Retrouver un polynôme à partir de deux valeurs ?

[invite4492c379]

Hello,

Je vous propose un petit challenge : je choisis un polynôme P à coefficients entiers et positifs. Vous pouvez me demander la valeur que prend P pour deux réels et deux réels seulement. Comment choisir ces deux réels afin que mes réponses suffisent pour déterminer de manière unique chaque coefficient du polynôme intialement choisi ?
-----

[interferences]

Bonjour,

J'avoue que je ne vois pas.
Au départ cela m'a fait penser aux polynômes interpolateurs de Lagrange, mais il s'agit de polynômes de degrés minimaux.
Or on a pas le degré du polynôme...et dans ce cas le choix des points n'aurait aucun importance.
J'ai du mal à voir ce que le fait d'avoir des polynômes à coefficient entier et positif rajoute.
Je continue à chercher

[Tryss]

Un seul réel suffit

 Cliquez pour afficher

Un seul nombre réel transcendant doit convenir :

Soit transcendant, si on avait , alors , et donc serrait algébrique, ce qui est contradictoire. La valeur de chaque polynôme à coefficient entiers positifs (et même rationnel) au point est donc unique, on peut donc théoriquement déterminer les coefficients à partir d'une seule valeur

Truc marrant : si en plus on donne une valeur maximale aux coefficients, il suffit d'une seule valeur, qui est même entière (un nombre de la forme 10^n plus grand que tout les coefficients convient, et il est alors trivial de retrouver la valeur des coefficients)

[invite4492c379]

Un seul réel suffit

 Cliquez pour afficher

Un seul nombre réel transcendant doit convenir :

Soit transcendant, si on avait , alors , et donc serrait algébrique, ce qui est contradictoire. La valeur de chaque polynôme à coefficient entiers positifs (et même rationnel) au point est donc unique, on peut donc théoriquement déterminer les coefficients à partir d'une seule valeur

Hello,

Grrr, bien vu
Mais ça c'était pour la suite ....
(j'aurais aimé pouvoir écrire «mais n'était-ce pas possible avec un seul ?»).

Pourtant j'ai essayé d'écrire l'énoncé pour que lecteur reste dans une boîte qu'il a lui même construit ...

Disons alors qu'au lieu de réels ce sont des entiers pour lesquels je donne la valeur de P.

Truc marrant : si en plus on donne une valeur maximale aux coefficients, il suffit d'une seule valeur, qui est même entière (un nombre de la forme 10^n plus grand que tout les coefficients convient, et il est alors trivial de retrouver la valeur des coefficients)

Là tu es proche de la solution avec des entiers ...

 Cliquez pour afficher

le tout est de majorer les coefficients non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Ah, on a les résultats du premier nombre avant de choisir le second nombre ? Je pensais que l'on donnait deux nombres à calculer d'un coup (si j'avais su, j'aurai mis ma remarque en spoiler du coup :s )

 Cliquez pour afficher

On donnerai alors d'abord à calculer l'image de 1 (ça nous donne la valeur de la somme des coefficients, donc une majoration vu que tout les coefficients sont positifs), puis l'image de P(1)+1, et on obtiendrait les coefficients de P par division euclidiennes successives de P(P(1)+1) par P(1)+1

Pourtant j'ai essayé d'écrire l'énoncé pour que lecteur reste dans une boîte qu'il a lui même construit ...

Je fais pas mal de maths, donc je ne suis pas représentatif des lecteurs moyens (ma boite est un peu différente, même si il y a toujours une boite)

Une autre question sur le sujet : si le polynôme n'a plus ses coefficients positifs, mais seulement entiers, combien faut il au minimum de valeurs entières pour le déterminer ?

[invite4492c379]

Ah, on a les résultats du premier nombre avant de choisir le second nombre ? Je pensais que l'on donnait deux nombres à calculer d'un coup (si j'avais su, j'aurai mis ma remarque en spoiler du coup :s )

 Cliquez pour afficher

On donnerai alors d'abord à calculer l'image de 1 (ça nous donne la valeur de la somme des coefficients, donc une majoration vu que tout les coefficients sont positifs), puis l'image de P(1)+1, et on obtiendrait les coefficients de P par division euclidiennes successives de P(P(1)+1) par P(1)+1

P(1) donne une majoration des coefficients. Ensuite pour tout N>P(1), P(N) est l'écriture en base N du nombre formé de la concaténation de tous les coeffcients (y compris ceux nuls). Donc pour se simplifier la tâche, il suffit de prendre la plus petite puissance de 10 strictement plus grande que P(1).

Je fais pas mal de maths, donc je ne suis pas représentatif des lecteurs moyens (ma boite est un peu différente, même si il y a toujours une boite)

Une autre question sur le sujet : si le polynôme n'a plus ses coefficients positifs, mais seulement entiers, combien faut il au minimum de valeurs entières pour le déterminer ?

Mmm, le degré du polynôme n'est toujours pas spécifié ?