Questions bêtes pour comprendre les variétés différentielles et la RG

[youhouhou]

Bonjour, j'ai du mal à comprendre tous les prérequis de maths sur les variétés différentielles, les concepts et le vocabulaire qui vont avec, avant d'essayer de comprendre la RG (l'équation d'Einstein).

Ma première question c'est : est-ce que la donnée d'un atlas et d'une métrique décrit totalement la variété Riemannienne ?

Ma deuxième question c'est : les cours ou articles sur le sujet sont très (trop) abstraits, j'essaye de les rendre un peu plus concrets, mais ai-je fait beaucoup d'erreurs ?

(atlas : un ensemble recouvrant de bijections d'ouverts de la variétés dans des ouvertes de , ensemble fini dans le cas de la sphère, de difféomorphismes : bijections et leurs réciproques )
(métrique : en gros un champ de matrices , en général notée pour le champ et pour la matrice en un point de la variété, qui permet de calculer la longueur d'un vecteur de l'espace tangent en un point, ou la longueur totale d'un chemin de la variété avec l'intégrale ci-dessous.

comme dans l'espace euclidien, pour calculer la norme d'un vecteur on peut juste définir un produit scalaire ou un pseudo produit scalaire s'il n'est pas défini positif)

Si oui, alors quand on dit "on se donne une connexion, une application de transport parallèle", en fait une fois qu'on a une métrique il n'y a qu'une connexion et une application de transport parallèle ?

La connexion affine ou l'application de transport parallèle c'est ce qui permet de définir le "aller tout droit" dans cette variété, parce que comme dans l'espace euclidien, dans une variété riemannienne si un chemin va tout droit entre 2 points alors on est sûr que ce chemin est une géodésique : un plus court chemin (au moins parmi les chemins infinitésiment proches).


résultat au lieu d'écrire qu'une géodésique c'est un chemin de à qui minimise : (parmi les chemins infinitésiment proches)
la longueur du chemin, ou de manière équivalente

en appliquant l'inégalité de Cauchy–Schwarz.

donc au lieu de cette minimisation d'intégrale qui ne fait intervenir que la métrique, on arrive à écrire une équa-diff ou une condition beaucoup plus simple qui définit qu'un chemin est bien une géodésique (que ce chemin va 'tout droit', que son vecteur tangent reste tout le temps parallèle à lui même) :

si pour tout alors est une géodésique où c'est la connexion,

les coefficients de Christoffel permettent d'exprimer la même chose, mais en coordonnées locales :

où , l'indice des coordonnées.

cette équation dit que la variation du vecteur tangent doit être égal à moins la variation des axes du repère que la métrique définit en chaque point (la métrique définit des repères qui peuvent très bien tourner sur eux-même, par exemple quand on fait tout le tour de la sphère)

puisque les coefficients de Christoffel se déduisent directement de la métrique, la connexion aussi, donc on a bien atlas+métrique = on a défini entièrement toute la variété, et à partir de cette donnée on peut calculer les coefficients de Christoffel, la connexion, le tenseur de courbure, etc. ?

Enfin, dans tout ce que j'ai écrit, qu'est-ce qui est moyennent clair, en gros qu'est-ce que je n'ai pas bien compris ?
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[phys4]

Ma première question c'est : est-ce que la donnée d'un atlas et d'une métrique décrit totalement la variété Riemannienne ?

La connaissance de la métrique en tous points définit complétement l'espace, toutes les propriétés peuvent se déduire de la métrique.

La connexion affine ou l'application de transport parallèle c'est ce qui permet de définir le "aller tout droit" dans cette variété, parce que comme dans l'espace euclidien, dans une variété riemannienne si un chemin va tout droit entre 2 points alors on est sûr que ce chemin est une géodésique : un plus court chemin (au moins parmi les chemins infinitésiment proches).

où , l'indice des coordonnées.

Cette équation simple permet de calculer toutes les géodésiques.

[youhouhou]

La connaissance de la métrique en tous points définit complétement l'espace, toutes les propriétés peuvent se déduire de la métrique.


Cette équation simple permet de calculer toutes les géodésiques.

alors, "comment on arrive à cette équation, comment on l'interprète " ?

cette équation dit (en coordonnées locales) :

• c'est le vecteur tangent à la courbe
• c'est la variation de ce vecteur : le vecteur accélération. dans un espace euclidien il suffirait d'écrire puisque la métrique est triviale (matrice identité partout), mais pas ici
• et la ème coordonnée de ce vecteur
• doit être égale à
  où c'est une matrice , une par coordonnée et c'est la transposée du vecteur tangent à la courbe

clairement, j'ai du mal avec ce dernier terme notamment pourquoi il est quadratique (et pas linéaire) en les composantes du vecteur tangent ?

