Automatique - Modifier la marge de phase

[Emiya]

Bonjour,
J'ai un problème en automatique :
A partir de la fonction de transfert : 0.05/((3p^2+2p+1)((1/200)p+1)) je dois déterminer le gain de correction K à partir duquel la marge de phase sera de 60°.

Ce que j'ai fait :
1. Sachant que l'on souhaite obtenir une marge de phase de 60°, on cherche la pulsation w0 pour laquelle l'argument est de -120.
J'ai développé le dénominateur de façon à pouvoir exprimer l'argument plus facilement, je passe certaines étapes et on obtient 1/2* (-3w^3+401w)/(-301w^2+100), ainsi on obtient au final le polynôme suivant -3/2w^3+401/2w+sqrt(3)*301w^2-sqrt(3)*100=0.
J'ai utilisé Maple pour le résoudre on trouve trois racines w1=-0.79870 ; w2=0.41550 ; w3 = 347.95 Pour chacune de ces racines il y avait une partie imaginaire infime à coté j'ai pas très bien compris pourquoi.

2. A coté j'avais calculer l'expression du gain K, K=(1/0.05)*sqrt((1-3w^2)^2+(2w^2))*sqrt(1+((1/200)w)^2)).
Du coup j'ai tâtonner, calculer le modules des pulsation obtenue en partie 1 et si l'on considère w = 0.79870 et qu'on l'injecte dans la formule de K on trouve un résultat cohérent. Cela nous donne un gain de 36,8 si je me souviens bien. Je vous met le diagramme de Black-Nichols en pièce jointe pour que vous puissiez en juger.

Du coup j'ai un résultat qui me semble cohérent graphiquement mais je ne comprend pas, j'ai pris une des trois racines au hasard, puisqu'elles étaient toutes complexes j'ai calculé le module (ça aussi je l'ai fait au hasard).
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer s'il vous plait j'ai passé tout l'après midi sur cette question.

Merci d'avance.
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[stefjm]

Bonjour,
C'est inutile (néfaste, voir très bête) de développer une fonction de transfert qu'on connait sous forme factorisée.
Arg(A/(B.C) = Arg(A)-Arg(B)-Arg(C) avec Arg, l'argument du nombre complexe.

Quel intérêt de calculer les racines??

[Emiya]

Bonjour et merci pour votre réponse,

L'idée c'était de trouver la pulsation pour laquelle, on a un argument de -120° puisque je veux une marge de phase 60°. J'ai développé le dénominateur de façon à avoir un seul Arctan en argument. Comme j'avais pour fonction de transfert H=0.05/((3p^2+2p+1)((1/200)p+1)), j'aurais trouvé Arg(H) = -Arctan(2w/1-3w^2)-Arctan(w/200)=-120 comme argument, j'aurais pu isoler w grâce aux formules sur les arctan mais j'ai préféré développer le dénominateur avant pour directement écrire -Arctan(1/2* (-3w^3+401w)/(-301w^2+100))=-120°. Enfin si je n'ai pas fait n'importe quoi ...

[stefjm]

Attention, arctan ne donne pas l'argument!
Il faut faire attention au 2kpi arbitraire qu'on ne peut choisir qu'une fois.
L'argument est une fonction continue.

[A voir en vidéo sur Futura]