Plaque carrée suspendue par deux câbles

[Freezy2211]

Bonjour, j'aimerais montrer que si on lâche une plaque carrée suspendue par deux fils, initialement tendus, alors ils le restent au cours du mouvement, ie θ1 = θ2 :
.
C'est peut-être bête mais j'y arrive pas. En fait, je veux montrer que la plaque est translation. Par exemple, je peut appliquer le TMC en G et je cherche à montrer que le moment cinétique est nul (on peut appliquer le TMC en tout point A du référentiel galiléen sur lequel on travaille pour peu que A ait même vitesse que G (le centre de masse) dans ce référentiel). En supposant qu'effectivement, la plaque soit en translation, alors A1 a même vitesse que G dont en appliquant le TMC
en A1, on obtient dvec(LA1)/dt = vec(A1G)^mvec(g) + vec(A1A2)^vec(T2). Or alors que vec(A1G)^mvec(g) est constant (plaque en translation), on voit bien
que ce n'est pas le cas de vec(A1A2)^vec(T2)...

Pourriez-vous éclairer ma lanterne merci.
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[Resartus]

Bonjou
La plaque va bien tourner en même temps qu'elle tombe (mais ce n'est pas pour autant que la tension sur l'un des fils va s'annuler) :
il y aura une première phase où elle pivote dans le sens trigonométrique, puis une deuxième où elle va pivoter en sens inverse
Le calcul exact du mouvement doit prendre en compte le moment d'inertie de la plaque (qu'on suppose homogène) et qui doit valoir (de mémoire) ma^2/6

[Resartus]

Réponse fausse, Oubliez mon message précédent

[Freezy2211]

Bonjour, en fait je ne suis pas sûr de ce que j'affirme car l'exercice veut peut être que l'on étudie le mouvement avec à la place des fils des tiges rigides et dans ce cas là il n'y a pas d'absurdité, pour autant je crois bien que c'était avec des fils et donc la il parait qu'à tous les coups la plaque tourne sur elle-même.
Il me faudrait un fil pour voir

[A voir en vidéo sur Futura]

[antek]

Elle tourne sur elle-même autour de quel axe ?

[Freezy2211]

Oui pardon je me suis mal exprimé, je voulais simplement dire qu'elle n'était pas en translation.

[XK150]

Si , elle est en translation , mais pas en translation rectiligne ...

[antek]

D'après le dessin je la vois en translation !

- juste des idées -
Les fils peuvent se "relacher" uniquement pendant la "remontée" de la plaque. A partir de la position "tout en bas", la force centrifuge d'une part, l'angle de la trajectoire d'autre part, devraient garder les fils tendus. Il faudrait tout de même vérifier la trajectoire du centre de masse de la plaque par rapport aux points de fixation des fils.

[Freezy2211]

XK150 Je crois avoir montré que c'était impossible et je me doute bien que si elle est translation c'est une translation circulaire.
Si on suppose qu'elle est en translation, alors A1 a même vitesse que G donc on peut appliquer le théorème du moment cinétique en A1.
Or, on voit ici qu'il ne peut pas être constant : absurde donc la plaque n'est pas en translation. Je ne sais pas si je fais d'erreur mais ça me parait pas très intuitif qu'elle ne translate pas.

[Freezy2211]

antek Si on suppose que les fils sont tendus, puisque A1 et A2 ont un mouvement circulaire, alors G est en translation circulaire. Si les fils se détendent je me demande si ça donne pas quelque chose d'un peu chaotique (s'il y a un vrai relachement, ie la distance entre un des points d'attache et le point de fixation devient strictement plus petite que ce qu'elle était.

[antek]

. . . je me doute bien que si elle est translation c'est une translation circulaire.

Démonstration ?
En traçant (mentalement) les cercles des trois points considérés la trajectoire du centre de masse ne peut pas être circulaire.

[XK150]

Connaissez vous le parallélogramme ?
N'avez vous jamais vu des essuie-glace à double bras couplés ( d'accord , ce n'est pas très courant sur les autos de tous les jours ) ?.

La figure A1 , A2 , Plafond1 , Plafond2 , reste un ppllg durant le déplacement .

[Freezy2211]

Les fils peuvent se détendre XK150. Rien n'assure que A1A2 est parallèle au plafond. Et oui j'ai déjà entendu parlé des parallélogrammes.
C'est bien tout le problème depuis le début.

[Freezy2211]

antek Mais si la plaque est en translation ie les fils sont tendus, A1 et A2 sont en translation circulaire donc la plaque tout entière est en translation circulaire, en particulier le centre de masse. Je me trompe ? Mentalement, j'ai ici plutôt l'impression que G est en translation circulaire. Cordialement,

[antek]

Un dessin vient de me montrer que si la trajectoire du centre de masse est circulaire, alors existe une position où le centre de masse et un point de fixation des fils sont confondus.

[Freezy2211]

Attention dans vos dessins, il y a un critère temporel : ce n'est pas parce que les deux cercles se croisent que le centre de masse et un point de fixation des fils sont confondus au même instant.
Imaginez une voiture qui laisse un sillage dans du sable puis une seconde voiture qui coupe ce sillage de travers. Vu du ciel, on observe un croisement mais les voitures ont pu passer à des instants très différents. Cordialement,

[XK150]

Les fils peuvent se détendre XK150. Rien n'assure que A1A2 est parallèle au plafond. Et oui j'ai déjà entendu parlé des parallélogrammes.
C'est bien tout le problème depuis le début.

Je suis parti sur votre figure .
Alors commencez par mettre une figure dans le cas général et non pas pour un cas particulier .
Et puis , encore mieux , mettez l'énoncé complet et exact au mot près , cela évitera de perdre du temps .
Qui a dit que les fils devaient se détendre ???? Ce son t des fils ou des élastiques ???
Important : quel est le niveau scolaire de cet exercice ?????

