Vecteur du produit scalaire en travail

[Chmiman]

Bonsoir, j'ai un exo sur le travail d'une force en physique . En math le produit scalaire peut se faire avec le projeté orthogonal d'un point sur un vecteur ou sur la droite qui porte le vecteur , mais en physique , avec des forces et des déplacements , je suis tombé sur un vecteur AH, avec H projeté orthogonal sur AB mais il est de sens opposé donc il tombe pas exactement sur le vecteur mais sur la droite qui porte le vecteur . Ce vecteur AH, en physique , il ne correspond à rien , je veux dire il existe pas car je l'ai créé par projection et c'est une création mathématique , il représente aucune force car j'ai dû tracer la droite qui portait le vecteur , alors comment expliquer le projeté orthogonal pour le travaille d'une force ?
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[Dynamix]

il représente aucune force

Il représente la composante de la force colinéaire au déplacement .
La composante qui travaille .

[Chmiman]

Ah et l'autre composante c'est la composante verticale alors ?

[Dynamix]

C' est la composante normale au déplacement .
Pas forcément verticale .
Elle ne s' oppose pas au mouvement .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Chmiman]

Elle ne s'oppose pas au mouvement mais elle ne travaille pas , c'est bien ça ?

[Dynamix]

Elle ne "pousse" pas dans le sens du mouvement , et elle ne "tire" pas non plus .

[Chanur]

Elle ne s'oppose pas au mouvement mais elle ne travaille pas , c'est bien ça ?

Oui, c'est bien ça. Par exemple, elle changera la direction de la vitesse d'une particule libre, mais pas la norme de sa vitesse (et donc pas l'énergie cinétique).

[Chmiman]

Pourquoi la vitesse ne change t-elle pas ?

[Chanur]

Justement parce que la force (je parle uniquement de la composante orthogonale à la vitesse) ne travaille pas.
C'est à dire qu'elle ne transmet pas d'énergie.
Donc l'énergie cinétique (1/2 m v²) de la particule ne change pas.
Donc la norme de sa vitesse ne change pas.

[Chmiman]

Avec un exemple , ça donnerait que si je déplace un objet sur une table et que il y a une ficelle sur l'objet , si je tire sur la ficelle ( composante normale au déplacement ) , l'objet conservera sa vitesse ? Je me dis que cela reste une force , donc une contrainte !

[Chanur]

La norme de la vitesse ne change pas. Sa direction change : ton objet sera dévié par une force normale au déplacement, sans être freiné ni accéléré (dans le sens courant du verbe accélérer : en mécanique, un changement de direction est une accélération)

[Chmiman]

Vous dites qu'un changement de direction est une accélération , et vous dites que l'objet sers dévié mais pas accéléré , je comprends pas !

De plus , quels sont les démonstrations a faire pour arriver à de tels résultats , comment montrer rigoureusement que cette force ne change pas la vitesse ?

[mach3]

Vous dites qu'un changement de direction est une accélération , et vous dites que l'objet sers dévié mais pas accéléré , je comprends pas !

c'est tout le problème de la collision entre vocabulaire courant imprécis et vocabulaire scientifique précis.

Dans le langage courant, on parle d' "accélération" si la vitesse augmente en norme et de "freinage" si elle diminue en norme. On parle de virage ou de rotation quand le déplacement change de direction.

Dans le langage scientifique, tout ça c'est de l'accélération, à savoir une variation du vecteur vitesse au cours du temps. L' "accélération" (dans le sens courant imprécis), c'est un vecteur vitesse qui grandit en gardant sa direction : le vecteur accélération est dans la même direction et le même sens que le vecteur vitesse. Le "freinage" (sens courant imprécis), c'est un vecteur vitesse qui diminue en gardant sa direction : le vecteur accélération est la même direction que le vecteur vitesse, mais en sens contraire. Le virage ou la rotation, c'est un vecteur vitesse qui change de direction, et en cas particulier, un vecteur vitesse qui change de direction sans changer de norme (on parle de rotation uniforme), dans ce cas particulier, le vecteur accélération est orthogonal au vecteur vitesse.

Un vecteur accélération quelconque peut être décomposé en une partie colinéaire au vecteur vitesse et une partie orthogonale au vecteur vitesse. La première agit sur la norme de la vitesse sans modifier la direction, la deuxième agit sur la direction de la vitesse sans modifier la norme. Seule la première contribue à la variation de l'énergie cinétique, qui dépend de la vitesse au carré, donc de sa norme mais pas de sa direction. Si la vitesse change de direction sans changer de norme, l'énergie cinétique ne change pas.

Donc, une force orthogonale à un mouvement va modifier le mouvement, c'est-à-dire faire changer de direction le vecteur vitesse, sans changer la norme de la vitesse et donc l'énergie cinétique.
Une force colinéaire à un mouvement va augmenter ou diminuer la norme de la vitesse et donc son énergie cinétique : elle "travaille"
Une force quelconque peut toujours se décomposer en un composante colinéaire qui travaille et une composante orthogonale qui ne travaille pas.

m@ch3

[Dynamix]

Vous dites qu'un changement de direction est une accélération , et vous dites que l'objet sers dévié mais pas accéléré , je comprends pas !

