Pressions statique et dynamique

[Nekama]

Bonjour à tous,

J'arrive à des résultats a priori paradoxaux et je me pose des questions quand à leur pertinence...
J'aimerais avoir des avis.

Je considère une citerne remplie d'eau avec un bouchon de section S au pied.

Si je calcule la pression sur ce bouchon et la force sur ce bouchon, j'ai :

P_i = rho.g.h
F_s = P_i . S (1)
( L'incide s est pour statique. )

Si je dévisse le bouchon et que l'eau se met à jaillir, j'aimerais calculer la force sur le bouchon.
On considère que la section de la citerne est >> par rapport à la section du bouchon.

Par Bernouilli, on obtient immédiatement la relation :

P_d = P_i
( L'indice d est pour pression dynamique. )

v_s² = 2.P_i/rho (2)
( L'indice s pour sortie )

Si on calcule la force via l'apport de qtt de mouvement des particules d'eau éjectées de la citerne sur le bouchon (une fois en régime établi) :

F_m = dp/dt = (m.v_s)' = (rho.V.v_s)' = rho.(S.x').v_s = rho.S.v_s² (3)

Si remplace (3) dans (2), on obtient : F_m = 2.P_i.S ( 4 )

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Si on compare (1) et (4) : la force sur le bouchon a doublé du simple fait de son ouverture ?

La force sur le bouchon ne répond pas à F = P_d . S ?

Le raisonnement pour arriver à (3) est faux ?

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Si on calcule la conservation de l'énergie, on a :

Energie dans un volume du jet d'eau : 1/2.m.v_s² = 1/2.rho.(S.x).v_s²

Puissance fournie au bouchon : Power = E' = = 1/2.rho.(S.x)'.v_s² = 1/2.rho.S.v_s³ (5)

Puissance déduite de la formule (3) : Power = F_m.v_s = rho.S.v_s³

Ce n'est pas possible.

Si le raisonnement qui mène à (3) et faux, c'est par hasard qu'il est correct pour (5), vu que c'est le même. Mais où se trouve l'erreur ?
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[soliris]

Si remplace (3) dans (2), on obtient : F_m = 2.P_i.S ( 4 )

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Si on compare (1) et (4) : la force sur le bouchon a doublé du simple fait de son ouverture ?

La force sur le bouchon ne répond pas à F = P_d . S ?

Le raisonnement pour arriver à (3) est faux ?

-. Mais où se trouve l'erreur ?

Oui, j'aimerais moi aussi connaître la réponse à cette question.

[Nekama]

Histoire d'épaissir le brouillard...

La citerne est remplie d'eau jusqu'à une hauteur h.

L'énergie potentielle stockée dans la citerne est donc : E = m.g.h = (rho.S.h).g.h = rho.S.g.h².

En se vidant, la citerne fournit une puissance E' = 2.rho.S.g.h.v = 2.rho.g.h.Q (6)

Par conservation de l'énergie, la puissance dégagée par le jet d'eau a la même valeur.

On peut donc calculer F_m de cette manière :

F_m = E'/v = E'/(Q.S) (7)

Et si on remplace (6) dans (7), on obtient F = 2.rho.g.h.S = 2.P_i.S çad la formule (3) du 1er post.

Cette fois-ci, la conservation de l'énergie tend à valider la formule (3).

[gts2]

Bonjour,

Pour (3), le calcul effectué suppose que le jet sorte à 90° du jet incident. Avec un jet et un bouchon de même section, cela parait difficile.

Pour (7), le calcul effectué suppose que toute l'énergie cinétique du jet soit transformée en travail sur le bouchon, autrement dit que la vitesse de l'eau après interaction avec le bouchon soit nul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nekama]

Merci pour la réponse !

Bonjour,
Pour (3), le calcul effectué suppose que le jet sorte à 90° du jet incident. Avec un jet et un bouchon de même section, cela parait difficile.

Je ne comprends pas ce que tu veux dire... Le bouchon comme le jet partent horizontalement. C'est au plus simple.
On peut imaginer une citerne avec un tuyau au sol. Le problème est également équivalent à calculer la force de recul d'une lance de pompier.

Pour (7), le calcul effectué suppose que toute l'énergie cinétique du jet soit transformée en travail sur le bouchon, autrement dit que la vitesse de l'eau après interaction avec le bouchon soit nul.

C'est exact. Mais en fait on considère l'eau et le bouchon comme un tout. Le bouchon a une masse nulle. L'énergie cinétique "est" dans l'eau.
Elle sera transférée quand le jet (et le bouchon) arriveront sur un mur de masse beaucoup plus grande.

[gts2]

Le problème est également équivalent à calculer la force de recul d'une lance de pompier.

Mais là l'eau n'est pas empêché de circuler.

Mais en fait on considère l'eau et le bouchon comme un tout. Le bouchon a une masse nulle.

Dans ce cas, c'est simple, la force sur le bouchon est nulle : F=ma donne F=0.

