Probleme du paysan et de son champ

**Yoyo** · 28/10/2006, 21h31

Bonsoir,

voici une petite "enigme mathématique".

Un paysan a un champ circulaire. Il plante un piquet sur le périmetre du cercle et y attache une chevre.
De quelle longueur doit etre la corde pour que la chevre puissent manger la moitié de la surface du champs ?

Yoyo

invite6de5f0ac · 28/10/2006, 22h07

Bonsoir,

La corde s'enroule autour du piquet ou pas?

-- françois

**Yoyo** · 28/10/2006, 22h13

non je crois pas

yoyo

invite19431173 · 28/10/2006, 22h37

Salut !

Tu n'as pas précisé à quel point la chèvre était souple !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**martini_bird** · 28/10/2006, 22h39

Salut,

si le rayon du champ fait 10 m, la corde doit mesurer environ* 11,587 284 730 m...

Cordialement.

*Je m'arrête au nanomètre, ça doit suffir.

PS : je ne mets pas la méthode pour laisser à d'autres le plaisir de rédiger une solution.

**Nicolas666666** · 28/10/2006, 22h59

juste une question, il faut résoudre une equation, du genre aire de la chevre en fonction de la longueur de la corde = pi?

invite19431173 · 28/10/2006, 23h05

Non, aire balayée par la corde lorsqu'elle fait un tour etc etc...

**Nicolas666666** · 28/10/2006, 23h07

mais ça ne nous permet pas de trouver l'aire de la chèvre si? il me semble ne pas tout saisir, peux-tu m'expliquer plus?

invite19431173 · 28/10/2006, 23h10

Ben en fait, tu peux faire un rapport, et faire un peu comme martini : tu supposes une surface de rayon X, quelle doit être la longueur de la corde en fonction de X pour que la chevre ingurgite la moitié de la surface du cercle...?

**Nicolas666666** · 28/10/2006, 23h13

je ne vois pas toujours, je reviendrai demain matin plus clair! merci de ton aide!

invitef4635e80 · 29/10/2006, 02h32

y a un os, si il plante le piquet sur le perimetre la chevre broute une moitié chez le voisin non?

invitef4635e80 · 29/10/2006, 02h11

plus serieusement je crois que c est un un probleme de lunule en relation avec la longueur du segment entre les 2 points secants des cercles et leurs aires respectives

**f6bes** · 29/10/2006, 05h40

Bjr à tous,
Martini ton résultat me surprend: ta valeur calculée est SUPERIEURE au rayon que tu as pris comme référence.
(rayon champ =10m, rayon corde 11, .....m !!)
La chévre va bouffer TOUT le champ et un peu plus ,non !!

Mimas, t'as l'air de te compliquer la vie:moitie de surface ne veut pas forcément dire surface du cercle "couper" par le diamétre.
En l'occurence un cercle de surface S/2 peut etre inscrit dans le cercle principal.C'est le cas ici avec la chévre et on piquet.

Pour ma part ,n'étant pas trop fortiche en math,je verrais bien: S=pi xR2 soit pour 10m de rayon
S= 3.14 x10x10=314m2
La demi surface vaut:314/2=157 m2
Suffit de repartir en raisonnement inverse ....connaissant S/2.
Cordialement

invite100e782b · 29/10/2006, 09h28

Bonjour,

Tu n'as pas précisé la longueur de la tête de la chèvre ni la longueur de corde qu'il faut pour faire un noeud au collier

Et puis j'ai l'impression que c'est le même problème qu'ici : (surligner)
http://forums.futura-sciences.com/thread103975.html
Mais comme les modos participent et qu'en plus ils trouvent la réponse c'est que ça n'est pas la même chose et donc que je n'ai rien compris au sujet...

Sinon f6bes, le piquet est planté sur le périmètre du cercle, et non sur le centre donc même si la corde est plus longue que le rayon, la chèvre ne mangera pas tout le champ.

Cordialement,
Whirlwind

**f6bes** · 29/10/2006, 10h24

Envoyé par whirlwind

......
Sinon f6bes, le piquet est planté sur le périmètre du cercle, et non sur le centre donc même si la corde est plus longue que le rayon, la chèvre ne mangera pas tout le champ.

Cordialement,
Whirlwind

Merçi whir.......
Va falloir que je change les lunettes !!!!!!
Je me disais aussi , c'est relativement façile !
A+ Cordialement

**martini_bird** · 29/10/2006, 11h01

AVERTISSEMENT : ce qui suit dévoile une résolution possible de l'énigme.

Salut,

je propose une première solution à l'énigme, par la "face nord". J'en connais une autre plus élémentaire : je la posterai aujourd'hui si j'ai le temps, sinon demain.

______________

Notation : $\text{[math]}$ est le cercle limitant le champ, $\text{[math]}$ son centre, et son rayon est pris pour unité. Le champ a pour aire $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est le cercle délimitant la région dans laquelle peut évoluer la chèvre, de centre $\text{[math]}$ le piquet, et de rayon $\text{[math]}$ , la longueur de la corde.

