Longueur d'un rouleau....

[Ciry]

Salut!

Je cherche à déterminer la longueur d'un rouleau de "papier" enroulé sur lui même (un peu comme le papier toilette mais sans le cylindre en carton).

Connaissant la longueur L d'un rouleau de dimamètre D peut-on calculer la longueur l restante dans un rouleau de diamètre d (d<D)? Si oui, quel est le raisonnement?

Merci à ceux qui auront le courage de chercher!

Bonne soirée
Cordialement,
Ciry
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[Médiat]

Un tel rouleau est sans doute une spirale arithmétique (dont la longueur est loin d'être simple à calculer)

[inviteba0a4d6e]

Salut

Si ça peut t'aider j'ai trouvé ce fil...

Bonne chance

[_Goel_]

Salut !
Je ne connais pas la solut ion, mais je pense à une piste :
P = 2.pi.R

donc si on connait l'épaisseur e d'une feuille de papier, le rayon intérieur Ri du début de l'enroulement et le rayon extérieur Re de la fin de l'enroulement,
on a en première approximation (), pour un nombre entier de tours


Sinon, avec des calculs complexes (et sûrement faux), je trouve qqch du genre (pour un nombre de tours pas forcément entiers (ent = partie entière):



Soit en remplaçant Ri/e par


Reste plus qu'à faire l'application numérique pour voir si ma formule est bonne.... (j'en doute très fort !)

[A voir en vidéo sur Futura]

[_Goel_]

Lol... !
L=(Pi*((D/2)²-(d/2)²))/e

[Médiat]

Lol... !
L=(Pi*((D/2)²-(d/2)²))/e

Attention, ce n'est pas un calcul exact (mais sans doute acceptable pour des rayons grands devant e)

[Médiat]

Avec un peu de chance :

[yat]

Euh...

(bande de psychopathes ! )

Je vais peut-être dire une connerie, mais si on considère que l'épaisseur e est négligeable devant le diamètre D, on a à peu près L*e=pi*(D/2)²... ou plus simplement, L=kD²... comme de la même manière l=kd², il est assez immédiat que l=L*d²/D²...


Ben quoi ?

[invite58549cb8]

Attention, ce n'est pas un calcul exact (mais sans doute acceptable pour des rayons grands devant e)

Heuuu je vais peut-etre dire des betises.... alors je m'en excuse par avance... L'idée dans le second message de Goel est d'utiliser la surface du disque... jusque là tout va bien!! Très astucieux et élégant!
Mais en quoi le calcul n'est pas exact?
Pour moi si... mais il y a sans doute quelque chose qui m'échappe

[polo974]

Euh...

(bande de psychopathes ! )

Je vais peut-être dire une connerie, mais si on considère que l'épaisseur e est négligeable devant le diamètre D, on a à peu près L*e=pi*(D/2)²... ou plus simplement, L=kD²... comme de la même manière l=kd², il est assez immédiat que l=L*d²/D²...


Ben quoi ?

J'allions le dire...

[Médiat]

L'idée dans le second message de Goel est d'utiliser la surface du disque... jusque là tout va bien!! Très astucieux et élégant!
Mais en quoi le calcul n'est pas exact?

Effectivement très astucieux et élégant, malheureusement ce n'est pas un disque d'autre part pour enrouler un rectangle d'un certaine épaisseur sur lui-même, il faut le déformer (prend l'exemple d'une spirale avec un seul tour, l'erreur est très grande), et il faudrait préciser ce que l'on appelle la longueur (celle de la face supérieure ou de la face inférieure ou encore la moyenne des 2 (ce qui est implicitement fait en divisant la surface de la couronne par l'épaisseur)).

Il va de soi que quand l'épaisseur est petite devant les rayons, l'erreur est vite négligeable, mais la question ne précisait pas qu'une valeur approchée était suffisante.

[yat]

et il faudrait préciser ce que l'on appelle la longueur (celle de la face supérieure ou de la face inférieure ou encore la moyenne des 2 (ce qui est implicitement fait en divisant la surface de la couronne par l'épaisseur)).

Exactement ! Sans plus de précisions dans l'énoncé, la longueur demandée peut être n'importe laquelle de ces trois valeurs, ainsi que toutes les valeurs intermédiaires que l'on peut imaginer. Et la seule chose dont on est sur en divisant la surface par l'épaisseur, c'est que la valeur obtenue est comprise dans la fourchette.

Et donc, ça répond aussi bien à la question que n'importe quelle autre réponse, aussi précise et complexe soit-elle.

[polo974]

blablabla...
...couper les cheveux en 4 dans le sens de la longueur...
blablabla...