[Nekama]

Plutôt que rétroactivement avoir une cause nulle, c'est plutôt l'accélération qui est infinie...
On peut formuler le même problème autrement.

Si on a un jet d'eau de section S et de vitesse v qui va percuter un mur, quelle force F_M exerce-t-il sur ce mur ?
( On considère que les molécules d'eau stoppent net. )

F_M = dp/dt = (mv)' = (rho.V.v)' = (rho.S.x.v)' = rho.S.v^2

Or, P_d = 1/2.rho.v^2 et donc F_M = 2.P_d.S

La force exercée sur le mur vaut le double de celle qui serait exercée par la pression dynamique ?

Est-ce correct ? Sinon, où est l'erreur ?

De plus :

E = 1/2 m.v^2

E' = 1/2 rho.S.v^3

P = F.v

-> F_M = 1/2 rho.S.v^2

Quel est le faux raisonnement et pourquoi ?

[gts2]

Bonjour,

Réponse bizarrement arrivé dans une discussion sur l'eau régale :

"Plutôt que rétroactivement avoir une cause nulle, c'est plutôt l'accélération qui est infinie...
On peut formuler le même problème autrement.
Si on a un jet d'eau de section S et de vitesse v qui va percuter un mur, quelle force FM exerce-t-il sur ce mur ?
(On considère que les molécules d'eau stoppent net.)
FM = dp/dt = (mv)' = (rho.V.v)' = (rho.S.x.v)' = rho.S.v^2
Or, Pd = 1/2.rho.v^2 et donc FM = 2.Pd.S
La force exercée sur le mur vaut le double de celle qui serait exercée par la pression dynamique ?
Est-ce correct ? Sinon, où est l'erreur ?"

"On considère que les molécules d'eau stoppent net."
Et la conservation du débit ?

"FM = dp/dt = (mv)'"
cela marche avec un mur, parce que dp/dt = (rho.V.v)' (entrant) - (rho.V.v)' (sortant) et que le jet sort parallèle à la plaque de manière symétrique ce qui fait que (rho.V.v)' (sortant)=0

Donc avec un mur cela est correct.

Le problème du bouchon ressemble à une plaque plane exposée au vent pour laquelle le coefficient de trainée vaut quasiment 1, ce qui revient à dire que la force vaut Pd S

[Nekama]

Donc avec un mur cela est correct.
Le problème du bouchon ressemble à une plaque plane exposée au vent pour laquelle le coefficient de trainée vaut quasiment 1, ce qui revient à dire que la force vaut Pd S

Je vois plutôt mon bouchon ainsi, surtout aux premières secondes.
Ce qui donnerait une force supérieure même un peu supérieure à 2 * P_d.S
Mais effectivement, il ne risque pas de rester ainsi longtemps, il va tourner et tomber, et l'eau va le dépasser...

Si on revient à la question initiale, cela voudrait dire que la bonne formule est la formule (3) [ établie dans l'hypothèse où l'eau ne poursuit pas son chemin ].
Mais où l'erreur dans la formule (5) qui prend les mêmes hypothèses mais résonne sur l'énergie ?

[gts2]

Disons que le jet part à 90° comme la plaque et que F= 2 * Pd.S

Dans ce cas, l'énergie cinétique entrante est égale à celle sortante et la puissance de la force est nulle, donc on a bien conservation de l'énergie.
Ce qui est cohérent avec la puissance déduite de la formule (3) : Power = Fm.v(bouchon) = Fm.0=0

[Nekama]

Disons que le jet part à 90° comme la plaque et que F= 2 * Pd.S

Dans ce cas, l'énergie cinétique entrante est égale à celle sortante et la puissance de la force est nulle, donc on a bien conservation de l'énergie.
Ce qui est cohérent avec la puissance déduite de la formule (3) : Power = Fm.v(bouchon) = Fm.0=0

Le bouchon part en avant... Il n'a pas vraiment une énergie et une vitesse nulle...
Par contre, il faudrait être plus rigoureux sur le calcul car sa vitesse varie. Le hic doit être là, ok.

[gts2]

"Le bouchon part en avant... Il n'a pas vraiment une énergie et une vitesse nulle."

Dans ce cas, dans le référentiel du bouchon, le bilan de quantité de mouvement de l'eau du jet fait intervenir (vs-vb) avec vb vitesse du bouchon.
Et dans le référentiel de la citerne, la puissance est F.vb
Et comme vous dites, il faut tenir compte en plus du fait que vb varie.

[Nekama]

J'ai refait les calculs précisément pour le bouchon en lui donnant une masse et en prenant en compte que le transfert de qtt de mouvement va diminuer au fur et à mesure qu'il prend de la vitesse.

On arrive à :

v = vo (1 - e^-kt) avec k = m/rho.v_oS

qu'on peut remplacer dans l'expression de la force : F = rho.v_o.S ( v_o - v)

Et on obtient : F = rho.v_o².S . e^-kt

dont on déduit : F(0⁺) = rho.v_o².S

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Mais du coup, j'en reviens à mon premier post.