Il est clair que le problème admet une symétrie d'axe $\text{[math]}$ .

On note $\text{[math]}$ la moitié de l'aire délimitée par $\text{[math]}$ : c'est la somme des aires $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , respectivement en bleu et rouge sur la figure.

Le problème revient à trouver $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit le quart de l'aire totale du champ, qui vaut $\text{[math]}$ : on doit donc résoudre l'équation

$\text{[math]}$

______________

On se place dans le repère orthonormé de centre $\text{[math]}$ dont l'axe des abscisses est $\text{[math]}$ . L'équation des arcs de cercle sont $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , de sorte que les aires $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont données par les intégrales :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ est l'abscisse du point d'intersection de $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Un calcul rapide donne $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux primitives de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ respectivement. Par exemple :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

L'équation $\text{[math]}$ devient donc :

$\text{[math]}$

Après évaluation des termes et multiplication par 2, l'équation s'écrit :

$\text{[math]}$

Soit finalement :

$\text{[math]}$

Géométriquement, on sait déjà que $\text{[math]}$ est une fonction strictement croissante de $\text{[math]}$ : le membre de gauche ci-dessous est donc décroissant (car multiplié par -1), et s'annule pour un nombre compris entre 0 et 2 : une petite recherche numérique des racines (par dichotomie par exemple) donne la valeur approchée 1, 158 728 473.

Cordialement.

**mécano41** · 29/10/2006, 12h37

Bonjour,

Aire délimitée par : arc AB, DO et AO :

$\text{[math]}$

Aire triangle AOB :

$\text{[math]}$

Aire délimitée par : arc AC, AB et AC :

$\text{[math]}$

Il faut avoir :

$\text{[math]}$

Comme $\text{[math]}$ on arrive à :

$\text{[math]}$

D'autre part, on a :

$\text{[math]}$

On élimine R pour obtenir :

$\text{[math]}$

A résoudre numériquement pour trouver l'angle. Ensuite on calcule :

$\text{[math]}$

**martini_bird** · 30/10/2006, 21h02

Salut,

merci mécano41 : c'est la démo que j'avais en tête.

Cordialement.

**ABN84** · 30/10/2006, 23h37

bonsoir,

Envoyé par mimas029

plus serieusement je crois que c est un un probleme de lunule en relation avec la longueur du segment entre les 2 points secants des cercles et leurs aires respectives

depuis quand on utilise topsolid tour des trucs pareil

Envoyé par martini_bird

Salut,

merci mécano41 : c'est la démo que j'avais en tête.

Cordialement.

mauvais perdant

**Yoyo** · 31/10/2006, 00h18

Merci beaucoup a vous pour ces solutions

Yoyo

**martini_bird** · 31/10/2006, 08h15

Salut,

Envoyé par einstein

mauvais perdant

Tss...

Envoyé par martini_bird

je propose une première solution à l'énigme, par la "face nord". J'en connais une autre plus élémentaire : je la posterai aujourd'hui si j'ai le temps, sinon demain.

Bonne journée !

**mécano41** · 31/10/2006, 08h24

Envoyé par einstein

...mauvais perdant

Pourquoi ? Il y avait quelque chose à gagner ? De mon côté, c'est juste pour m'amuser

Bonne journée

invitef4635e80 · 31/10/2006, 10h42

Envoyé par einstein

bonsoir,

depuis quand on utilise topsolid tour des trucs pareil

mauvais perdant

lol je suis programmeur regleur c est plus un reflexe qu autre chose

invitef4635e80 · 01/11/2006, 00h18

je sais que ca enleve un peu le coté ludique mais ca verifie que martini bird n a fait aucune erreur dans ses calculs

pour un champs de 100m il faut theoriquement il faut une corde de 115.87m et des poussieres

invitef4635e80 · 01/11/2006, 00h54

je l ai fait au diametre mais ca revient au meme

**ABN84** · 01/11/2006, 01h32

Envoyé par mécano41

Pourquoi ? Il y avait quelque chose à gagner ? De mon côté, c'est juste pour m'amuser

Bonne journée

De mon côté, c'est juste pour taquiner

invite97598856 · 02/12/2006, 23h25

<<'Cré vin Dieu, d'jà t'met pas d'la corde mais d'la chaîne, sinon la biquette e't'bouffe la corde pour s'faire la malle, pis t'y met de la clôture électrique pour parquer la bestiole et pis voilà>>.
Signé:
Monsieur Jean.

**laurisa** · 03/12/2006, 11h37

Envoyé par GuillaumeD

<<'Cré vin Dieu, d'jà t'met pas d'la corde mais d'la chaîne, sinon la biquette e't'bouffe la corde pour s'faire la malle, pis t'y met de la clôture électrique pour parquer la bestiole et pis voilà>>.
Signé:
Monsieur Jean.

Salut,

Moi je vote pour cette solution là!

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