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Pavage dominos

  1. invité576543
    Invité

    Re : Pavage dominos

    En trois, c'est sûr. Suffit de couper un coin 1x1, le mettre à la place de la case manquante, et de couper en diagonale par un escalier à 45°.

    En deux, je ne trouve pas...

    Cordialement,

    -----

     


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  2. homotopie

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Lille
    Âge
    47
    Messages
    2 523

    Re : Pavage dominos

    Donc bravo à shokin (qui aura donné la réponse à un problème dont je n'ai réfléchi qu'à l'énoncé, je pensais que c'était plus dur ) et pour le 5)
    bravo encore à mmy pour la démo de la question subsidiaire et une simplification de la 5) bravo de continuer à proposer des défis (découpage à 45°)
    Pour la 1), la 2) et la 5) on noircit une case sur deux et ç donne facilement des impossibilités (un domino recouvre une case blanche et une case noire)
    1) nombre de cases noires-nombre de cases blanches=+/-2 si n pair (si n impair il n'y a pas un nombre pair de cases ça va être dur)
    2) avant retrait il y a excés d'une case d'une couleur (celle des coins) pour n impair (il faut bien que le nombre de cases restantes soient paires)
    5) avant retrait même nombre de cases noires que blanches =>il faut retirer deux cases de couleurs différentes.
    Généralisons ce dernier cas en donnant une autre preuve :
    rectangle dont les côtés ont un nombre impair de cases : il restera un nombre impair de cases.
    sinon un côté pair, il y a un nombre identique avant retrait de cases noires et blanches=>il faut retirer deux cases de couleurs distinctes
    Et cela suffit comme condition :
    traçons avant retrait une ligne parcourant toutes les cases une et une seule fois. La condition sur le retrait induit qu'il reste deux morceaux d'un nombre pair de cases (case enlevée noire, puis une succession de "une case blanche+une case noire" jusqu'à la case blanche retirée)ou un seul mais avec un nombre pair également (cas où les cases retirées sont adjacentes).
    Une telle ligne est-elle possible
    si l'autre côté est de longueur 1 : triviale
    si l'autre est de longueur plus grande :
    on met le rectangle avec côté de longueur paire horizontalement, on part de la case en bas à gauche, on monte jusqu'à la case en haut à gauche puis on va jusqu'en haut à droite puis on va jusqu'en bas à droite et on revient en zigzaguant (tout droit si l'autre côté de longueur 2).

    Ma solution pour le cas 4) :
    1024x1024 c'est trop grand comme début, soyons plus modeste.
    2x2, là ça va c'est facile
    4x4, coupons en 4 damiers 2x2, la case retirée est dans un des 4 damiers je sais remplir ce damier ; puis je place un domino angulaire dans le coin extérieur de ce damier. Les 3 autres damiers sont désormais des damiers 2x2 dont on a retiré une case et donc on sait faire.
    8x8, on recoupe en 4 damiers, celui dont on a retiré une case on sait faire, on place un domino dans le coin extérieur on revient au cas 4x4-1 case qu'on sait faire.
    16x16 on coupe en 4 damiers...
    ...
    1024x1024 on sait faire
    on sait faire

    Le 6) ? ... à vous de le créer
     

  3. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    33
    Messages
    10 709

    Re : Pavage dominos

    Bon... allons-y... pour un autre type de problèmes... toujours avec des domini...

    6) a) Soient des domini 1*2 qui comblent un carré 2*2. Combien y a-t-il de possibilités de disposer ces domini ?
    b) Même question dans un carré de 4*4.
    c) Et dans un carré de 6*6 ?
    d) Essayer de chercher une formule (je n'ai pas encore cherché) pour généraliser à 2n*2n.

    7) Mêmes questions que 6), mais l'on veut autant de domini "verticaux" que de domini "horizontaux" !

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
     

  4. homotopie

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Lille
    Âge
    47
    Messages
    2 523

    Re : Pavage dominos

    J'ai trouvé pour le 6)a)
    Comment compte-t-on ? Les configurations images par symétrie du carré sont comptées pour un ou les distingue-t-on ?

    ?En ne distinguant pas les images je trouve 36 pour le 6)b), c'est bon??
     

  5. invité576543
    Invité

    Re : Pavage dominos

    Sur le 6c, je m'étais penché sur la question l'année dernière ou celle d'avant, en plus ambitieux, rectangle nxm, avec au moins un des deux pairs. J'avais abandonné...

    Pour la bande 2xn, ça va.

    Récurrence simple sur le premier "vertical"

    Bn = Bn-1 + Bn-3 + Bn-5 + ...

    avec par convention B-1=1

    D'où Bn = Bn-1 + Bn-2, c'est la suite de fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

    Mais quand on passe à la bande 3x2n, c'est une autre paire de manche.

    Je ne pense pas que se limiter aux carrés soit vraiment une simplification, mais qui sait...

    Cordialement,
     


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  6. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    33
    Messages
    10 709

    Re : Pavage dominos

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    J'ai trouvé pour le 6)a)
    Comment compte-t-on ? Les configurations images par symétrie du carré sont comptées pour un ou les distingue-t-on ?

    ?En ne distinguant pas les images je trouve 36 pour le 6)b), c'est bon??
    Oups... j'aurais dû préciser... on va dire que deux situations symétriques ou rotatives sont différentes, comme si le carré était numéroté de 1 à 2n dans les deux axes.

    Bon... je vous laisse investiguer... astheure je vais me coucher.

    NB : Pour le 6) plus que pour 6*6 et je n'ai pas trouvé de formule pour généraliser à 2n*2n.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
     

  7. Speedy311

    Date d'inscription
    août 2017
    Âge
    19
    Messages
    1

    Re : Pavage dominos

    Pour la question d) (problème 4) cela marche pour n'importe quel damier avec un des côtés egale a 2^n. On démontre facilement par recurence et avec les congruences que 2^2n -1 est divisible par 3.
     


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