Il va de soi que quand l'épaisseur est petite devant les rayons, l'erreur est vite négligeable, mais la question ne précisait pas qu'une valeur approchée était suffisante.

On parle de diamètre pour une spirale arithmétique ???

Et puis, c'est bien de chipoter sur le détail du dernier tour, mais, il en est de même pour le début...

Donc comme l'énoncé parle de diamètre, on peut supposer qu'une valeur approchée est acceptable, sinon, il va falloir couper le ruban en diagonale dans l'épaisseur tant au départ qu'à l'arrivée.

Mais au fait, il est demandé la longueur du rouleau et non celle du ruban!
C'est bien évidemment la même tant que le rouleau n'est pas entièrement dévidé!!!

[Ciry]

Bonjour!

Tout d'abord merci à tous pour vos réponses!!! Ca fait vraiment plaisir!!

Vu le mal que vous vous êtes tous donnés pour répondre à ma question, je vous promet de tester l'ensemble de vos solutions sur mes rouleaux dès lundi!! ((Les gars sur le chantier vont certainement se demmander ce qui me prend de dérouler les rouleaux de 2,20 de large, mais il faut ce qui faut... et puis une fille sur les chantiers c'est déjà étrange, alors, un peu plus un peu moins!! (nonon je plaisant l'accueil à toujours été bon!! )))

Mais il me faut quelque précisions...
Avant cela:

Il va de soi que quand l'épaisseur est petite devant les rayons, l'erreur est vite négligeable, mais la question ne précisait pas qu'une valeur approchée était suffisante.

Oui oui une valeur approchée est parfaite!! et puis, 5mm d'épaisseur pour 75m de long et ~0.80cm de diamètre (à vu d'oeil j'ai pas mesuré) pour le rouleau plein, ça me semble négligeable!

Pour les précisions:
-Merci _Goel_ pour les jolies formules du message #4! euh pour Ri je vais prendre 0... mais pour Re je prend quoi? pas le rayon en mètre ou cm, si?

-pour celle plus simple du #5 et celle de Médiat du #7:

L=(Pi*((D/2)²-(d/2)²))/e

Les D et d sont-ils ceux que j'ai définis (alors L correspond à quelle longueur?) ou correspondent-ils aux Re et Ri du message #4?

Pi si je peux abuser encore un peu, je veux bien une ptite (vraiment toute p'tite) expliquation de vos calculs... De quels idées êtes vous partis?

Merci encore!!
Bonne journée,
Ciry

[Médiat]

Les D et d sont-ils ceux que j'ai définis (alors L correspond à quelle longueur?)

Il s'agit bien de de D et d tels que tu les as définis, si tu mesures les "rayons" (et que tu multiplie par 2) sur la face extérieure du ruban, alors L est la longueur de la face extérieure (même chose avec l'intérieur.

Le mode de calcul est le plus simple possible, l'équation polaire d'une spirale arithmétique est r = a.t (r le rayon, a une constante = e/2pi, et t l'angle polaire), L est en fait l'abscisse curviligne sur cette spirale. mais il faudrait être un vrai psychopathe pour utiliser cela si e est suffisamment petit devant d et D

[invite636fa06b]

Bonjour,

Au vu des ordres de grandeur indiqués par Ciry, je pense que la formule basée sur la surface suffit largement:

D'autant que l'erreur sur e risque d'être bien plus lourde. En effet, il n'est pas certain que l'épaisseur soit constante et même si elle l'est, l'enroulement déforme et il y a sans doute un écart entre deux couches successives...
Bref, si l'épaisseur effective (mesurée par exemple par l'écart entre le haut de la 10ième couche et celui de la 11ième) est de 0,55mm au lieu de 0,5 la longueur varie de 7 mètres

[polo974]

Sinon, si tu disposes d'une balance et de la masse au mètre linéaire (que tu peux d'ailleurs peser toi-même), il y a aussi moyen de connaitre la longueur du rouleau.

[_Goel_]

Ici, je consière un tour de spire : L = 2.pi.R
or à chaque tour de spire, R augmente d'une épaisseur (e)
1er tour : 2.pi.(R)
2ème tour : 2.pi.(R+e)
3ème tour : 2.pi.(R+2e)
etc...
et on s'arrête au rayon extérieur Re.
(d'ailleurs lire n allant de 0 à ent((Re-Ri)/e) )

Nota : cela ne marche que pour pour des tours entiers de la spirale. de plus je fai l'approximation que le rayon est constant et correspond au rayon intérieur de la spirale (sur 1 tour). je rajoute donc l'épaisseur à cette longueur pour rattraper (mais pas corriger totalement) l'augmentation du diamètre.

ici, même formule pour le premier {}
sauf que pour éviter de rajouter l'épaisseur, j'intègre l'équation du périmètre, sur la longueur d'une spire.
le second {} permet de calculer la longueur restante si le nombre de tours n'est pas entier (ex : 3 tours et demi...)

voilou...

