Theories quantiques relativistes

[Murmure-du-vent]

Bonjour,

Je me demande quelle peut etre le formalisme minimal nécessaire pour une theorie quantique relativiste.
A priori il faut bien sur un espace de Hilbert avec son vecteur vide.
je lis ici

qu'il doit y avoir invariance des probabilites sous le groupe de Poincaré.
Plus des considérations sur la commutativité des observables en 2 points du type espace.

Est ce tout?
En particulier Doit on en plus donner un hamiltonien pour dire comment çà evolue avec le temps?
Si on a précisé comment le groupe de Poincaré agit sur H cela ne suffit pas?
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[Deedee81]

Salut,

A chaque système différent, son hamiltonien. Donc, forcément, il faut donner celui-ci.

[0577]

Bonjour,

l'hamiltonien est le générateur de la translation temporelle dans le groupe de Poincaré. La donnée de l'hamiltonien est donc contenue dans la donnée de l'action du groupe de Poincaré sur l'espace des états.

[Murmure-du-vent]

Ok

J'avais été surpris de voir que dans les axiomes de Wightman, on ne ârlais ni de Hamiltonien ni de Lagrangien.
Ce n'était donc pas nécessaire!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Mais il faut donner l'action..... et j'aurais donc dû aller voir le lien. Désolé,
Mea culpa,

[Murmure-du-vent]

Mais il faut donner l'action.....

On est bien d'accord que l'action à donner est bien celle du groupe de Poincaré sur l'espace de Hilbert.
Et non de "l'action" au sens d'intégrale d'un Lagrangien ou Hamiltonien donné pour définir les propriétés du systeme physique?

Il serait d'ailleurs intéressant d'écrire la relation entre ces deux "actions".

[Murmure-du-vent]

Il semble que la theorie quantique axiomatique echoue jusqu'à présent à trouver des modeles pour les théories de jauge. Il y a un prix de 1 million de dollars pour un tel modele incluant le modele standard. Ou se trouve la difficulté avec les les jauges,?

[Deedee81]

Salut,

Il semble que la theorie quantique axiomatique echoue jusqu'à présent à trouver des modeles pour les théories de jauge. Il y a un prix de 1 million de dollars pour un tel modele incluant le modele standard. Ou se trouve la difficulté avec les les jauges,?

Franchement, je l'ignore.

Tu peux peut-être regarder la description du problème décrit ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_Yang-Mills

[Murmure-du-vent]

Je regarde les axiomes de Wightman en repensant à la réponse de 0577.
On commence par définir le cadre général; Un espace de Minkowski et son groupe de Poincaré, un espace de Hilbert pour les états physique une représentation du groupe de Poincaré cad un ensemble d'opérateurs unitaires U(a,A) agissant sur H.
On dit que ceci définit l'hamiltonien. PUIS on introduit les champs comme distributions a valeur opérateur.
Le fait qu'un modele siot celui d'un champ libre ou non, massif ou non apparait à quel niveau?
Au moment ou on definit H et U(a,A) ou apres?

[Murmure-du-vent]

En particulier avant d'avoir précisé comment on associe un operateur à une fonction test quelconque, ceci est il exact:
On peut considérer un espace de Hilbert comme un espace de Fock ou
le vide s'écrit (1,0,0,0,0.....)
un etat a une particule e1 = (0,f,0,0,0....) ou f est une fonction de test
etc.
Le hilbertien etant donné il impose une equation que doit verifier e1 et donc la fonction de test.
Ainsi la donnée de U(a,A) impose une condition sur les fonctions de tests?

[Deedee81]

Salut,

En particulier avant d'avoir précisé comment on associe un operateur à une fonction test quelconque, ceci est il exact:
On peut considérer un espace de Hilbert comme un espace de Fock ou
le vide s'écrit (1,0,0,0,0.....)
un etat a une particule e1 = (0,f,0,0,0....) ou f est une fonction de test
etc.
Le hilbertien etant donné il impose une equation que doit verifier e1 et donc la fonction de test.

Pour ça je peut répondre : ok

Mais malheureusement, pour tes questions, ça m'a l'air assez pointu. Je ne saurais y répondre. Et désolé que tu n'aies pas eut des réponses (quand j'ai vu ton message hier, j'ai espéré qu'un crac passe, mais non )

Je suppose que ta question sur l'introduction de la masses intervient dans le cadre des théories axiomatiques et sur le problème du Millenium. Si c'était dans le cadre classique des la théorie quantique des champs, je saurais répondre, mais dans le cadre axiomatique, non (je suis seulement en train d'étudier ce domaine).

[0577]

Bonjour,

On commence par définir le cadre général; Un espace de Minkowski et son groupe de Poincaré, un espace de Hilbert pour les états physique une représentation du groupe de Poincaré cad un ensemble d'opérateurs unitaires U(a,A) agissant sur H.
On dit que ceci définit l'hamiltonien. PUIS on introduit les champs comme distributions a valeur opérateur.
Le fait qu'un modele siot celui d'un champ libre ou non, massif ou non apparait à quel niveau?
Au moment ou on definit H et U(a,A) ou apres?

