernoulli

[mrt44]

Bonsoir,
Dans le cadre de mon TIPE je dois aborder une partie sur la portance. Pour montrer que l'hypothèse des temps de parcours égaux et que le principe de Bernoulli ne suffisent pas à expliquer le phénomène de portance, je voudrais montrer par le calcul qu'un petit avion de tourisme devrait voler à 600km/h pour que l'hypothèse concorde ou qu'encore l'extrados devrait êtres 50% plus long que l'intrados.

Je dispose donc de la formule du th. de Bernoulli et de celle de la portance mais je ne vois pas par où partir !
Quels vitesses, pressions ? Car en fait suivant l'hypothèse celles-ci sont différentes en dessus et en dessous de l'aile.

J'espère que vous saurez me mettre sur une piste.
Merci d'avance.
-----

[calculair]

Bonjour,

La modelisation precise du comportement d'une aile est complexe.

La modelisation de Bernoulli donne une partie de l'explication

La déviation du flux d'air par application des lois de Newton donne une autre vision

Ce lien en analysant toute les rubriques " Pourquoi en avion vole " vous éclairera ( Cliqyer à gauche sur item correspondant )

http://www.lavionnaire.fr/TheorieNasa.php


Je ne sais si les Cx et Cz des profils des ailes est le résultat d'un calcul complexe ou une mesure en soufflerie...

Bonsoir,
Dans le cadre de mon TIPE je dois aborder une partie sur la portance. Pour montrer que l'hypothèse des temps de parcours égaux et que le principe de Bernoulli ne suffisent pas à expliquer le phénomène de portance, je voudrais montrer par le calcul qu'un petit avion de tourisme devrait voler à 600km/h pour que l'hypothèse concorde ou qu'encore l'extrados devrait êtres 50% plus long que l'intrados.

Je dispose donc de la formule du th. de Bernoulli et de celle de la portance mais je ne vois pas par où partir !
Quels vitesses, pressions ? Car en fait suivant l'hypothèse celles-ci sont différentes en dessus et en dessous de l'aile.

J'espère que vous saurez me mettre sur une piste.
Merci d'avance.

[le_STI]

....
Quels vitesses, pressions ? Car en fait suivant l'hypothèse celles-ci sont différentes en dessus et en dessous de l'aile.
.....

Justement c'est bien pour ça qu'il y aura une portance.

Ce que je ferais (pas sûr que ce soit la meilleure solution) :

Définir un point de départ situé au niveau du bord d'attaque (V₀, P₀, H₀)
Poser deux hypothèses simplificatrices (si tu peux te le permettre): vitesses constantes (mais différentes) sur l'intrados et sur l'extrados + négliger la pression due à H. Si tu ne le peux pas, il faudra très certainement intégrer les équations le long de l'extrados.
Calculer la vitesse de l'air sur chaque face de l'aile.
Appliquer Bernoulli sur un point de l'intrados et un de l'extrados.
Multiplier la différence de pression par la surface alaire.

[mrt44]

@calculair : Je souhaite justement montrer par le calcul qu'en ne considérant que Bernoulli cette hypothèse n'est pas viable.

@le_STI : Cette approximation est possible. Ainsi si j'ai bien compris il faut que je calcule les vitesse sur l'extrados et l'intrados, puis calculer avec Bernoulli la pression pour chaque vitesse et retenir la différence de pression, et c'est cette différence de pression qui multipliée par la surface alaire donne la force de portance ?

L'expression de la force de portance prend en compte la msse vol., une vitesse et Cz l'a on ne s'en sert pas ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[le_STI]

En fait je ne fais qu'appliquer bêtement Bernoulli (je croyais que c'est ce que tu voulais faire pour démontrer que ce n'est pas suffisant à expliquer la portance).

[calculair]

Bonjour

Pour appliquer Bernoulli avec rigieur c'est difficile

V^2 /2 + g z + P /d = cte

soit Ve la vitesse air sur l'exrados

Vi la vitesse air sur l'intrados

Ve et Vi supposées constantes dans une 1° approximation

Ve^2 /2 + g z + Pe/d = Vi^2/2 + g z + Pi /d

on néglige la difference d'altitude z



Ve^2 - Vi^2 = 2 ( Pi- Pe ) /d

en supposant encore l es pressions constantes sur toute la surface

F = 2 ( Pi - Pe ) S /d donc F /S = Ve^2 - Vi^2


ou F = (Ve^2 - Vi^2) S


on voit que la portance varie comme V^2


La formule est approximative vu les approximations faites


Le theoreme de Bernoulli est exact, encore il faut être critique sur les conditions de son utilisation

[mrt44]

@calculair je ne comprend pas la fin de ton calcul.

