Scilab, méthode de Newton

[invitebd3e2769]

Bonjour, cela fait quelques jours que je cherche des documents concernant la méthode de Newton sur Scilab .. sans succès ! J'aimerai savoir si quelqu'un pourrait m'expliquer comment trouver les racines d'un polynomes en utilisant cette méthode ?
Une des question est : On considère un polynôme P ayant plusieurs racines réelles.
1) Quelle racine est approximativement déterminée par la méthode de Newton ? Comment utiliser Newton pour déterminer les autres racines ? Application sur

P1(x) = x4 – 10x3 + 35x2 - 50x + 24

Et je ne sais pas du tout ce qu'on attend de moi :/
Merci de votre temps et de vos explications
Bonne soirée
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

La méthode est toute simple: .
Critère d'arrêt: , où tol est une tolérance donnée (par exemple 0,0001 ou un multiple de l'epsilon machine).
f' est la dérivée de f = P1(x) (facile à calculer dans votre cas).

Est-ce si difficile que ça de l'implémenter ?


Par contre, utiliser la méthode de Newton pour trouver toutes les racines d'un polynôme n'est en général pas une bonne idée. En effet, la méthode de Newton doit être initialisée par un x0 (abscisse de départ arbitraire). Suivant la valeur de ce x0, on tombera sur une racine où l'autre (ou parfois la méthode divergera). A moins d'avoir une idée préalable de la localisation des racines et de leur nombre exact (qui est au plus n pour un polynôme de degré n), la méthode de Newton ne garanti en aucun cas qu'on les trouvera toutes, même après plusieurs millions d'essais à partir de points x0 différents.

Ici c'est peut être encore faisable, mais en général la méthode de Newton est gentiment mise de côté pour votre type de problème.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je vais appuyer Paraboloïde-Hyperbonique, la méthode d'approche n'est pas bonne.
D'abord la méthode de Newton, elle permet de trouver facilement une approximation pour une solution d'une équation qu'on ne sait pas résoudre, par des opérations simples, à la stricte condition qu'on connaisse une valeur approchée de cette solution.
Donc, si votre fonction admet 4 solutions, il faudra avoir une valeur approchée de chacune de ces 4 solutions et appliquer la méthode 4 fois.
Il n'y a aucun rapport direct avec un quelconque langage de calcul. On peut utilise la méthode à la main, avec une calculette, avec un langage interprété, avec un langage compilé et évolué, ou demander à quelqu'un d'autre de le faire.

Su un autre forum, vous avez eu moins de chance, pas une seule réponse.

[Chanur]

Bonjour,
Une fois qu'on connaît une racine x0, on peut aussi diviser le polynôme par (x-x0), et itérer avec le polynôme d'ordre n-1.
Programmer la division de polynômes n'est a priori pas sorcier.

Du coup, on peut initialiser la méthode de Newton avec n'importe quoi à condition, évidemment, d'être sûr que les racines sont réelles (ou de faire le calcul en complexes).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,
Une fois qu'on connaît une racine x0, on peut aussi diviser le polynôme par (x-x0), et itérer avec le polynôme d'ordre n-1.
Programmer la division de polynômes n'est a priori pas sorcier.

Du coup, on peut initialiser la méthode de Newton avec n'importe quoi à condition, évidemment, d'être sûr que les racines sont réelles (ou de faire le calcul en complexes).

Et encore, même dans ce cas il n'y a pas de garantie. Il suffit par exemple qu'une dérivée de la fonction soit nulle en une racine pour que la méthode échoue. Ce qui est difficile à savoir pour un polynôme dont le degré est un tant soit peu grand. De plus, il faut tout de même un point initial x0 suffisamment proche de la racine cherchée. Sans cela, la méthode peut-être très lente, voire ne convergera jamais. Cela reste donc une mauvaise idée.

Par exemple, chercher une racine de f(x) = x^3 - 2x + 2 en prenant x0 = 0 ne fonctionnera pas avec cette méthode...

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%...ge_to_the_root