[antek]

Attention dans vos dessins, il y a un critère temporel : ce n'est pas parce que les deux cercles se croisent que le centre de masse et un point de fixation des fils sont confondus au même instant.

Exact, mais c'était une démarche de démonstration par l'absurde.
En traçant un déplacement circulaire pour les points de fixation, et en traçant un déplacement circulaire pour le centre de masse, on arrive à une impossibilité matérielle.
Donc le déplacement du centre de masse n'est pas circulaire.

Ceci dit je ne suis pas très mécanicien . . .

[Freezy2211]

Oui je m'en doutais. A terme, on veut montrer calculer la période des petites oscillations et chercher un θ pour lequel la tension d'un des fils s'annule. Je me pose donc quelques questions préliminaires et je me place dans le cas où il s'agit de fils non élastiques.
Le problème, c'est que pour résoudre, il faut forcément supposer que la plaque a un mouvement de translation circulaire. D'ailleurs θ sans cette précision n'a pas de sens car il y a a priori deux angles. Or, on voit bien que translation circulaire et angles égaux est équivalent (cf. le parallélogramme). Cependant, et ce qui me paraît contre-intuitif, c'est que j'ai montré qu'il est impossible que la plaque puisse avoir un mouvement de translation sur un intervalle de temps non trivial. Toutefois, je m'imagine peut-être le mouvement avec des bâtonnets rigides à la place des fils, ce qui peut m'induire en erreur. J'ai fait la démonstration plus haut si cela vous intéresse. Il s'agit d'un exercice de la filière MP.

[Freezy2211]

Antek le mouvement est bien circulaire si c'est une translation. Le mouvement de A1 est circulaire !

[sh42]

Bonsoir,

Au démarrage du mouvement, les points bas de la plaque vont suivre un mouvement rectiligne vertical alors que les points haut sont obligés de suivre un cercle.
La plaque va avoir tendance à se coucher.

Dans la réalité, c'est le genre de phénomène qu'il faut éviter car on sait comment cela commence mais on ne sait pas tous les mouvements effectués par la plaque avant sa stabilisation complète.

[antek]

D'accord, il a fallu que je dessine pour comprendre.
Je me retire . . .

[gts2]

Les points haut sont obligés de suivre un cercle.

Si les deux points du haut suivent un cercle, tous les points de la plaque suivent un cercle.

[Freezy2211]

D'accord sh42, merci ! Mon raisonnement tenait bien la route donc c'est juste qu'il est imperceptible de voir que le mouvement n'est pas tout à fait circulaire ?

[gts2]

on peut appliquer le TMC en tout point A du référentiel galiléen sur lequel on travaille pour peu que A ait même vitesse que G (le centre de masse) dans ce référentiel). En supposant qu'effectivement, la plaque soit en translation, alors A1 a même vitesse que G dont en appliquant le TMC en A1, on obtient dvec(LA1)/dt = vec(A1G)^mvec(g) + vec(A1A2)^vec(T2).

Oui mais dvec(LA1)/dt est non nul cf. théorème de Koenig L* est bien nul mais il reste le deuxième morceau.

[Freezy2211]

C'est bien le problème gts2. Dans ce cas, il ne peut y a avoir translation puisque la plaque tourne autour de A1. C'est ce qui me turlupine.

[gts2]

Si le solide est en translation, cela ne signifie pas que son moment cinétique est nul, mais que son moment cinétique barycentrique est nul.

[Freezy2211]

Diable, je me rend compte de toutes les fois où je suis allé trop vite. Merci !

[Resartus]

Rebonjour,
Je n'ai pas eu le temps d'expliciter ce midi ce que je voulais dire :
Si on démarre avec un angle inférieur à 45°, les deux tensions vont bien s'ajuster pour que le moment total T1,T2 et P -M.gamma (qui s'applique sur le centre de gravité) soit nul. La plaque reste en translation. On peut calculer le mouvement en prenant en compte le fait que la vitesse instantanée de la plaque va être tangentielle.

Mais si on démarre avec un angle theta1 supérieur à 45°, alors les deux composantes T1 et P-mgamma vont exercer un couple dans le sens trigonométrique sur la plaque. La tension sur le fil T2 va être nulle, il va se détendre, et la plaque va commencer à tourner (on n'aura plus un parallélogramme). Le calcul doit maintenant faire intervenir aussi le moment d'inertie de la plaque, et prendre en compte que le point A1 doit rester sur un cercle

[mécano41]

Bonjour,

Juste en passant :

- ne peut-on pas raisonner sur deux barres rigides A1 Pl1 (plafond) et A2 Pl2
- dans ce cas, on est sûr de la trajectoire circulaire de A1 de A2 et de G
- on calcule la tension dans les barres
- si à un certain point de la trajectoire, on trouve une tension négative, c'est que la barre est en compression et comme un fil ne le pourrait pas il se détend...
- la nouvelle trajectoire est sans importance puisque la question est : l'un des fils se détend-il?

Si :

- m = masse en G
- O = centre de la trajectoire circulaire
- R = rayon de cette trajectoire
- v = vitesse de G sur sa trajectoire (pendule)
- a = accélération de G sur sa trajectoire
- J = moment inertie plaque en G

Dans l'équilibre, je pense qu'il y a :

- les tensions T1 et T2
- le poids m.g
- le moment de rotation de la plaque par rapport à G (pour conserver la position "horizontale")
- le moment par rapport à O de m.a
- l'effort selon OG : m.v²/R
- et ce que j'ai oublié...

...mais bon, c'est peut-être idiot...il faut bien réfléchir (même à ce que je ne suis pas capable de résoudre )

Cordialement