Vidange d'un ballon de baudruche

[nansi]

Salut à tous ! j'ai le problème suivant à faire, et j'ai quelques difficultés pour la seconde question.. Si quelqu'un est expert en dynamique des fluides, ce serait avec plaisir !

Problème I : Etude du dégonflage d’un ballon de baudruche
On considère un ballon de baudruche gonflé, d’un rayon initial R0. On suppose que les effets de compressibilité de l’air sont négligeables. On supposera que la distribution de pression de part et d’autre de la membrane du ballon est uniforme et que la différence de pression est donnée par une relation de la forme : pi-pe = 2γ/R
Où pi désigne la pression du coté intérieur de la membrane ; pe la pression coté extérieur et R le rayon du ballon. γ est une constante. Le ballon est fixe pendant tout l’essai. On ouvre l’orifice du ballon. On suppose que sa forme globale reste sphérique pendant tout le temps de l’essai. Le but de ce problème est de déterminer à tout instant le rayon du ballon, la pression de l’air à l’intérieur et le débit d’air qui en sort.
1) En écrivant le bilan de masse sur l’air qui se trouve dans le ballon à un temps donné, déterminer la relation entre le débit instantané massique ms d’air sortant du ballon et la variation de volume du ballon.
2) Ecrire le bilan de quantité de mouvement sur le même système, en justifiant toutes vos approximations, déterminer la relation entre et la différence de pression pi-pe .
3) Déterminer les lois d’évolution de : ms pi et R. Tracer l’allure de leur évolution et commenter les résultats.
4) Quel est le temps de dégonflage du ballon ?

On note rho la masse volumique de l'air, Sb la surface du ballon, et So la section de sortie de l'air.


pour la premiere question, j'écris que ms = rho*(deltaV/delta t) ou V est le volume du ballon et V=(4/3)*pi*R^3

pour la deuxième relation, on peut négliger la quantité de mouvement dans le ballon, les normales à la sphère s'annulent 2 à 2, et je suis arrivé à la relation suivante :
ms = sqrt(rho*pi-pe*Sb*So)
Mais maintenant que je dois trouver le rayon en fonction du temps, ça bloque..
Si quelqu'un a une idée, je suis preneur !
Merci !
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[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Il manque l’hypothèse à faire quand au débit du ballon. On peut supposer :
- que toute l’énergie perdue (P.V) s’est transformée en énergie cinétique du gaz sortant.
- que le débit est limité par les pertes visqueuse et aérodynamiques.
La réalité est probablement un mélange de deux hypothèses.
Dans ce type de problème on prend une des deux. Je ne sais pas laquelle on vous demande de prendre.
Je parierai un café que c’est la première, ce qui vous permet d’utiliser Bernoulli. Ça fait plus académique.

Nota : il faut faire attention au nom des variables. J’imagine que dans le volume d’une sphère ‘pi’ n’est pas la pression interne du ballon.
Au revoir.

[natachastpier]

Bonjour à tous !
Je suis d'accord avec toi il ne faut pas confondre Pi et pi la pression intérieure et 3.1415
Je suis d'accord avec ta formule pour la question 1 mais je n'arrive malheureusement pas à résoudre la question 2 non plus .. De l'aide serait la bienvenue !