Quand on dit qu' un objet n' est pas accéléré , au sens commun , ça veux dire que la norme de sa vitesse ne change pas .
Pour prendre un virage , tu n' as pas besoin d' enfoncer la pédale d' accélérateur . Seulement de tourner le volant .
Et pourtant tu prends des g dans le virage .

De plus , quels sont les démonstrations a faire pour arriver à de tels résultats , comment montrer rigoureusement que cette force ne change pas la vitesse ?

C' est un principe qui découle de la dérivation d' un vecteur .
V' se décompose en une composante V't (t comme tangentielle) suivant V et une composante V'n normale à V
On montre que :
V't est lié au variations de la norme de V
V'n est lié aux variations de l' orientation de V
Ce principe explique également la précession gyroscopique .

[mach3]

De plus , quels sont les démonstrations a faire pour arriver à de tels résultats , comment montrer rigoureusement que cette force ne change pas la vitesse ?

Alors, considérons un vecteur vitesse qui ne change pas de norme, cela peut s'écrire :


Prenons la dérivée par rapport au temps, avec le vecteur accélération :





: le vecteur accélération et le vecteur vitesse sont orthogonaux, le raisonnement pouvant se faire dans le sens inverse (réciproque)

Le vecteur accélération est orthogonal au vecteur vitesse si et seulement si le carré scalaire du vecteur vitesse (donc sa norme) est constant.

m@ch3

[Chmiman]

Le vecteur accélération est orthogonal au vecteur vitesse dans le cas où je prend la composante orthogonal c'est ça ? ( je reprends vos propos )

Merci de vos démonstrations , mais est ce que la démonstration ne se trouverait t'elle pas aussi dans la définition en elle même du produit scalaire , objet mathématique qui dit que deux vecteurs orthogonaux ont un angle pi/2 donc un Cos =0 ? Et après si on veux pousser l'explication , que le produit scalaire a été construit pour les forces , donc il s'applique nécessairement au travail , c'est bon ce que je dis ?

[mach3]

Le vecteur accélération est orthogonal au vecteur vitesse dans le cas où je prend la composante orthogonal c'est ça ? ( je reprends vos propos )

si je prends le vecteur accélération et que je le décompose en deux vecteurs, l'un, , tangent et l'autre, , orthogonal au vecteur vitesse , alors on a


car (ils sont orthogonaux)
On peut remplacer le vecteur accélération par un vecteur force (on multiplie par m), la conclusion est la même : seule la composante colinéaire participe au travail.

Merci de vos démonstrations , mais est ce que la démonstration ne se trouverait t'elle pas aussi dans la définition en elle même du produit scalaire , objet mathématique qui dit que deux vecteurs orthogonaux ont un angle pi/2 donc un Cos =0 ? Et après si on veux pousser l'explication , que le produit scalaire a été construit pour les forces , donc il s'applique nécessairement au travail , c'est bon ce que je dis ?

C'est plutôt dans l'autre sens que cela fonctionne. L'espace des positions (notre "Espace") est modélisé par un espace euclidien, c'est à dire un espace vectoriel muni d'une "machine" qui sert entre autres choses à définir et calculer des distances et des angles. Cette machine possède plusieurs noms, comme "tenseur métrique", "forme bilinéaire symétrique définie positive", mais vous la connaissez sous le nom de "produit scalaire". C'est une machine qui crache un nombre (un scalaire) si on lui donne deux vecteurs à manger (en particulier, si on lui donne deux fois le même vecteur à manger, elle recrache la longueur du vecteur au carré, cela permet donc de définir les longueurs). Quand on nourrit cette machine avec certains couples de vecteurs (dont aucun des deux n'est le vecteur nul), elle recrache 0, et on dit que ces deux vecteurs sont "orthogonaux". A noter qu'on a ici pas encore défini ce qu'est un angle ni un cosinus, cela vient bien après, quand on a défini les opérations de rotation (et c'est plutôt coton).

Pourquoi notre espace est si bien modélisé par un espace euclidien? on ne le sait pas. Il se trouve que parmi toutes les structures mathématiques que l'on peut inventer (et il y en a des tas), c'est cette structure là qui marche bien (et encore on sait depuis environ un siècle qu'elle ne marche que localement, mais c'est une tout autre histoire) : sans elle on ne pourrait pas mesurer des longueurs et des angles (notions inexistantes dans un simple espace vectoriel) et la physique classique est donc basée sur cette fondation mathématique.
Les vecteurs qui dérivent des vecteurs positions (vitesse, accélération et même force), héritent de ces propriétés.

m@ch3

[Chmiman]

Ce qui est pour moi inconcevable ou presque , c'est de me dire que des humains arrivent à dire que dans un espace donné cela se passe comme ça et pas autrement tout le temps , ils sont sûrs que quelque soit l'orientation de la force et l'intensité , en gros tous les paramètres fonctionnent avec leur modèle ! C'est incroyable que l'on puisse dire que ça marche tout le temps tant que nos observations vont dans le sens de notre réflexion ! Cela doit être asse compliqué d'établir le principe que cela marche à chaque fois dans nimportequelle condition valable !