[youhouhou]

je crois que j'ai compris, je posterai demain mon explication de cette dernière formule

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Bonjour,
Y a quelques petites approximations ou imprecisons dans ce que tu dit, mais c'est exactement cela sinon. Je me permet d'apporter un eclairage sur 2 choses.

Premièrement, ce que tu as en premier lieu, c'est ta variété differentielle, c'est l'objet le plus fondamental en fait. Il est donné par une espace topoogique séparé et un atlas dessus. L'atlas est un gadget technique qui permet une seule chose, de pouvoir donner un sens à quand est ce qu'une fonction de la variété dans R (et plus generalement d'une variété dans une autre) est differentiable. L'atlas te permet de définir donc la notion de fonction differentiable. Accessoirement il permet deux choses supplementaires, pouvoir définir la notion d'espace tangent en un point de la variété, et du coup la notion de dérivée (ou de differentielle) d'une fonction f entre variétés differentielles.

L'atlas specifie la structure differentielle.

Ensuite la métrique est un ajout supplementaire de structure. Au passage tu dis que c'est grosso modo un champ de matrices, effectivement grosso modo c'est ca, mais j'attire ton attention sur le fait que c'est pas du tout une application X->Md(R) (ou d est la dimension de X si X est connexe disons).

Effectivement localement c'est bien une application U->Md(R) mais tu as des conditions de recollement, qui sont simplement données par le fait que l'action de la metrique sur un vecteur tangent donné ne depende pas de la carte ou la lise, comme g(v,v)=v^tGv au dessus d'un point u en coordonnées d'une premiere carte, tu as si v=df(u).v' alors G=(df(u)-1)^TG'df(u)^{-1}, ou f est l'application de changement de cartes, et v' et G' sont le vecteur tangent et la métrique lues dans la seconde carte.

Bref, la métrique specifie la géométrie. Sur la meme variété (i.e avec des atlas equivalent, ou plus generalement entre des variétés diffeomorphes), tu peux mettre tout un tas de metrique, et ca te donne des variétés non isometrique. Par exemple, tu peux sur la 2-sphere (differentiable), mettre la métrique standard, tu obtiendras la sphere euclidienne classique, tu peux également mettre une métrique qui la rendra isométrique à une ellipse.

Comme tu l'as tres justement remarqué, la métrique definit une notion de distance entre deux points.

Ensuite on peut déduire toutes les propriétés de nature geometrique de ce choix. La metrique permet de faire un choix de connexion. Une connexion ca sert essentiellement à une chose dériver des sections (en l'occurence ici des champs de vecteurs tangents). Le choix d'un atlas sur la variété ne te permet pas de deriver des champs de vecteurs tangents, comme on s'en rend compte aisément en comparant la formule naive lue dans deux cartes; elles ne donnent pas le meme vecteur. Du coup, il faut spécifier un choix pour deriver ces champs de vecteur. C'est la connexion.

La metrique te permet de la choisir de facon canonique. Donc y a pas vraiment de choix supplementaire à faire. Et tu t'apercois que pour la calculer (localement) il suffit de connaitre son action sur une base locale du fibré tangent, son action sur ceux ci est par définition les symboles de christoffel. De manière plus precise au dessus d'un petit ouvert de carte U, les champs de vecteur vont s'ecrire avec base de T_uX pour tout u dans U. Les symbolues de christoffels sont définis par . Tu vois que , pour tout u dans U.

A mon avis, il n'y a pas vraiment a interpreter les differents termes dans l'equation des geodesique en coordonnées locales. Ce qui a du sens, c'est l'equation globale (que tu as ecrite). L'equation locale vient des choix que l'on a fait, et des differentes expressions données pour les objets vis a vis de ces choix.

A partir de la connexion, tu calcule facilement la courbure. C'est son carré.

La connaissance de la métrique en tous points définit complétement l'espace, toutes les propriétés peuvent se déduire de la métrique.

Je ne sais pas ce que vous voulez dire par là. Mais il faut bien sur se donner la variété avant la metrique (sinon la métrique ne peut meme pas etre définie). Meme si parfois ca parrait pas tres clairement dans la présentation qui en est donnée qui consiste à donner la metrique sur un ouvert maximal de R^n, (enfn R^{3,1}) pris maximal pour que l'expression donnée ait un sens.