Les axiomes de Wightman ne sont pas une manière de construire une théorie en pratique mais juste une liste de propriétés qu'une théorie doit satisfaire. Montrer qu'une théorie satisfait les axiomes de Wightman est le point final plus que le point de départ de construction d'une théorie (en particulier, connaitre explicitement la représentation du groupe de Poincaré signifie en particulier connaitre le spectre de l'hamiltonien et c'est en général ce qu'on cherche et non le point de départ).

Il semble que la theorie quantique axiomatique echoue jusqu'à présent à trouver des modeles pour les théories de jauge. Il y a un prix de 1 million de dollars pour un tel modele incluant le modele standard. Ou se trouve la difficulté avec les les jauges,?

Relié au point précédent: le point de vue axiomatique ne sert qu'à donner un cadre général pour définir ce qu'on peut appeler une théorie quantique des champs. Mais il ne propose pas a priori de méthode de construction et en ce sens il n'échoue pas car il n'est pas fait pour ça. Mais ce qui échoue est la théorie quantique des champs "constructive", i.e. la construction explicite d'exemples satisfaisant les axiomes de Wightman. En général, on essaye de partir d'une théorie des champs classique et on essaye de construire une théorie quantique analogue. Formellement, on peut adopter l'approche de la quantification canonique. En général ce n'est que formel car les expressions utilisées sont singulières. De même on peut formellement définir une théorie par intégration fonctionnelle à la Feynman. Là encore ce n'est que formel car une telle intégrale n'est pas bien définie a priori. Une manière standard de procéder, et le réel travail, est de discrétiser l'intégrale fonctionnelle et d'essayer de montrer qu'il existe une limite appropriée des paramètres telles que la limite continue soit bien définie.

Il est facile de construire une théorie classique des champs, en un nombre quelconque de dimensions d'espace-temps: il suffit d'écrire un lagrangien. On pourrait naïvement penser qu'il en de même des théories quantiques des champs (par théorie quantique des champs j'entends vraiment une théorie satisfaisant les axiomes de Wightman et en particulier bien définie à des échelles arbitraires et non pas des théories effectives valides à basse énergie qui elles sont faciles à construire). Mais ce n'est pas le cas: il semble que les théories quantiques des champs non-triviales (i.e. avec interactions, il est facile de construire des théories libres) soient un phénomène de basse dimension et soient assez rares. En particulier, en dimension 4, les théories de jauge non-abéliennes ne sont pas problématiques a priori mais sont au contraire un des rares cas pour lesquels on s'attend à ce que la théorie existe (cette attente est basée sur une propriété perturbative fondamentale: la liberté asymptotique i.e. la trivialité à petites distances), ce n'est pas le cas pour l'électrodynamique quantique ou pour une théorie avec interactions d'un unique champ scalaire.

[Murmure-du-vent]

En particulier avant d'avoir précisé comment on associe un operateur à une fonction test quelconque, ceci est il exact:
On peut considérer un espace de Hilbert comme un espace de Fock ou
le vide s'écrit (1,0,0,0,0.....)
un etat a une particule e1 = (0,f,0,0,0....) ou f est une fonction de test
etc.
Le hilbertien etant donné il impose une equation que doit verifier e1 et donc la fonction de test.
Ainsi la donnée de U(a,A) impose une condition sur les fonctions de tests?

Je reviens sur ce sujet apres avoir mieux lu des trucs là dessus.
Il semble que les axiomes de Wightman n'imposent pas comment doit etre d"fini l'espace de Hilbert. Ainsi dire que H est un espace de Fock ou les vecteurs à une particule sont les fonctions de tests f est une possibilité de construction. Dans ce cas precis L'opérateur P^2 de masse au carré y a un vecteur propre (une fonction de test en l'occurence) qui vérifie ainsi une équation de Klein Gordon. On voit alors apparaitre la nécessité pour les fonctions de test d'obéir en plus à une équation restrictive.

Cependant rien ne prouve qu'avec un autre choix pour H il y aurait cette obligation pour ces fonctions de test.
OUI, NON?

[0577]

Bonjour,

Je reviens sur ce sujet apres avoir mieux lu des trucs là dessus.
Il semble que les axiomes de Wightman n'imposent pas comment doit etre d"fini l'espace de Hilbert. Ainsi dire que H est un espace de Fock ou les vecteurs à une particule sont les fonctions de tests f est une possibilité de construction. Dans ce cas precis L'opérateur P^2 de masse au carré y a un vecteur propre (une fonction de test en l'occurence) qui vérifie ainsi une équation de Klein Gordon. On voit alors apparaitre la nécessité pour les fonctions de test d'obéir en plus à une équation restrictive.

Cependant rien ne prouve qu'avec un autre choix pour H il y aurait cette obligation pour ces fonctions de test.
OUI, NON?

Il est peut-être bon de rappeler que tous les espaces de Hilbert sont abstraitement les mêmes (plus précisément: tous les espaces de Hilbert séparables de dimension infinie sont isomorphes) et donc en un sens c'est toujours le même H qui apparaît. Néanmoins, différentes théories se différencient par la réalisation des champs d'opérateurs sur cet espace de Hilbert et la description explicite de cette action dépend en général de manière cruciale de la manière dont on se donne concrètement l'espace de Hilbert. Donc en pratique, il me semble que la réponse est OUI: suivant les théories, on a différentes descriptions concrètes de l'espace de Hilbert, à savoir les descriptions pour lesquelles il est facile de décrire ce que sont les champs d'opérateurs, même si abstraitement c'est toujours le même espace.