Problème de raisonnement

[TheaGracias]

Bonjour à tous.
Voici un exercice dont je m'interroge sur le bon raisonnement à choisir.
<<Deux coureurs parcourent une piste circulaire, chacun d'eux ayant une vitesse constante. Partis simultanément de deux points A et B diamétralement opposés , et se déplaçant en sens contraire , ils se croisent une première fois en M à 40m de B, puis une deuxième fois en P à 20m de A. Sachant qu'il s'écoule 20 secondes entre les deux croisements ,on demande :
1) la longueur de la piste circulaire.
2) la vitesse de chaque coureur en m/s.
3) les durée des deux croisements.>>
Ma question est de savoir le point P doit-il être place avant ou après le point A? Car chaque emplacement donne un résultat différent.
Entre ces deux situations qu'est ce qui est logique en physique?
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[XK150]

Salut ,

Le coureur 2 part de B , passe par M et A avant d'arriver en P .
Le coureur 1 part de A , passe par M et B avant d'arriver en P .
premier croisement en M , deuxième croisement en P .

[TheaGracias]

Est-il possible que le coureur 2 de B passe en M sans atteindre A
et le coureur 1 de A passe en M ,B et A de nouveau avant d'atteindre P ?

[TheaGracias]

Bonsoir est il possible de répondre à la première question sans trouver la vitesse ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Bonsoir,
J'essaie de voir à quoi correspond ce problème.
Si j'appelle p le demi-périmètre, égal à la distance des coureurs au temps 0, j'arrive au fait que la somme des vitesses est égale p/t1, t1 étant le temps de la première rencontre.
A la seconde rencontre, les deux coureurs ont parcouru ensemble 3p, donc t2, le temps de la seconde rencontre est égal à 3t1,
Avec la différence de 20 secondes, nous avons t1 et t2 et nous avons aussi le rapport entre p et la somme des vitesses.
La question 3 a donc une réponse sure.
Les distances indiquées sont plus difficiles à utiliser, car pour t1, le croisement se produit entre A et B, chaque coureur ayant parcouru moins de p.
Donc t1*v2 = 40 = p - t1*v1 , le second point de croisement dépend du rapport des vitesse. Si v1 est grand devant v2, il peut se trouver du même coté que M et nous avons alors
p - t2*v2 = 20.
Si le coureur B a le temps de passer A avant le second croisement alors t2*v2 = p +20
Enfin si ce coureur a le temps de faire un tour complet avant la seconde rencontre alors t2*v2 = 3*p -20
Je pense que ces 3 possibilités vont donne les périmètres et des couples de vitesses différentes?

[XK150]

Re ,

Sous réserve : oui , il y a 2 solutions ; Trouver L sans les vitesses n'est ( peut être ) pas le plus simple ( ou même impossible ? ) .

Début de méthode de résolution :

Soit p , un demi tour de piste ,
Première étape : les 2 coureurs parcourent ensemble p ( chacun ayant parcouru son secteur , ils sont en M ) dans le temps t1 .
Deuxième étape : les 2 coureurs parcourent ensemble un tour complet , 2 p ( chacun ayant parcouru son secteur de M à P ) dans le temps t2 .
t2 = 20 s pour 2p ( un tour )
les vitesses sont constantes , pour p , il faut t1 = t2/ 2 = 10 s
Le coureur B a parcouru 40 m en 10 s , sa vitesse est 4 m/s .

[phys4]

Pour qu'un habitué ne trouve que 2 solutions, c'est que le problème est vraiment plus difficile qu'il n'apparait à première vue.

Voici donc les 3 valeurs qui correspondent aux 3 solutions que j'ai indiqué.
Par ordre de valeur de v1 :
p = 140/3, M et P sont du même coté de AB
p = 100, M et P sont sur les demi-cercles opposés
p = 140, M et P sont à nouveau sur le même demi-cercle mais dans l'ordre inverse.

Seule la valeur de v1 varie entre les solutions, v2 vaut toujours 4m/s du fait que la première rencontre se produit toujours sur le demi-cercle de départ et que MB = 40 après 10s.
Je n'oserais affirmé qu'il n'y a pas de 4ème solution ? Avis aux amateurs.

[soliris]

Il n'y a pas de réponse à ce questions, selon moi. Le cercle peut faire à peu près la taille du tour de l'Univers, que ça fonctionnerait comme si ce tour faisait 6 mètres. Et la vitesse pourrait varier tout autant.
Il manque une donnée: la longueur entre M et P, par exemple.

Une vitesse est une donnée d'espace sur une donnée de temps.

[TheaGracias]

Merci à tous.
Pensez vous vraiment qu'il y a une infinité de solution? Je pense que seulement deux couples de solutions sont possibles .
Première solution M et P du même côté de l'arc AB
Deuxième solution M dans le premier demi cercle et P dans le deuxième demi cercle .
Pour moi le troisième cas est impossible vu que l'énoncé parle de premier croisement.

