Conduction thermique et évolution temporelle

[susanne31]

Bonjour à tous,

J'essaie de me convaincre efficacement de la manière dont va évoluer la température d'un tuyau connecté à une source chaude et une source froide, le tuyau étant initialement froid.

J'ai donc un cylindre de longueur L, compris entre une source chaude de température Tc =400°C, et une source froide de température Tf = 50°C. Mon tuyau est initialement froid à Tf.

Je sais qu'au bout d'un temps infini, j'aurais atteint une solution stationnaire de la forme T(x, temps infini) = Tc - (Tc-Tf)*x/L.

J'essaie de me convaincre qu'au cours de l'évolution temporelle jusqu'à cet état stationnaire, j'aurais toujours T(x,t)<T(x,infini)= Tc - (Tc-Tf)*x/L.

En gros je cherche à me convaincre efficacement qu'un élément de tuyau ne va pas emmagasiner de l'énergie jusqu'à atteindre une température supérieure à sa température d'équilibre, puis la rendre pour redescendre à sa température d'équilibre... ça ne me parait pas très physique comme comportement.

Quelqu'un aurait il un argument formel me permettant d'achever de me convaincre de cette "intuition" ?

Cela m'aiderait grandement, car je cherche à montrer qu'un capteur situé quasiment au bout de mon tuyau ne verra pas des températures supérieures à 300°C, puisqu'il n'est pas capable de les supporter.

Merci d'avance
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[LPFR]

Bonjour.
Arrêtez d’essayer de vous convaincre, car c’est faux.
Au départ, la zone du tuyau près de la source chaude va chauffer très haut puis la température va baisser vers la valeur asymptotique.

Regardez cette animation :
https://en.wikipedia.org/wiki/File:H...n_exampleB.gif

Provenant de
https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation

Ce n’est pas tout à fait votre problème car il n’y a pas de source froide ni chaude. Mais c’est la façon dont la température évolue sur un objet qui est chaud à gauche et froid à droite.
Au revoir.

[Resartus]

LPFR : Ce n'est pas le même problème.
Dans le cas extrême où la température imposée à l'extrémité passe instantanément* de 0 à 400°C à t=0, on peut résoudre les équations soit par la transformée de laplace, soit par résolution directe, et on peut démontrer que la température en chaque point du tuyau atteint l'équilibre par en dessous. Voir ceci par exemple paragraphe 4 :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/s...i/41transi.htm

Pour qu'il y ait oscillation de température en réponse à un échelon (comme il peut y en avoir en électricité par exemple), il faudrait qu'il y ait dans l'équation des dérivées au second ordre % au temps (équivalent d'une inductance), ce qui n'existe pas en thermique


* si la montée est plus lente, c'est encore mieux, bien sûr.

[Resartus]

Par contre, dans un problème proche, si un fluide chaud peut circuler dans le tuyau, les équations seront différentes, et là il y aura possibilité d'oscillations

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
@Resartus.
Merci d’avoir corrigé.
Et, effectivement, l’exemple est bien différent.
A+

[susanne31]

Bonjour,

Merci beaucoup pour ces réponses, le document que vous proposez Resartus correspond en effet à mon problème, et l'évolution temporelle correspond à ce que j'imaginais.

Vous dites qu'un fluide circulant dans le tuyau pourrait donner lieu à des oscillations, je suppose que vous considérez un fluide circulant de façon forcée ? Je veux dire un fluide qui serait chaud à l'entrée dans le tuyau et perdrait sa chaleur en se déplaçant le long du tuyau en cédant celle-ci à la paroi, et qui contribuerait à changer non seulement l'évolution temporelle mais aussi la solution à l'équilibre (équilibre entre température aux deux extrémités/température fluide intérieur/température fluide extérieur). J'ai déjà mené ce calcul dans une situation similaire, et trouvé une solution à l'équilibre de la forme T=T1*exp(-x/d)+T2.

En revanche, dans mon cas, si j'ai bien un fluide dans mon tuyau, celui-ci n'est pas en mouvement forcé (vannes fermées en amont et en aval du tuyau), il est quasi immobile, à quelques mouvements de convection naturelle près (le tuyau étant horizontal, la convection n'entrainera pas un grand mouvement de fluide dans le sens longitudinal). Pour moi la présence de ce fluide ne remet pas en question l'équation de la chaleur 1D qui caractérise le système et l'essentiel des transferts thermiques se fait par conduction dans l'épaisseur du tuyau lui même. D'autant que ce fluide n'a que peu d'énergie à céder (Cp faible par rapport au Cp de l'acier de mon tuyau).

[Resartus]

C'était juste pour être complet que je citais ce cas, qu'on peut retrouver avec certains fluides compressibles, où une "onde de chaleur" peut arriver à se propager et se réfléchir à l'extrémité froide avant d'être amortie

Tant que les solutions de l'équation temporelle restent réelles (c'est à dire si le terme en dérivée seconde reste faible) il ne devrait pas y avoir de problèmes.