Paradoxe :Tous les triangles sont isocèles

[invitefd1f8b44]

Bonjour
Voici une petite énigme pour laquelle il faut trouver l'erreur de raisonnement

Voir pièce jointe

Soit le triangle quelconque ABC
AO la bissectrice de l'angle Â
OM la médiatrice du côté BC
OH1 et OH2 les hauteurs issues de O sur les côtés AB et AC

COMPARONS LES TRIANGLES AOH1 et AOH2
Ils sont rectangles avec l'hypothénuse commune et les côtés OH1 et OH2 égaux (propriété de la bissec)
Les 2 triangles sont donc égaux et par suite
AH1 =AH2

COMPARONS LES TRIANGLES B H1 O et C H2 O
Ils sont rectangles avec l'hypothénuse OB et OC égale (propriété de la médiatrice ),les côtés
OH1 et OH2 égaux (voir plus haut) .En conclusion ils sont égaux et par suite
H1B=H2C

Soit en final AH1+H1B=AH2+H2C soit AB =AC et le triangle est isocèle

Ou est l'erreur ???


EDIT
j'ai trouvé les fautes d'orthographe, c'est déjà pas mal, non ?
-----

[Ciry]

Bonjour,

Je me lance:

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Evidemment si médiatrice, bissectrice et hauteurs sont concourantes, le triangle est isocèle... Sinon le point O n'existe pas, enfin il y en a trois...

A bientôt,
Ciry

[Médiat]

Je me lance:

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Il n'y a pas de hauteur dans ce dessin ... incorrect

[invite986312212]

sinon, avec une distance ultramétrique, un triangle ne peut être qu'isocèle "pointu" (le côté différent des deux autres est le plus petit)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Plop !

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Deux triangles sont égaux si deux côtés sont égaux et l'angle entre ces deux côtés aussi. (Ou bien : deux angles égaux et les côtés communs aux deux angles sont égaux)

Donc c'est bon pour les triangles AOH₁ et AOH₂ (tous les angles égaux et deux côtés égaux, c'est suffisant).

Par contre, pour les triangles H₁OB et H₂OC, ça pose un problème.
On sait que les angles en H₁ et H₂ sont droits, donc égaux. Or, on sait juste que OB = OC et OH₁ = OH₂. Il aurait fallu dire que l'angle H₁OB est égal à l'angle H₂OC

[dgidgi]

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les triangles B H1 O et C H2 O ne sont pas égaux, comme vient de le faire remarquer Mimoimolette. Ces deux triangles ont deux côtés égaux et c'est tout. Il aurait fallu que les angles compris entre ces deux côtés fussent égaux(pour respecter les conditions du deuxième cas d'égalité des triangles), ou bien que les troisièmes côtés des triangles fussent égaux aussi (premier cas d'égalité des triangles)

Plus personne n'utilise les cas d'égalité des triangles !!! C'est marrant de les retrouver dans la rubrique humour.

[invite1237a629]

Triangles égaux ou identiques, c'est du pareil au même, non ? ^^

[invite0e5404e0]

Bonsoir!

COMPARONS LES TRIANGLES B H1 O et C H2 O
Ils sont rectangles avec l'hypothénuse OB et OC égale (propriété de la médiatrice ),les côtés
OH1 et OH2 égaux (voir plus haut) .En conclusion ils sont égaux et par suite
H1B=H2C

Ben, non c'est pas suffisant comme hypothèse pour conclure, Mimoimolette a raison.

Ou est l'erreur ???
EDIT
j'ai trouvé les fautes d'orthographe, c'est déjà pas mal, non ?

Presque, y a un accent sur le "u"... (désolée, j'ai pas pu m'en empêcher...) OK
Au fait, le débat "égaux" ou "identiques" préoccupent bien quelques profs de lycée à ma connaissance...

[invite1237a629]

j'ai trouvé les fautes d'orthographe, c'est déjà pas mal, non ?

Tu as loupé la faute sur "hypothénuse", c'est "hypoténuse" (ça fait encore plus bondir les profs de maths ça xD)

[dgidgi]

Ce n'est pas égaux ou identiques, le débat ( il serait d'ailleurs plus correct de parler de triangles superposables, ou isométriques).

C'est l'utilisation des cas d'égalité des triangles (il y a 3 cas d'égalité) qui ne sont plus utilisés depuis mai 68.

Ils sont remplacés par des recours aux transformations isométriques justement, comme les symétries, translations, rotations.

Mais il y a des démonstrations qui restent infaisables sans eux, sans doute comme celle qui était proposée ici.

[invitefd1f8b44]

Non ce n'est pas du tout cela

[invitefd1f8b44]

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Il n'y a pas de hauteur dans ce dessin ... incorrect

Leshauteurs son OH1 OH2 et cele suffit

[invitefd1f8b44]

Plop !

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Deux triangles sont égaux si deux côtés sont égaux et l'angle entre ces deux côtés aussi. (Ou bien : deux angles égaux et les côtés communs aux deux angles sont égaux)

Donc c'est bon pour les triangles AOH₁ et AOH₂ (tous les angles égaux et deux côtés égaux, c'est suffisant).