[Liet Kynes]

Il n'y a pas de réponse à ce questions, selon moi. Le cercle peut faire à peu près la taille du tour de l'Univers, que ça fonctionnerait comme si ce tour faisait 6 mètres. Et la vitesse pourrait varier tout autant.
Il manque une donnée: la longueur entre M et P, par exemple.

Une vitesse est une donnée d'espace sur une donnée de temps.

Les données sont pourtant présentes à priori: "une première fois en M à 40m de B, puis une deuxième fois en P à 20m de A. Sachant qu'il s'écoule 20 secondes entre les deux croisements" Il s'agit d'un cercle.. le temps entre les deux croisements permet de déduire la taille du cercle. le seul paramètre qui rend la solution multiple est la vitesse constante qui n'est pas indiquée dans l'énoncé... vitesse radiale est un bon indice de résolution

[TheaGracias]

Voici des triplet ( V1,V2,L) respectivement vitesse coureurs 1, vitesse coureur 2, perimetre qui vérifie l'exercice selon mes calculs (4,6,200) et (4,10,
280)

[TheaGracias]

Ces triplet vérifie l'exercice selon moi.

[XK150]

Suite de mon post 6 ... :

Au bout des 2 étapes , les coureurs sont en P , ils ont parcouru ensemble ( somme de leur parcours ) , 1.5 tour , c'est à dire 3 p .
A ce moment , il faut envisager 2 solutions selon que P , situé à 20 m de A , est situé d'un coté de A ou bien de l'autre coté de A ... ( à suivre ) .

[XK150]

Oui , j'ai aussi 4 et 6 m/s , 200 m comme première solution .

[TheaGracias]

N'existerait-il pas même une infinité de solution à ce exercice? J'ai plutôt l'impression quelque soit les vitesses si P et M sont dans les demi cercles opposés 3t1= t2. Dans ce cas même plusieurs cas de figure me semble convenir.

[Liet Kynes]

Une montre comporte deux aiguilles qui tournent en sens inverse..: en x tours décalage=? en x+n tours décalage ?

[TheaGracias]

Comment est ce possible ces tours de passe passe pourtant quand on pose les équations dans un cas de figure la résolution donné bien une solution. Mais ce même système est vérifie par d'autre solutions. Bizarre non? Peut être que je me trompe .

[phys4]

Voici des triplet ( V1,V2,L) respectivement vitesse coureurs 1, vitesse coureur 2, perimetre qui vérifie l'exercice selon mes calculs (4,6,200) et (4,10,
280)

Ces triplets sont exacts, il vous manque le premier qui vaut (4,2/3, 280/3)
Lorsque les équations sont posées, il n'existe qu'une seule solution. La mise en équation n'est pas unique, et les 3 solutions proviennent de 3 interprétations qui aboutissent à des mise en équation différentes.

[Rachilou]

Tout d'abord : établissons un cadrant horaire ( divisé de 0 à 60° ) dans le sens de l'aiguille d'une montre.

Départ en A, C1 à 0°
Départ en B, C2 à 30°
Déplacement dans le sens de l'aiguille d 'une montre par exemple pour C2 et inverse pou C1.

Si C1 et C2 se déplaçaient à la même vitesse, alors il se croiseraient toujours tous les deux à mi parcours : au point 45° et au point 15° à chaque tour; donc toujours à 40m de A et de B.

On en déduit qu'ils évoluent tous deux à des vitesses différentes à 40m de B et 20m de A.

Donc 4 solutions possibles selon 2 configurations au premier abord :
config 1) M et P du même côté (donc entre 30° et 60°)
1.1) Avec C1 se déplaçant plus vite que C2
1.2) Avec C2 se déplaçant plus vite que C1

config 2) M et P sur un côté opposé ( donc entre 30°et 60° pour M et entre 60° et 30° pour P)
2.1) Avec C1 se déplaçant plus vite que C2
2.2) Avec C2 se déplaçant plus vite que C1

Il est impossible que M et P se retrouve tous deux de l' autre côté ( entre 60° et 30°), sauf si C1 court dans le même sens que C2.

Il faut essayer d'éliminer 3 solutions par raisonnement logique.


Par exemple en ce qui concerne 1.2 : Avec C2 se déplaçant plus vite que C1 selon config 1.

C1 n'aurait pu parcourir que 10m au premier croisement,
si C1 n'avait parcouru que 20m au deuxième croisement.
C2 n'a pu parcourir que 80m au deuxième croisement,
si C2 parcourt 40m au premier croisement.
Ça voudrait dire que dans 1er demi tour (entre 30° à 60°) C2 croise C1 à 10m de A, donc on aurait 4/5 de déplacement pour C2 et 1/5 pour C1.
Donc le demi tour ferait 40+10 = 50m
Cependant même si C2 évoluait 4 fois plus vite que C1, alors il ne pourrait pas arriver à le croiser une seconde fois au point P à 20m (selon config 1). Il ne pourrait le croiser que beaucoup plus loin, avec le point P à 30m du point A.
Cette configuration est donc impossible.

