Problème brachistochrone ou autrement dit le problème du toboggan idéal...

[Sarayou]

Voilà mon problème : je passe en MP*, j'ai donc commencé l'année dernière mon tipe et voilà le thème que j'ai choisi : le problème brachistochrone. C'est en fait la question de la courbe de descente la plus rapide, et après une recherche (j'ai choisi de reprendre les étapes historiques), on obtient la cycloïde, ce qui est rassurant étant donné que tout le monde trouve la même chose !!
Mais mon prof de maths m'a dit que je devais personnaliser mon travail en refaisant l'étude en considérant un frottement : on appliquerait ainsi le problème à la réalité, par exemple dans le cas du toboggan. Le problème c'est que je ne sais pas bien comment modéliser le frottement lors d'une descente en toboggan... Quelqu'un aurait-il une idée ???

[Chup]

Bonjour,
la modélisation la plus simple est celle du frottement de Coulomb : la force de frottement (tangentielle à la trajéctoire) est proportionnelle à la force normale. Le coefficient de proportionalité est ce qu'on appelle le coefficient de frottement, il est constant (indépendant de la vitesse).

[nicus]

Bonjour,
le probleme en considerant le frottement est aussi soluble analytiquement, regarde ici.

Par contre, je ne sais pas ce que ca donne si on considere le probleme d'un bille qui roule sans glissement. Ca pourrait etre interessant...

Bon calculs !

[Sarayou]

Bonjour !
Tout d'abord merci de vos réponses !
Sinon quand tu dis roulement sans glissement, c'est le cas idéal ponctuel ou tu prends en compte le volume de la bille, les frottements etc... ?

[deep_turtle]

Quand on parle de roulement, c'est forcément une bille, pas un point. Ca veut dire que la bille, à chaque instant, pivote autour de son point de contact avec le sol. Elle roule, quoi !

[sitalgo]

Ca peut aussi être un tambour qui roule autour de sa ligne de contact avec le sol.
D'ailleurs tout le monde a déjà entendu un roulement de tambour.

[nicus]

Bonjour,
pour preciser un peu, a la difference du glissement sans frottement, la bille qui roule sans glisser va transformer une partie de son energie potentielle en energie cinetique de rotation, et aussi être freinée par le frottement... Je ne sait donc pas ce que ca peut donner sur la trajectoire optimale...

[nicus]

Re bonjour,

a bien y reflechir, mais sans calcul, je pense que le probleme de la bille qui roule sans glisser doit se ramener au cas de l'objet qui glisse avec frottements, car l'energie cinetique prends en fait la meme forme (proportionnelle à la vitesse au carré), seul le coefficient de proportionalité change (il inclue le moment d'inertie de la bille ou du tambour). Finalement, je pense que la trajectoire optimale sera la même, la seule difference sera le temps de parcours qui sera plus long.

PS : je viens de decouvrir en pianotant sur le web un truc sur la brachistochrone, qui n'est pas evident a premiere vue : la courbe optimale peut avoir une partie qui remonte ! C'est dingue tout ca...

[Sarayou]

Bonjour à tous !
Désolée d'avoir mis si longtemps à répondre... Je sais maintenant ce qu'est le roulement sans glissement !!!
Sinon où as-tu trouvé cette courbe qui remonte, cela m'intéresse beaucoup...!

[nicus]

Salut,
j'avais vu ca sur : http://www.mathcurve.com/courbes2d/b...tochrone.shtml

(premier site trouvé en cherchant brachistochrone sur google...)

[Jeanpaul]

Bonjour,
pour preciser un peu, a la difference du glissement sans frottement, la bille qui roule sans glisser va transformer une partie de son energie potentielle en energie cinetique de rotation, et aussi être freinée par le frottement... Je ne sait donc pas ce que ca peut donner sur la trajectoire optimale...

Si la bille roule sans glisser, son énergie cinétique est
1/2 m v² + 1/2 J w² = 1/2 v² (m+J/r²) .
On ne peut pas dire que ça change simplement la masse parce que le poids, c'est mg qui ne change pas.
Mais pour des raisons dimensionnelles, le temps varie comme racine(g/L) où L est une dimension du système.
Si on compare énergie potentielle et énergie cinétique, on voit que le roulement revient à diminuer g.
Donc la brachistochrone peut changer de forme si on se refère au calcul donné en référence. La vitesse de parcours aussi évidemment.

[hmimiz]

J'aimerais savoir si c'est possible comment t'as modélisé le frottement et aussi si t'es arrivé à un résultat ? merci