Par contre, pour les triangles H₁OB et H₂OC, ça pose un problème.
On sait que les angles en H₁ et H₂ sont droits, donc égaux. Or, on sait juste que OB = OC et OH₁ = OH₂. Il aurait fallu dire que l'angle H₁OB est égal à l'angle H₂OC

Si car 2 triangles rectangles avec l'hypothénuse egale ainsi qu'un autre côté ne peuvent être qu'égaux
Essaire de faire la construction

[invitefd1f8b44]

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les triangles B H1 O et C H2 O ne sont pas égaux, comme vient de le faire remarquer Mimoimolette. Ces deux triangles ont deux côtés égaux et c'est tout. Il aurait fallu que les angles compris entre ces deux côtés fussent égaux(pour respecter les conditions du deuxième cas d'égalité des triangles), ou bien que les troisièmes côtés des triangles fussent égaux aussi (premier cas d'égalité des triangles)

Plus personne n'utilise les cas d'égalité des triangles !!! C'est marrant de les retrouver dans la rubrique humour.

Voir réponse precedente (Il s'agit de 2 triangles rectangles

[invitefd1f8b44]

Ce n'est pas égaux ou identiques, le débat ( il serait d'ailleurs plus correct de parler de triangles superposables, ou isométriques).

C'est l'utilisation des cas d'égalité des triangles (il y a 3 cas d'égalité) qui ne sont plus utilisés depuis mai 68.

Ils sont remplacés par des recours aux transformations isométriques justement, comme les symétries, translations, rotations.

Mais il y a des démonstrations qui restent infaisables sans eux, sans doute comme celle qui était proposée ici.

Ma formation date éffectivement d'avant mai 68
On parlait alors de triangles égaux quand ils étaient supperposables et de triangles semblables quand on pouvait définir le second par une homothétie(Je ne me souviens plus ou est le h)
Dans le probléme posé il s'agit de triangles égaux donc supperposables

[Médiat]

Leshauteurs son OH1 OH2 et cele suffit

Je voulais répondre à Ciry et lui faire remarquer qu'il n'y a pas de hauteurs dans ce dessin, et que :

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ce dessin est incorrect (ce qui est la réponse).

[Garf]

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Et si le point d'intersection O entre la bissectrice et la médiatrice était à l'extérieur du triangle ? J'ai pas trop réfléchi dessus, mais ça ne semble pas impossible...

[invite0e5404e0]

Bonjour!
C'est juste le dessin dans ce cas qui est faux (les angles droits ne le sont pas) : BH1=CH2. Simplement H2 (resp.H1) n'appartient pas forcément au segment [AC] (resp. [AB]), si c'est le cas pour H1 et H2 alors oui le triangle est isocèle, sinon non.
Comme quoi, raisonner juste sur un dessin faux... c'est pas gagné!

[dgidgi]

Je suis dans l'erreur et la critique des cas d'égalité est un mauvais prétexte ici.

Le point O est apparemment toujours à l'extérieur du triangle et les triangles égaux de la démonstration le sont bien.

Mais il n'y a pas lieu d'additionner les longueurs égales car A, H1 et B ne sont pas dans le même ordre que A, H2 et C.

Une démonstration propre du fait que O est extérieur au triangle, ou bien indéterminé (si bissectrice et médiatrice sont confondues, alors tout point de la droite commune peut jouer le rôle de O)??? (autre que le raisonnement par l'absurde affirmant alors qu'il n'y aurait que des triangles isocèles).

[SunnySky]

Le point O est effectivement à l'extérieur du triangle. Pour que ce point soit à l'intérieur, il faudrait que la bissectrice partage le segment opposé à droite (sur ta figure) du point milieu du segment BC. Mais une bissectrice correctement dessinée passera à gauche de ce point milieu en raison du théorème de la bissectrice. Ce théorème indique que le côté BC sera partagé dans les proportions de AB sur BC. Autrement dit, si on note Q le point d'intersection entre la bissectrice et le segment BC: AB/BQ=AC/CQ

Ce site permet de mieux voir la situation. Déplacez les points A, B ou C pour mieux voir.

[invitefd1f8b44]

Bonjour
C'est bien d'avoir essayé de résoudre ce petit paradoxe mais voici la solution :

Le raisonnement tenu est parfaitement juste mais la figure esr erronée comme certains l'ont signalé
En effet la bissectrice et la médiatrice ne se coupent pas à l'intérieur du triangle mais à l'extérieur .(Voir dessin joint)
Dans ce cas on ne peut plus faire le raisonnement initial
Pour mémoire l'intersection se trouve sur le cercle circonscrit au triangle ABC

[dgidgi]

Bonjour
...
Pour mémoire l'intersection se trouve sur le cercle circonscrit au triangle ABC

Merci pour cette autre preuve de la position extérieure du point d'intersection.
Une idée de démonstration ?

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eu utilisant l'égalité des angles inscrits

[invitefd1f8b44]

Oui en comparant les angles issus de A et ceux issus du centre du cercle Pour même arc l'angle au centre es égal au double de l'angle dont le sommet est sur la circonférence

[dgidgi]

Je pense qu'il n'y a même pas besoin de faire appel aux angles au centre.

Les arcs de cercle BO et CO sont égaux, si on prend l'hypothèse que O est sur la médiatrice de [BC] et par suite les angles inscrits BAO et OAC qui interceptent des arcs de cercle égaux sont égaux, d'après la propriété : si des angles inscrits interceptent des arcs égaux, alors ces angles inscrits sont égaux.

Par suite, la droite (AO) qui partage l'angle BAC en deux angles de même mesure est bien la bissectrice de cet angle. CQFD.

La démonstration de Sunnysky utilisant Thalès est belle aussi. Je l'ai retrouvé dans un vieux Lebossé et Hémery de 3ème (le livre jaune) dans des programmes datant de 1962.