Si Ve^2 - Vi^2 = 2 (Pi-Pe)/d et que F(portance) = delta P * S
Alors F(portance) = 0,5 * d * (Ve^2 - Vi^2) * S

En ayant F (portance), pour que l'avion vole il faut au minimum que F = P (poids de l'avion).
J'ai donc F(portance) = 0,5 * d * (Ve^2 - Vi^2) * S = m * g

Comment à partir de la montrer que l'avion devrait voler à 600 km/h ou que l'extrados devrait être 50% plus grand que l'intrados ? (certains sites parlent de cela pour montrer que le principe de Bernoulli est incohérent)
Données : masse m, surface alaire, d et g
Inconnu : Ve, Vi
Peut on faire l'approximation que Vi = vitesse du vent relatif ?

Merci

@le_STI : si c'est bien cela que je veux faire

[calculair]

Bonjour


Je vais faire uncalcul pour voir

Si je prend un profil Clarck Y la longueur de l'extrados / intrados ily a eniron 7 % d'écart de longueur

Un cessna pese 1000 kg

Son envergure est de 11 m et sa corde de l'ordre de 1,7 m

La sur face est donc de 18 m2

on aurait F = (V1 + V2)( V1 - V2) S

prenons une vitesse de vol de 40 m/s ou 144 km/h

donc V2 = 40 et V1 = 40 + 40 *7 /100 = 42,8

donc F = 82,8 * 2,8 * 18 = 4200 N

l'avion pese 10 000 N

Il faut donc aller pls vite

Essayons 60 m/s oun 216 km/h

V1 = 60 *1,07 = 64,2

F = 124,2 *4,2 * 18 = 9400 N


On trouve une vitesse de vol un peu supérieur à 220 km/h ce qui n'est pas si mal avec toutes les approximations ....

[calculair]

J'ai refait le calcul

Vitesse de vol 267 km/h

Vitesse de croisière du Cessna 200 km/h

On a pas tenu compte de la portance du fuselage

On a fait beaucoup d'approximation

Le resultat n'est pas aberant.....

Bernoulli n'est pas ridicule....

[mrt44]

Comment on peut arriver à cette affirmation alors, par le th. de Bernoulli ?

Du théorème de Bernoulli, nous pouvons déterminer les forces de pression et donc la portance.
Si nous effectuons un calcul simple, nous trouvons que pour générer la portance nécessaire pour un petit avion normal, la longueur de l'extrados devrait être 50% plus longue que la longueur de l'intrados.

Et

Si on considère l'aile d'un petit avion standard, dont la surface supérieure n'est plus longue que de 1.5 à 2.5% par rapport à sa surface inférieure, nous découvrons qu'un Cessna 172 devrait voler à plus de 600km/h pour générer suffisamment de portance. Il est évident que quelque chose dans cette description de la portance ne vas pas.

D'après le principe des temps de transitions égaux.

Quels sont ces calculs simples ?
Merci de m'éclairer.

Citations extraites de http://www.lavionnaire.fr/TheorieAndEber.php , premiers paragraphes.

[calculair]

Bonjour

Je ne sais pas..... J'ai fait l'application numerique voirPost N° et 9 le résultats sont dans les ordres de grandeurs...

Comment on peut arriver à cette affirmation alors, par le th. de Bernoulli ?



Et

D'après le principe des temps de transitions égaux.

Quels sont ces calculs simples ?
Merci de m'éclairer.

Citations extraites de http://www.lavionnaire.fr/TheorieAndEber.php , premiers paragraphes.

[mrt44]

Hum je vais me pencher sur ton application mais cela me rend quand même perplexe, quels sont ces calculs soi disant simples ? Surtout que j'ai vu ces affirmations sur plusieurs articles différents.

[le_STI]

.....
V^2 /2 + g z + P /d = cte
.....

J'imagine que tu utilises "d" pour "densité" ? Ca peut paraitre anecdotique, mais il vaudrait mieux écrire "rho" tu ne crois pas?

.....
F = 2 ( Pi - Pe ) S /d
......

Si F est la force de portance, alors F=(P_i-P_e)*S tout simplement.
Pas de "d" ni de "2" dans cette formule

Du coup j'aurais plutôt isolé P_i et P_e en fonction de V (vitesse relative de l'avion) pour finalement avoir F=f(V) .
Si on suppose l'intrados parallèle au déplacement de l'avion alors V_i=V .

[calculair]

Bonjour

Nous sommes d'accord ( voir Post N° 6 F = (Ve^2 - Vi^2) S

J'imagine que tu utilises "d" pour "densité" ? Ca peut paraitre anecdotique, mais il vaudrait mieux écrire "rho" tu ne crois pas?