[youhouhou]

là ce qui me plait comme approche c'est ça : Recovering_the_connection_from _the_parallel_transport (eux il notent pour l'application de transport parallèle, bien embrouiller le lecteur, moi je la note

• en fait une fois qu'on a la variété (un atlas de difféomorphismes),
• qu'on a la métrique et donc la longueur d'un chemin par l'intégrale (où effectivement en coordonnée locale ça peut s'écrire comme une matrice, mais c'est surtout un produit scalaire donc invariant par changement de base orthonormé, donc finalement plus ou moins indépendant des coordonnées locales)
• longueur d'un chemin qui implique donc la notion de géodésique (de 'aller tout droit' dans une direction)
• on zappe complètement sans chercher à résoudre la minimisation de cette intégrale.
  
  On introduit alors la notion d'application de transport parallèle est un opérateur linéaire qui transforme un vecteur de l'espace tangent au point en un vecteur de l'espace tangent au point , et qui justement définit que : au point est le transporté parallèle de au point . On remarque que cette application de transport parallèle définit aussi la notion de géodésique, donc qu'il doit y avoir un lien entre et la métrique
• on considère les dérivées partielles en chaque point et dans chaque direction de base (ces dérivées partielles étant elles-mêmes des opérateurs linéaires ). on remarque que ces dérivées partielles définissent entièrement (avec des équa diff impliquant ces sur un chemin de
• on tombe sur une équation de la forme où les coefficients de Christoffel apparaissent naturellement :
• ces dérivées partielles / locales introduisent justement le concept de connexion (ces dérivées partielles sont justement une connexion) qu'on peut maintenant définir en s'appuyant sur un exemple concret
• on explicite comment déduire de la métrique la connexion de Levi-Civita

Je vais essayer de faire le lien avec tout ce que tu as dit MiPaMa (les 30% que je ne comprends pas encore vraiment).

[youhouhou]

une connexion c'est un opérateur (linéaire localement) qui permet de transformer un vecteur de l'espace tangent en un vecteur de l'espace tangent (à un point infinitésiment proche dans une certaine direction ),
en intégrant ces transformations infinitésimales on peut obtenir une application de transport (parallèle ou autre) d'un vecteur de en un vecteur de l'espace tangent à un autre point .

d'où la définition abstraite et générale d'une connexion :

• en un point on a en entrée une directon et un champ de vecteur et en sortie on a qui dépend linéairement de et linéairement des valeurs du champ de vecteur au voisinage de (donc on a supposé que le champ de vecteur est différentiable au voisinage du point )
• ensuite on étend ça en calculant en même temps pour plein de points différents, où est remplacé par un champ de vecteurs sur un ouvert ou une courbe : . en chaque point le champ de vecteurs définit une direction (direction qui transforme en ), c'est tordu mais c'est comme ça, finalement c'est assez proche de la 'directional derivative'. voir wiki/Introduction_to_the_mathematic s_of_general_relativity
  
• on se rend compte finalement qu'une connexion ne dépend pas des coordonnées locales choisies (c'est un tenseur) même si pour l'expliciter (avec les symboles de Christoffel) on a fait les dérivées partielles seulement dans les directions des coordonnées locales (par linéarité on sait alors faire les dérivées partielles dans chaque direction : le ou sus-mentionné)

[invite02232301]

J'ai pas trop le temps de developper maintenant, mais y a pas mal d'erreur dans ce que tu dis. Notament le fait que la connexion soit un tenseur c'est faux. Elle n'agit pas sur les vecteurs tangents, mais sur les champs de vecteurs tangents (contrairement à la courbure).

[youhouhou]

non mais on s'en fiche un peu des détails,

finalement les concepts des variétés différentielles dans un premier temps ce ne sont que des dérivées partielles niveau terminale S,

donc tous les cours qui n'explicitent pas clairement ces dérivées = nuls 0/20

moi j'ai le mérite d'essayer de les écrire ces dérivées. notamment que



quand est un simple vecteur,

ou bien avec un champ :




où est l'application de transport parallèle qui est implicite (et c'est ça le problème il FAUT l'expliciter sinon ça n'a plus de sens, en tout cas selon moi)

remarque qu'avec ma définition on a toutes les propriétés d'une connexion qui deviennent évidentes (bilinéaire et formules pour et quand est un champ de réels)

[Amanuensis]

La notion de dérivée directionnelle (terme non utilisé dans la présentation ici) est usuelle dans les présentations des variétés et de la connexion.

D'ailleurs du point de vue de la notation, est la connexion, et une dérivée directionnelle. Il est utile de ne pas confondre les deux.

[invite02232301]

Deja, vous n'avez pas l'air de realiser que le transport parallele, c'est pas simplement une application entre les espaces tangents en deux points. Il faut choisir une courbe lisse reliant ses deux points pour définir le transport parallele. Qui va bien sur dependre du choix de la courbe.
En l'etat ce que vous ecrivez n'a aucun sens.
Notamment, le s+hv qui n'a aucun sens si s est un point de votre variété.