Avec seulement trois .....

[azad]

Salut
Peut-on écrire tout les nombres entiers naturels (de 1 à l' ∞) à l'aide d'une fonction qui serait composée exclusivement d' opérations élémentaires. Par opérations élémentaires, j'entends celle dont a connaissance un élève de classe de terminale.
Avec -tout de même- une petite figure imposée. Sinon ce ne serait pas drôle.
Condition donc : la fonction à trouver doit utiliser exclusivement 3 fois le nombre …..
je ne sais pas encore : ce sera le résultat modulo 9 de la somme des chiffres de l'heure où j'ai posté.
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[azad]

Flute 20h25, pas de chance. Alors prenons 2+5 = 7
Donc tout les entiers naturels avec seulement trois fois le nombre 7.....

[azad]

Et tant qu'à faire : tout les entiers.(relatifs inclus)

[azad]

ben ! Ca manque d'allégresse !
Allez tous les entiers en combinant exactement trois fois le nombre 2013 et seulement lui. Avouez que je vous aide. Le 31 décembre prochain, on complique avec le nombre 2014.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Titiou64]

Ben déjà que je vois pas comment faire le 1... Alors pour les autres...

[azad]

Le zéro et le -1 sont les plus faciles, les entiers négatifs nécessitent une opération de moins que les positifs.

[azad]

J'aurais dû poster cela en mathématiques pour CM2, j'aurais eu droit au moins à des tentatives. Réponse à la fin de la semaine. Y a que les jeunes qui osent là où les vétérans sèchent.

[NicoEnac]

Bonjour,

Dsl mais l'énoncé m'échappe.
Vous cherchez donc une fonction unique pour former tous les entiers ? Du genre f(n) = a.n +b.n² ? Et il faudrait que f(1)...f(infini) forment l'ensemble des entiers ?
Ou alors il faut chercher à former tous les entiers en utilisant uniquement un chiffre (7 ? 2013 ?) et des opérations élémentaires différentes selon l'entier?

Question subsidiaire : quelles sont les opérations permises : +, -, *, /, modulo ? D'autres ?

Exemple (avec 2013) :
0 = 2013-2013
1 = 2013/2013
-1 = -2013/2013
2 = (2013+2013)/(2013)

Je sèche déjà pour 3. Mais je ne suis pas sûr que c'est votre question.

[azad]

Salut
Il s'agit effectivement de trouver une association d'opérations élémentaires à laquelle on doit associer 3 fois (ni plus ni moins) le même nombre (entier, réel et positif) quel qu'il soit de façon à retrouver tous les entiers réels. Les opérations sont à prendre parmi celles connues en classe de première ou de terminale. (+, -, /, *, élévation à la puissance (entière ou fractionnelle), fonctions trigo, logarithmiques, exponentielles) bref tout ce qu'un étudiant connaît. (pas de dérivées ou d'intégrales)
A noter que la forme de la fonction recherchée pour trouver un entier quelconque a "un air de famille" évident avec celles ayant permis de trouver les autres.
Pas de mélange disparates donc. Une fois trouvée la fonction donnant l'entier N, il suffit d' en changer un terme pour trouver l' entier réels N+1. Et cerise sur le gâteau, le calcul, se fait "de tête".
Cette fonction est très concise. Mais la rigueur m'impose de signaler que pour passer des entiers positifs aux entiers relatifs, un opérateur supplémentaire doit être appliqué à la fonction.
Je dois reconnaître que pour fois que je suis sérieux..... personne ne me croit.

[albanxiii]

Bonjour,

Dsl mais l'énoncé m'échappe.

Pareil pour moi, et comme j'ai moins de temps libre qu'un élève de CM2, je n'insiste pas.

@+

[azad]

Bon, je recommence avec un exemple. Soit à utiliser 3 fois le nombre 17 pour obtenir successivement les nombres 5 puis 6 puis 7......
Si <op1>, <op2> .... <op(n)> sont des opérations permises (parmi celle que j'ai donné plus haut), vous avez à trouver une fonction
<op(i)>17<op(j)>...<op(k)>17<o p(l)> ...<op(m)> 17 = 5
<op(j)>17<op(x)>...<op(i)>17<o p(l)> ...<op(m)> 17 = 6
<op(k)>17<op(y)>...<op(z)>17<o p(b)> ...<op(i)> 17 = 7
Vous pouvez constater qu'à chaque fois, le nombre 17 est utilisé 3 fois, seuls changent les opérateurs.
Toutes les combinaisons d'opérateurs sont permises, mais rassurez vous elles sont à la fois simples, connues et peu nombreuses.
Et, petite aide : si vous avez trouvé la fonction qui donne, par exemple le nombre 9, vous obtiendrez le nombre 10 avec simplement une très légère modification de la fonction qui vous a permis de trouver ce 9. Et la suite à l'avenant. Et je précise : pas d'astuce, pas de triche c'est une véritable fonction mathématique.
Mais NicoEnac à écrit