Si F est la force de portance, alors F=(P_i-P_e)*S tout simplement.
Pas de "d" ni de "2" dans cette formule

Du coup j'aurais plutôt isolé P_i et P_e en fonction de V (vitesse relative de l'avion) pour finalement avoir F=f(V) .
Si on suppose l'intrados parallèle au déplacement de l'avion alors V_i=V .

[le_STI]

F = (Ve^2 - Vi^2) S

Une force ne peut être égale à une vitesse au carré multipliée par une surface (ce que tu écris).
Il faut multiplier une pression (ici la pression relative Pi-Pe) par une surface (dans notre cas la surface alaire).

[mrt44]

J'utilise d pour reprendre les notations de calculair.
Th. de B. : Pe/d + gz + 0,5*Ve^2 = Pi/d + gz + 0,5*Vi^2
On isole delta P : Pi - Pe = 0,5*d*(Ve^2 - Vi^2)

On sait : F(portance) = delta P * S
D'où : F = 0,5*d*(Ve^2 - Vi^2)*S
F est homogène mais ne répond pas à mon pb.

[le_STI]

Exprime Ve en fonction de Vi (qui est considérée égale à la vitesse de l'avion) et du profil de l'aile et alors tu auras de quoi résoudre ton problème.

[mrt44]

Supposons que l'extrados de notre avion de tourisme est 2% plus long que l'intrados.
Donc Ve = Vi + 2/100*Vi
Donc F = 0,5*d*( (Vi + 2/100*Vi)^2 - Vi^2)*S
F = 0,5*d*( (404/10000) * Vi^2)*S
Au minimum F = P (=m*g)
On isole Vi et après A.N. je trouve Vi = 127 m.s soit 35kmh

Incohérent avec ce que je cherche.

[le_STI]

127m/s (ce ne sont pas des m.s !)=457.2 km/h

Pour avoir un ordre de grandeur, compares la vitesse en m/s à celle du son

[mrt44]

Oui j'ai divisé par 3.6 au lieu de multiplier autant pour moi ! Super donc comme cet avion ne peut dépsser 200 km/h il y a bien un probleme en s'appuyant seulement sur cette théorie. Merci pour votre aide.

[calculair]

J'ai mesure le profil clark Y l'ecart n'est pas de 2% mais entre 6,6 à 7 %

Oui j'ai divisé par 3.6 au lieu de multiplier autant pour moi ! Super donc comme cet avion ne peut dépsser 200 km/h il y a bien un probleme en s'appuyant seulement sur cette théorie. Merci pour votre aide.

[mrt44]

Calcul de la taille de l'extrados en pourcentage de l'intrados avec le principe de Bernoulli :

On pose Ve = Vi + xVi = Vi*(1+x), x inconnue.
On applique le th. de Bernoulli, on arrive à deltaP = 0,5*roh*Vi^2*(x^2 + 2x)
F = P*S = m*g.

D'où 0,5*roh*Vi^2*(x^2 + 2x)*S = m*g
et x^2 + 2x = (2mg) / (roh*Vi^2*S)
et x^2 + 2x - (2mg) / (roh*Vi^2*S) = 0

delta discriminant du polynome ci-haut D = 4 + (8mg)/(roh*Vi^2*S)

A.N. : on prend le Cessna 152 -> poids 800kg; surface alaire 15m^2; on prend roh = 1; Vi = 50m.s-1 soit 180km/h
On a D = 5,672. Deux racines dont une négative on prend la positive et x = 0,191 soit un extrados 19% plus grand que l'intrados.

C'est élevé mais pas si choquant, il faudrait faire l'AN pour un Boeing 747 et voir si cela est incohérent.
Je comprend toujours pas comment ils trouvent un extrados 50% plus grand dans les liens que j'ai posté plus haut ou encore une vitesse de 600 km/h minimum.

@calculair : quel avion est équipé du profil clark Y et comment as tu trouvé ces valeurs d'ecart ?

[calculair]

bonjour

Cessna pèse plutot 1000 kg

Sont profil d'aile n'est pas du clarck Y mais du NACA 2412

voir ici :http://airfoiltools.com/airfoil/deta...il=naca2412-il

la densité de l'aie est au niveau de la mer 1,2 environ

Tu prends un centimètre ou une ficelle et tu mesurs l'itrados et l'extrados

[calculair]

Bonjour

Pour un profil clarck Y , j'ai un eun écart de 6,5 à 7 % et non 19 %

La vitesse de vol calulée Bernoulli est de 270 km/h au lieu de 200 km/h pour l'avion vraie

Avec le profil NACA 2412 je n'ai pas fait le calcul..