[Rachilou]

Est-il possible que le coureur 2 de B passe en M sans atteindre A

C'est une condition obligatoire. Non ?

et le coureur 1 de A passe en M ,B et A de nouveau avant d'atteindre P ?

Il faut l'analyser par la logique.
D'après mon raisonnement non (voir message précédent).

Toutefois, j'attends que d'autres foristes donnent leur analyse sur mon raisonnement.

[Rachilou]

Raisonnement analogue en ce qui concerne 1.1 : Avec C1 se déplaçant plus vite que C2
Si C1 se retrouve au point P à 20m du point A, cela stipule qu'il a fait 1tour + 20m. Dans ce cas, il n'a plu croiser C2 qu'à la moitié de son propre parcourt, c 'est à dire à un point M se situant à 30°- 10m. Pour cela il aurait fallu que C2 parte dans le même sens que C1.
Cette configuration est donc impossible.

[Rachilou]

Raisonnement analogue en ce qui concerne 1.1 : Avec C1 se déplaçant plus vite que C2
Si C1 se retrouve au point P à 20m du point A, cela stipule qu'il a fait 1tour + 20m. Dans ce cas, il n'a plu croiser C2 qu'à la moitié de son propre parcourt, c 'est à dire à un point M se situant à 30°- 10m. Pour cela il aurait fallu que C2 parte dans le même sens que C1.
Cette configuration est donc impossible.

C'est mon raisonnement qui est complétement faux là.

[XK150]

J'ai bien trouvé ma deuxième solution ( 4 et 10 m/s , 280 m ) .

@ phys4 : voulez m'indiquer l'ordre des points sur le cercle pour la solution ( 4 , 2/3 , 280/3 ) . Merci .

[Rachilou]

J'ai bien trouvé ma deuxième solution ( 4 et 10 m/s , 280 m ) .

Oui effectivement : pour la solution P et M du même côté sur le premier demi cercle

C2 (coureur2) parcourt 40m sur le demi tour avant de croiser C1, alors qu'il sont parti seulement à 180° en opposition.
A partir de là, à la même vitesse en partant du point M à 360° à l'opposé (soit le double de distance avant rencontre), il se rencontreront au point P de telle sorte que C2 aura parcouru 2 x 40m (parce que 2x180°).
Donc du même côté on a : 40 + 80 + 20 = 140m pour le demi tour et donc le tour à 280m.

C2 parcourt 80m (entre M et P) en 20 secondes soit 4m/s

si C2 a parcouru 40m (entre B et M) pendant que C1 parcourant 140 - 40 = 100m (entre A et M), alors C1 évolue 2.5 fois plus vite soit 10m/s.

[Rachilou]

Relativement à la config 1) M et P du même côté (donc entre 30° et 60°)
1.2) Avec C2 se déplaçant plus vite que C1 :


En partant de A, le C1 croise la deuxième fois C2 au point P à 20m de A.

Donc A a du croiser C2 en M à 1/3 de la distance (AP) soit 20/3 = 6.66m
Entre M et P on a 13.33.

Donc du même côté on a : 6.66+40 = 46.66m pour le demi tour et donc le tour à 93.33m.

[TheaGracias]

Merci beaucoup pour le temps que vous prenez pour débattre de ce exercice.
J'aimerais savoir existe-il une méthode pour trouver toutes les solutions à ce exercice?

[Liet Kynes]

Bonjour,

J'ai regardé de nouveau l’énoncé et il me semble que quelque chose ne cadre pas:



Admettons que le coureur 1 part de A dans le sens des aiguilles d'une montre et le coureur 2 part de B en sens inverse des aiguilles d'une montre. Il se croisent une première fois côté droit en M. 1 a parcouru une distance AM inférieure à AB et 2 une distance BM=40 mètres inférieure à AB avec AMB=AB, la vitesse est constante donc au prochain croisement le coureur 1 aura parcouru 2AM et le 2 2BM.

2 BM ou 2AM sont pourtant tout deux inférieurs à la circonférence et sont de longueur supposés différentes..

[Rachilou]

Merci beaucoup pour le temps que vous prenez pour débattre de ce exercice.
J'aimerais savoir existe-il une méthode pour trouver toutes les solutions à ce exercice?

C'est pas faute que d'avoir essayé.

Essayer d'attaquer le problème de manière plus intuitive en raisonnant par la logique, avec un niveau de math du collège.
Contrairement à Phys4 et XK150 qui ont eu certainement une approche plus mathématique.

[TheaGracias]

Cette remarque est justifiable? Si P et M de part et d'autre de chaque demi cercle alors V1=6k, V2=4k et L=200m pour k réel non nul.

[XK150]

Cette remarque est justifiable? Si P et M de part et d'autre de chaque demi cercle alors V1=6k, V2=4k et L=200m pour k réel non nul.

non , à vérifier sur un exemple numérique , l'écart de 20 s entre les 2 croisements ne sera plus respectée .