Vous cherchez donc une fonction unique pour former tous les entiers ? Du genre f(n) = a.n +b.n² ? Et il faudrait que f(1)...f(infini) forment l'ensemble des entiers ?
Ou alors il faut chercher à former tous les entiers en utilisant uniquement un chiffre (7 ? 2013 ?) et des opérations élémentaires différentes selon l'entier?

Ce n'est pas tout à fait cela et c'est un peu les deux :
On doit trouver des fonctions f(17) =1, g(17) = 2, h(17) = 3....... ƒ(17) = 45, ∂(17) = 46.....
et dans chacune des fonctions le nombre 17 doit distinctement apparaître 3 fois.
Et quand il écrit

0 = 2013-2013
1 = 2013/2013
-1 = -2013/2013
2 = (2013+2013)/(2013)

il a trouvé une solution qui marche pour -2 et +2.... mais pas pour 1 et 0 car 2013 n'est pas utilisé 3 fois. il faut juste généraliser et étendre la solution à tous les entiers relatifs.
Je donne la solution quand vous le voulez, si vous baissez les bras.

[Titiou64]

Moi je baisse les bras...
Si tu peux au moins donner la solution pour 1 peut être que ça aiderait...

[azad]

Oui, je pourrais, mais ce serait donner la solution complète. Parce qu'en fait, je réalise que si cette énigme, ne mobilise pas l'intérêt général, c'est tout simplement parce que son énoncé, tellement simple et tellement facile à comprendre est tel qu'immédiatement tout individu se dit : c'est idiot, et c'est impossible…. donc le farfelu qui pose cette énigme, ne peut être qu'un plaisantin et il va nous sortir une réponse abracadabrante.
J'avoue que c'est intentionnellement que j'ai évoqué l'idée de prendre n'importe quel nombre, comme 2013, ou 2014, parce qu'avec eux on se persuade encore plus de l'impossibilité de trouver une solution raisonnable. Sans vouloir faire de la philosophie, ou de la psychanalyse, on pointe là la difficulté qu'à l'humain à creuser un peu dans l' irrationnel ou le "sans-issue" à priori, pour finalement se retrouver en plein dans le réel et le concret.
Quand vous verrez la formule utilisée (très simple à lire et à comprendre) vous pigerez que partout ma définition du problème était claire, nette, et sans ambiguïté. Et que ceux qui ne l'ont pas comprise, ont été en fait, abusés par leur présupposé savoir.
Par contre ce que je comprends pas c'est que ce problème que je connais depuis mon enfance ne soit pas connu de tous. Quand on voit les énigmes éculées que certains nous ressortent dans ce forum, c'est surprenant.

[azad]

Bon allez.... je vous donne la solution.
L'éditeur LaTeX de Futura ne me convenant pas, je vous poste une image faite chez moi avec Mathematica.

[azad]

Enigme.jpg
hum, j'ai des problèmes avec la pièce jointe

[danyvio]

Je me suis remis dans l'esprit d'un élève de cm2, j'ai re-re-re-relu l'énoncé que j'ai compris comme : trouver un nombre en utilisant 3 fois ce même nombre. Alors c'est facile :

On veut trouver N alors on calcule N+N-N

[azad]

hé oui, c'est ça l'avantage de la jeunesse, ça ne sait pas bien lire, mais ça a des idées à revendre.

[Svenn]

Pièce jointe 225014
hum, j'ai des problèmes avec la pièce jointe

Moi aussi j'ai un problème avec la pièce jointe.

ça n'a jamais fait mais ça fait et à partir de là


Même problème avec 2013 et 7.

En fait, le seul cas où ça marche c'est quand on utilise 3 fois le nombre 2.

[azad]

Exact, en fait si la base des logs est n, chaque radical représente la racine n ième. Et si ça marche avec 2 c'est tout simplement parce que (quand on ne précise pas) √ signifie "racine carrée" . Honte à moi. Pour que ça marche il faudrait écrire autant de fois n (au dessus du √), que l'entier n que l'on souhaite obtenir.