[calculair]

Bonjour


Si je reprend F = 0,5 d ( Ve^2 - Vi^2 ) S

Ve = Vi ( 1 + e )

F = 0,5 d S ( Vi^2 ( 1 + e)^2 - Vi^2 )

F = 0,5 d S ( Vi^2 + 2 e VI^2 + VI^2 e^2 - VI^2 )

Je neglige Vi^2 e^2

F = 0,5 d S 2 e Vi^2


Vi^2 = F / ( d S e )


F = 10 000 N

d = 1,2 kg /m3

S = 15 m2 d'apres tes données

e = 7 % ou 0,07

Vi^2= 10 000 / ( 1,2 *15 * 0,07 ) = 7936


VI = 89 m/s ou 320 km/h C'est 120 km/h trop elevé...

[calculair]

Données Cessna

essna 172 Skyhawk
Image illustrative de l'article Cessna 172
Cessna 172
Constructeur aéronautique Drapeau : États-Unis Cessna
Type Avion léger
Premier vol Janvier 1955
Mise en service 1955
Motorisation
Moteur Textron Lycoming IO-360-L2A 180 ch à 2 700 tr/min
Dimensions
Envergure 11 m
Longueur 8,28 m
Hauteur 2,72 m
Surface alaire 16,2 m2
Nombre de places 4 (1 pilote + 3 passagers)
Réservoirs 2 x 106 litres
Masses
Masse à vide 779 kg
Masse maximum 1111 kg
Performances
Décollage 498 m
Atterrissage 407 m
Vitesse de croisière 200 km/h
Vitesse de croisière maximale 210 km/h
Vitesse maximale (VNE) 220 km/h
Vitesse de décrochage 61 km/h
(plein volets)
Plafond 14 000 ft (4 267 m)
Vitesse ascensionnelle 3,65 m/s
Distance franchissable 1 130 km
modifier Consultez la documentation du modèle

[calculair]

Complrments :
Caractéristiques générales

Équipage: 1
Capacité: 3
Longueur: 8,28 m
Envergure: 11 m
Hauteur: 2,72 m
Surface alaire : 16,2 m²
Profil: NACA 2412
Masse à vide: 744 kg
Charge utile: 415 kg
Masse maximale au décollage: 1 157 kg
Moteur: 1 4 cylindres à plat Lycoming IO-360-L2A de 180 chevaux à 2 700 tours par minute
Hélices: McCauley 2 pales en métal à pas fixe

Données Cessna

essna 172 Skyhawk
Image illustrative de l'article Cessna 172
Cessna 172
Constructeur aéronautique Drapeau : États-Unis Cessna
Type Avion léger
Premier vol Janvier 1955
Mise en service 1955
Motorisation
Moteur Textron Lycoming IO-360-L2A 180 ch à 2 700 tr/min
Dimensions
Envergure 11 m
Longueur 8,28 m
Hauteur 2,72 m
Surface alaire 16,2 m2
Nombre de places 4 (1 pilote + 3 passagers)
Réservoirs 2 x 106 litres
Masses
Masse à vide 779 kg
Masse maximum 1111 kg
Performances
Décollage 498 m
Atterrissage 407 m
Vitesse de croisière 200 km/h
Vitesse de croisière maximale 210 km/h
Vitesse maximale (VNE) 220 km/h
Vitesse de décrochage 61 km/h
(plein volets)
Plafond 14 000 ft (4 267 m)
Vitesse ascensionnelle 3,65 m/s
Distance franchissable 1 130 km
modifier Consultez la documentation du modèle

[mrt44]

Bonjour
J'ai refait l'AN pour le Cessna 152 avec donc m = 1000 kg; roh = 1,2kg.m-3; Vi = 50m.s-1; S=15m2
On trouve 19,8% soit environ plus de 3 fois le pourcentage réel, bien que bon nombre d'approximations ont été faites, on peut dire que Bernoulli ne permet pas totlement d'expliquer le phénomène de portance donc, ce que je cherchais à montrer.
Même conclusion pour le calcul de vitesse de calculair.

Merci de votre aide.

[harmoniciste]

Bonjour,
Partant d'un profil cambré sans épaisseur, la distance parcourue côté extrados et celle parcourue coté intrados est strictement la même. Comment utiliser alors Bernouilli ?

[calculair]

Il faudrait appliquer Bernoulli aux trajectoires des filets d'air....

Le theoreme de Bernoulli est exact, encore faut il être dans les conditions de son application.

Comme le fait remarquer mrt 44 Bernoulli nous donne qu'une partie de l'explication et bien d'autres phenomènes interviennent, comme des écoulements tourbillonnaires, des aspects liés à la viscosité de l'air et autres ....

Bonjour,
Partant d'un profil cambré sans épaisseur, la distance parcourue côté extrados et celle parcourue coté intrados est strictement la même. Comment utiliser alors Bernouilli ?