Poutre en flexion et couche magnétique

[sephi87]

Bonjour à tous,

Je me pose une question depuis plusieurs jours dans le cadre d'un projet de groupe mais je n'arrive pas à trouver une réponse qui me satisfait malgré plusieurs discussion avec des personnes me tenant des propos différents... J'ai des connaissances assez large en physique (niveau M2) mais la mécanique des structures vibrantes n'est pas mon point fort...

Voilà le cadre du problème : D'un point de vue théorique, je cherche à connaitre l'impact d'un champ magnétique B sur la déformée et la fréquence de résonance d'une poutre de section rectangulaire vibrant en flexion. Cette poutre est de type encastrée-libre et une couche ferromagnétique d'aimantation M est déposé sur le dessus de la poutre. Le champ B est orienté le long de la poutre au repos. Il y a donc un couple de flexion () qui s'applique en chaque point de la poutre lorsque celle-ci est en vibration, étant l'angle entre la déformée locale de la poutre et le champ magnétique.

On peut montrer sans champ magnétique que l'équation différentielle régissant la déformée de la poutre en vibration est :


Avec le module d'Young, la masse volumique, la section de la poutre, le moment quadratique.

Le problème c'est que je ne vois pas comment modifier cette équa. diff afin de prendre en compte la présence du couple de rappel magnétique... Je sais comment faire la démonstration à partir d'un morceau élémentaire de poutre de longueur dx mais j'ai du mal à intégrer ce couple magnétique dans l'équation de l'équilibre des moments. Pour les calculs on peut considérer que la couche a une épaisseur et masse nulle je pense.

Est-ce que quelqu'un aurait une idée pour trouver l'équa. diff associée à ce cas ? Je dois pouvoir faire un schéma de l'expérience si ce n'est pas claire !

Par avance merci de votre aide.
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[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Il faudrait commencer pas connaître le comportement de la couche magnétique quand on change ses dimensions. Notamment son volume.
Imaginons que le champ magnétique reste le même. Dans ce cas, c’est le volume du champ qui va changer quand on déforme la poutre. L’énergie de la couche sera V.B²/µ avec V le volume de la partie magnétique et µ la perméabilité de la zone magnétique (µ_oµ_r). Cette énergie est faible si le volume est faible et si la perméabilité est grande.
Donc, il faut plutôt regarder le champ à l’extérieur de la poutre. Mais ce champ est faible dans la partie qui change (le milieu de la longueur) et l’énergie aussi.
Donc, un allongement de la poutre ne changera pas beaucoup l’énergie du système. ce qui veut dire que les forces crées par cet allongement seront négligeables comparées aux forces élastiques.
Au revoir.

[sephi87]

La couche magnétique a une épaisseur complètement négligeable devant l'épaisseur et largeur de la poutre. On peut considérer son volume comme constant, d'autant plus que les déplacements sont faibles. De plus, tu sembles parler de déformation en élongation alors que la poutre vibre en flexion, donc son allongement est nulle si on considère une poutre de Bernoulli. Pour donner plus de détails au problème, ce principe est utilisé dans des magnétomètres MEMS, donc oui les déformations misent en jeu sont très faibles mais mesurables dans les bonnes conditions de mesures.

Une chose que je n'ai pas précisé, l'aimantation de la couche est le long de la poutre également. Donc au repos il n'y a pas de couple magnétique car M et B sont alignés. L'aimantation M est très grande devant le champ H du milieu extérieur donc elle ne tourne pas et suit parfaitement la déformée de la poutre au cours du mouvement (pour simplifier le problème). Au cours de la vibration sur le mode fondamental, l'aimantation va suivre la déformée de la poutre et donc il y aura un couple de rappel qui va s'appliquer sur la poutre en chaque point de la poutre car B et M ne seront plus alignés.

C'et une question purement théorique donc si on veut on peut même oublier cette histoire de couche mince et considérer qu'en chaque point de la poutre il y a un couple dont la direction et perpendiculaire au plan de vibration en flexion de la poutre et qui s'exprime : avec une constante et l'angle que forme la déformée de la poutre localement par rapport à l'axe principal de la poutre au repos. Le problème c'est que je ne vois pas comme insérer ce couple dans l'équation différentielle que j'ai exprimé dans mon 1er post.