Je m'ennuie faites moi réfléchir, please

[Médiat]

Médiat : dans le cas là, la place 1 prend le rôle de la place k pour la k-ième personne.

Justement, je ne trouve pas cela évident puisque la kième personne ne peut pas prendre le N° k, alors que la première peut prendre le N° 1
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[thepasboss]

Bon, en détaillant, on a le petit lemme suivant :

Si quand la p-ième personne rentre dans l'avion, toutes les places de 1 à p-1 sont prises, alors la p-ième personne ainsi que tous les suivants peuvent s’asseoir à la place qui leur est du (car la p est libre, donc il s'y assoit, puis pour p+1 la place est libre aussi, donc il s'y assoit, etc...).

Mettons donc que k rentre dans l'avion, soit il s'assoit à la place 1 et tous ceux qui suivent ont la place libre (du fait du lemme précédent).
Soit il s'assoit à une autre place, mettons q>k. Alors toutes les personnes de k+1 à q-1 vont pouvoir s'asseoir à leur place. Et donc là si la q-ième personne s'assoit à la place 1, c'est bon et tous les autres peuvent prendre leur siège. Sinon, il prend une nouvelle place r>q, etc etc...

On le voit tout se passe exactement comme si on était dans le cas d'un avion à n-k passagers.

[Médiat]

Bonjour,

Soit il s'assoit à une autre place, mettons q>k. Alors toutes les personnes de k+1 à q-1 vont pouvoir s'asseoir à leur place. Et donc là si la q-ième personne s'assoit à la place 1, c'est bon et tous les autres peuvent prendre leur siège. Sinon, il prend une nouvelle place r>q, etc etc...

Je suis à peu près (sur l'explication, je n'ai aucun doute sur le résultat) d'accord avec cette partie qui ne m'avait pas sauté aux yeux et qui devrait être un peu développée :

1) Vous dites "tous les autres peuvent prendre leur siège", quid s'il n'y a pas d'autres ?
2) Après le premier choix il reste un avion avec la place 1 libre et tous les passagers sauf le N° k ont leur place encore disponible, mais après le deuxième choix, il y a peut-être, deux tels passagers, est-ce vraiment toujours pareil ?


On peut l'expliquer aussi en disant que l'on rebaptise "k" la place N°1 en imposant au passager k de tirer sa place au hasard et on se retrouve exactement dans une position "initiale" translatée, il suffit de faire -(k-1) sur tous les N° de place et tous les N° de passager.

Ces deux manipulations peuvent d'ailleurs se faire physiquement : on vire les gens assis, on renumérote tout (places et passagers) comme dans l'explication précédente et on est bien dans une position initiale.

[gerald_83]

oups, bug,

Désolé

[NicoEnac]

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A chaque configuration, on va associer une suite d'entier. C'est à dire :

Soit p le nombre de personne qui n'ont pas pu se mettre à la bonne place (possiblement, p=0).
La première personne va à la place .
La deuxième personne qui a un problème de place (donc la ième) va à la place .
Ainsi de suite.

On associe à cette configuration la suite :



Le dernier passager est alors à la bonne place si est seulement si le dernier terme de la suite est différent de n.

Or on a une bijection évidente entre les suites qui ne finissent pas par n et celle qui finissent par n (elle consiste simplement à ajouter n à la fin de la suite).
Ie il y'a autant de configurations ou le dernier est à la bonne place que de config où il n'y est pas. Ie la probabilité est 1/2.

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J'ai une question simple dont la réponse ne me parait pas évidente : votre raisonnement suppose que toutes les suites sont équiprobables, qu'est ce qui permet de l'affirmer ?