Heuuu je vais peut-etre dire des betises.... alors je m'en excuse par avance... L'idée dans le second message de Goel est d'utiliser la surface du disque... jusque là tout va bien!! Très astucieux et élégant!

Pour la formule par les aires, elle n'est pas de moi... je cherchais juste une solution sur google... et j'ai trouvé ça... tellement sobre simple et efficace que je l'ai rajoutée !

[Ciry]

Bonjour!!

Merci à tous pour vos réponses et à Médiat et _Goel_ pour leurs explications!!

Je teste les formules cette semaine et vous tiens au courant le week-end prochain!

Bonne semaine à tous!
bye bye,
Ciry

[nico2685]

Sinon, si tu disposes d'une balance et de la masse au mètre linéaire (que tu peux d'ailleurs peser toi-même), il y a aussi moyen de connaitre la longueur du rouleau.

Bien vu !! Une bonne vieille méthode à l'ingé-style !!! Bon, après faut trouver une balance pour peser un rouleau de 75m de long, en plus apparemment c'est dans le BTP donc ça doit être un truc costaud quand même, mais j'adore la façon de penser... La ou tous les matheux cherchent et trouvent des formules compliquées pour calculer la longueur au mm près d'un rouleau de plusieurs dizaines de mètres, l'esprit concret trouve une méthode simple !! Cela dit, bravo et respect aux "matheux" (pardon d'avance si le terme choque, rien de méchant la dedans) !!!

[Médiat]

[...] "matheux" (pardon d'avance si le terme choque, rien de méchant la dedans) !!!

En tout cas je ne le trouve pas choquant en ce qui me concerne, si il n'est pas lié à ta signature

[polo974]

Bien vu !! Une bonne vieille méthode à l'ingé-style !!! Bon, après faut trouver une balance pour peser un rouleau de 75m de long, en plus apparemment c'est dans le BTP donc ça doit être un truc costaud quand même, mais j'adore la façon de penser... La ou tous les matheux cherchent et trouvent des formules compliquées pour calculer la longueur au mm près d'un rouleau de plusieurs dizaines de mètres, l'esprit concret trouve une méthode simple !! Cela dit, bravo et respect aux "matheux" (pardon d'avance si le terme choque, rien de méchant la dedans) !!!

Un imprimeur nous fournissait en papier A4 préimprimé, dans des cartons avec la quantité indiquée, mais à chaque fois on avait une surconsommation apparente et inexpliquée. J'ai donc pesé ces cartons et divisé par 5g (poids (masse pour les puristes) d'une feuille A4 en 80gr/m²) et on a pu leur mettre le nez dedans à ces voleurs car il manquait environ 15% de la marchandise...

Ce qui est remarquable, c'est que les solutions compliquées (sommations ou intégrales) font appel à l'épaisseur qui n'est pas donnée au départ...
Et une erreur de mesure de 10% (sur 5mm, c'est facile) donne également une erreur de 10% sur la longueur...

[Médiat]

Note aux ingénieux qui seraient tenté par un certain mépris pour les solutions exactes : rien dans l'énoncé ne laissait supposer que la question était pratique et non théorique, au contraire, la mise entre guillemets du mot "papier" laisse comprendre que le problème n'est pas pratique, mais purement théorique.

[nico2685]

En tout cas je ne le trouve pas choquant en ce qui me concerne, si il n'est pas lié à ta signature

Oula non bien sur !!! Et tant mieux si tu ne le trouve pas choquant ça n'est pas du tout le but...
Pour ma signature, certains auront peut-etre reconnue une citation du grand philosophe qu'est Patrick Timsit si je ne me trompe pas... Je suis pas sur que les personnes concernées viennent se balader par ici... Quoique je me rappelle de quelques phénomènes, dont un qui vantait dans tous les forum (forum au pluriel c'est comment, fora ?) qu'il trouvait les mérites de son fabuleux (lol) système à mouvement perpétuel sans jamais tenir compte des remarques absurdes (relol) des gens qui lui expliquaient pourquoi son truc marchait pas, comme quoi il paraitrait que le mouvement perpétuel n'existe pas non mais n'importe quoi (rerelol) (oups ça y est je me re-énerve à cause de lui...), mais je ne sais pas s'il est venu faire un tour ici... Tiens je vais aller vérifier...