J'ai écrit F(0⁺) car F(0_-) = P_i * S vaut la moitié...

En effet, par Bernoulli/Torricelli, on a en effet : 1/2.rho.v_o^2 = \rho.g.h = P_i.

Par quel(s) mécanismes cette force double-t-elle ?

J'anticipe une réponse possible : il y a maintenant, en plus du cas statique, les particules en mouvement ! Sauf que justement, via la variation de quantité de mouvement, c'est ça qu'on a calculé justement : la force due aux particules en mouvement. Et une autre question surgit de ce raisonnement. Maintenant qu'on retiré le bouchon, que vaut la pression statique ? Dans la démonstration de Bernoulli, on la considère égale à P_atm alors que juste avant, elle valait P_atm + rho.g.h. Par quel(s) mécanisme(s) chute-t-elle brusquement ?

[gts2]

Par quel(s) mécanismes cette force double-t-elle ?
J'anticipe une réponse possible : il y a maintenant, en plus du cas statique, les particules en mouvement !

C'est un peu cela, le fluide s'étale et donc la pression s'exerce sur une surface plus grande.
Dans le cas de la plaque, cela donne au niveau principe :



En noir le jet en dessous en vert la pression. Au centre, point d'arrêt la pression est maxi et vaut 1/2 rho v^2 soit la pression statique initiale, ensuite quand on s'écarte du centre la pression diminue mais s'exerce sur une surface plus grande que la section du jet, on peut imaginer qu'au total cela fasse *2. Cela ne marche bien sûr pas avec le bouchon (en rouge), pour lequel j'ai du mal à imaginer que le jet d'eau puisse avoir cette allure.

[Nekama]

Je vois mais je ne peux pas être d'accord.

Dans le calcul que l'on fait, on peut considérer que le diamètre du jet est celui du bouchon.
La surface sur laquelle la pression s'applique est de toute manière limitée à la surface du bouchon.
Et également, les "éclaboussures" sont pendiculaires. La pression et la force qu'elles exercent sur le bouchon est donc nulle (et la force résultante également).

La pression au point d'arrêt ne peut pas valoir Pd. Elle vaut le double et ce sur toute la section droite du bouchon.
Tout se passe en fait comme si le bouchon subissait Pi + Pd mais ce n'est pas le cas car Pi = la pression atmosphérique (du moins selon Bernoulli).

[gts2]

Pas tout à fait le même problème puisqu'à l'ouverture le bouchon se dilate, mais sur :

Champagne

on voit que le jet passe en partie à côté (et emporte avec lui la quantité de mouvement).

[Nekama]

S'il passe à côté et emporte avec lui de la quantité de mouvement, cela augmente encore le problème puisque la pression statique est inférieure à la pression sur le bouchon.

Voici 3 liens où le calcul est réalisé.

Jet sur une plaque plane

Jet d'eau sur une plaque

jet striking a stationary plate

La force sur une plaque ou sur un bouchon (au début du mouvement qd v ~ 0) est bien F = rho.v^2.S. Ca n'a pas plus à être remis en cause.

Le problème n'est pas de savoir pourquoi cette force pourrait être un peu plus petite en pratique. On trouve cette expression partout.

Le problème est de comprendre pourquoi la force vaut le double la force initiale et le double de la force exercée par la pression dynamique sur la surface si on applique F = P_D.S

[gts2]

S'il passe à côté et emporte avec lui de la quantité de mouvement, cela augmente encore le problème puisque la pression statique est inférieure à la pression sur le bouchon.

Cela diminue la force puisque le bouchon ne récupère qu'une partie de la quantité de mouvement.

Voici 3 liens où le calcul est réalisé.

Trois liens avec une plaque de surface plus grande que la section du jet.

La force sur une plaque ou sur un bouchon (au début du mouvement qd v ~ 0) est bien F = rho.v^2.S. Ca n'a pas plus à être remis en cause.

Donc on en reste là.

On trouve cette expression partout.

Pour une plaque.

Le problème est de comprendre pourquoi la force vaut le double la force initiale et le double de la force exercée par la pression dynamique sur la surface si on applique F = P_D.S

J'ai donné mon explication.

[Nekama]

Ok. Tu as donné des avis mais ils ne me conviennent pas
car j'estime que tu ne réponds pas à la question et que tu esquives le problème.

-> Restes-en là et laissons d'autres personnes répondre.

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Que ce soit sur un bouchon ou sur une plaque, la force quand la plaque est contre la citerne vaut :

F = P_i.S = rho.g.h

Quand la plaque ou le bouchon part, la formule de Bernoulli-Torricelli donne :

P_d = 1/2.rho.v^2 = rho.g.h

Les calculs montrent que la force initiale appliquée sur ce bouchon ou cette plaque vaut : F = rho.v^2.S soit le double : 2.Pi.S ou 2.Pd.S

La question est : d'où vient ce facteur 2 ?