[NicoEnac]

D'ailleurs cette récurrence m'a fait penser à une petite énigme mathématique gentillette. Evidemment pour les calés en science que vous êtes, ce sera immédiat mais je l'écris tout de même :

On souhaite montrer que tous les chevaux ont la même couleur.
H_n : hypothèse de récurrence au rang n : dans un groupe composé de n chevaux, tous ont la même couleur.
H₁ est vraie : dans un groupe composé d'un seul cheval, tous les chevaux sont de la ma même couleur.
Supposons maintenant H_n vraie.
On considère maintenant un groupe de n+1 chevaux que je numérote c₁, c₂, .... c_n+1.
Si on forme un groupe composé des chevaux {c₁, c₂, ...., c_n}, ils sont tous de la même couleur (cf H_n).
Si on forme un groupe composé des chevaux {c₂, c₃, ...., c_n+1}, ils sont également tous de la même couleur.
Or ces 2 groupes ont en commun c₂, c₃, ...., c_n. J'en conclus donc que les n+1 chevaux ont la même couleur, vérifiant ainsi H_n+1.

Conclusion : tous les chevaux ont la même couleur.

Où est la faille dans mon raisonnement ?

[Taiguen]

Bonjour,

Alors voici ma solution, qui repasse par des idées déjà citées

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Déjà, comme il n'y a pas de notion de voisin, on peut remarquer que l'on peut très bien renuméroter les places à notre goût.
Disons que pour le problème à n passagers le premier à la place 1, le second la place 2 ...
Si le premier passager s'assoie au 1:
le dernier aura sa place, pas de soucis
proba => 1/n*1
Si le premier passager s'assoie au 2:
Alors il faut remarquer que le passager 2 se retrouve dans la même configuration du problème (avec un passager en moins) ... si on considère qu'on lui réattribue à ce 2 la place du 1 (*)
proba => 1/n*P(n-1)
Et si le premier passager s'assoie au k?
tous les passagers 2 .. k-1 auront leur place
alors le passager k se retrouve dans le même problème (mais à n-k+1 passagers) en lui réattribuant la place du 1
proba => 1/n*P(n-k+1)
Et si le premier passager s'assoie au n?
le dernier n'aura jamais sa place
Proba => 1/n*0

D'où je tire la formule:
P(n) = 1/n*1 + 1/n*P(n-1) + 1/n*P(n-2) .... + 1/n*P(2) + 1/n*0

Je vous passe la récurrence, tous les P(k) = 1/2 etc...
on tombe sur P(n)=1/2

(*)
En effet, le 2 va alors s'assoir sur une place hasard comme le 1 dans notre problème initialement
S'il prend la place du 1, tous les autres auront leur place, on retrouve bien notre problème
on peut donc considérer que sa place réservée est en fait la 1.

[trebor]

Bonjour à tous,
J'ai reçu ceci par @mail :

Prends ta calculatrice, mets ta pointure de chaussures et multiplie par 5, rajoute 50,

multiplie le total par 20, rajoute 1012, puis soustrais ton année de naissance.

Maintenant tu as un nombre avec 4 chiffres :

Les 2 premiers te donnent ta pointure de chaussures et les 2 derniers te donnent ton âge !!!!

Blizzard non comment expliquer cela ?

A+

[Médiat]

Bonjour,

Cela ne marche plus puisque nous sommes en 2013, à la deuxième étape il faut donc ajouter 1013 au lieu de 1012, et de toute façon, cela ne marche pas avec les centenaires ...

[trebor]

Ben moi ça marche avec 1012 pointure 42 et 59 ans, autrement il me donne 60 que je n'ai pas encore mais que j'aurai fin d'année peut-être qui sait ?

Mais c'est vrai que pour ceux né plus tôt il faut ajouter 1013

[Médiat]

Ce pourrait être un exercice du collège/lycée :

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Soit p votre pointure, et a votre âge, les calculs donne :

5p + 50
puis
100p +1000
puis
100p + 2012
puis
100p + (2012 - a).

Si p est un nombre de 2 chiffres et si votre anniversaire 2013 n'est pas passé et si votre âge (2012 - a) est sur 2 chiffres, le résultat annoncé est valide.