[nico2685]

Note aux ingénieux qui seraient tenté par un certain mépris pour les solutions exactes : rien dans l'énoncé ne laissait supposer que la question était pratique et non théorique, au contraire, la mise entre guillemets du mot "papier" laisse comprendre que le problème n'est pas pratique, mais purement théorique.

Oula oula, aucun mépris dans mes propos, juste un peu d'admiration pour une solution que je trouve originale !!
Je faisais juste remarquer que parfois, la fin ne nécessite pas forcément les moyens, et que rien ne sert de s'acharner à aller chercher les pouièmes lorsque les m suffisent... Sauf que parfois il faut bien savoir aller chercher ces pouièmes... Je suis bien placé pour en parler, j'ai justement eu récemment le problème, un calcul ou j'ai négligé une erreur infime pour une approximation qui m'arrangeait, au final impossible de retomber sur mes pattes.

Cela dit tu as raison, rien ne précisait si ici il s'agissait d'un calcul exact ou d'une proche approximation.

[Médiat]

Oula non bien sur !!!

Rassure-toi l'allusion à ta signature, n'était là que pour sourire (et je la crois aussi à Timsit qui lui-même l'attribuait à son grand-père).

Ce n'est pas que l'on m'appelle matheux qui m'énerve, mais qu'on me dise "Tiens toi qui est matheux, ça fait combien 12356482 x 6589789,13"

Oula oula, aucun mépris dans mes propos

Je n'en avais pas perçu, et d'ailleurs je ne visais aucun intervenant dans ma remarque (sinon je l'aurais cité), c'était juste une remarque générale afin d'éviter d'éventuelles dérives

[nico2685]

[mode 2nd degré on]
Bah ça fait 81426610768640,66 pourquoi ??? Je vois vraiment pas ou est le problème !!!
[mode 2nd degré off]

Content d'avoir été bien compris... Chacun son truc, moi j'avoue être un peu faché avec la théorie, l'exactitude, mais encore une fois c'est sans doute mon incapacité à faire de grandes démonstrations qui m'incite à favoriser l'application, les ordres de grandeur et les approximations raisonnables... Que les matheux continuent à apporter d'implacables démonstration aux problèmes des Futuraiens, moi je continuerai à chercher des solutions "bidouilles" qui marchent, avec les 2 méthodes on devrait arriver à peu près à tout... Tant que le problème est bien posé mais ça c'est un autre débat !!!

PS : Pour le calcul j'ai même pas essayé de tête, la calculette, désolé...

[polo974]

Note aux ingénieux qui seraient tenté par un certain mépris pour les solutions exactes : rien dans l'énoncé ne laissait supposer que la question était pratique et non théorique, au contraire, la mise entre guillemets du mot "papier" laisse comprendre que le problème n'est pas pratique, mais purement théorique.

D'abord, sans math, pas de science appliquée (ingénieries diverses), ça c'est clair.

Mais, comme dans l'énoncé, il n'était pas fait mention de l'épaisseur du "papier", et que la périphérie était assimilée à un cercle d'un certain diamètre, il n'était pas idiot de chercher une solution dans ce sens, en faisant l'impasse sur la spirale.

C'est une fois le coté pratique de la question venu, que j'ai proposé une solution où la pesée permet parfois de résoudre pratiquement un problème de mesurage autrement complexe ou fastidieux.

Tout cela, sans aucune animosité anti-math (dont j'aimerais bien parfois avoir une petite dose en intraveineuse, mais c'est pas au point, on m'a dit...).

Et franchement, celui qui demande combien fait 12356482 x 6589789,13
c'est un ch... (ou un banquier (et je n'ai pas dit que c'était pareil)) (il faut que je note de ne jamais poser cette question sur le forum )

Et pour conclure, car là, je m'étale, je trouve intéressant la juxtaposition de différentes démarches de recherche d'une solution.

[Médiat]

Et pour conclure, car là, je m'étale, je trouve intéressant la juxtaposition de différentes démarches de recherche d'une solution.

Absolument, j'oserais même dire que c'est l'un des intérêts de ce ce genre de forum.

[_Goel_]

'ai donc pesé ces cartons et divisé par 5g (poids (masse pour les puristes) d'une feuille A4 en 80gr/m²)

non, 5g, c'est bien le poids (mesuré en kilogrammes, et qui serait plus faible sur la lune)
la masse de la feuille de papier est de 5*9.81 = 49 Newtons (masse identique sur la Lune !)