Economie, quand tu nous tient...

[azad]

L' économie, est à la mode et il semble normal qu'on applique ses règles dans tous les domaines possibles. Au vu de ce qui nous attend, mieux vaut apprendre au plus vite les gestes qui vous font faire des économies.
Ici, le problème est de couper un triangle équilatéral en deux, et ceci de la façon la plus économique qui soit. Alors explication.
Couper en deux veut dire couper de façon à obtenir deux surfaces égales.
Et couper économiquement signifie que la longueur de la coupe doit être la plus courte possible.
Faut pas user nos ciseaux prématurément pas vrai ? Les rémouleurs vont se faire rares et chers.

Tous les coups sont permis, mais une fois coupé, c'est la longueur du trait de coupe qui compte. Donc plier le triangle avant de le couper, ne servirait à rien puisque c'est la longueur de la coupe, mesurée après le partage, qui déterminera le vainqueur.
Application numérique :
Avez vous remarqué la fourberie des profs de maths qui essaient toujours de vous amadouer en vous présentant des figures, des surfaces, des poids ou des distances toujours égales à 1 ?
Donc notre triangle équilatéral a un coté égal à 1. Quelle sera alors la longueur de la coupe ?
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[vincent66]

Bonsoir
COS(30°) soit racine carrée de 3 sur 2 ...

[azad]

Désolé, trop grand. On peut faire mieux que √3 / 2. Tu nous a donné la hauteur, mais il y a mieux.

[Amanuensis]

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racine de 1/2

, puisqu'on est en deux dimensions.

(J'ai pris l'énoncé comme demandant des aires égales, et non des surfaces égales...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[azad]

Bon, alors, toi tu as pris ce que l'on appelle je crois, le segment bissecteur. Autrement dit le segment parallèle à une des bases. C'est mieux que la hauteur, mais on peut encore faire mieux.
Par contre, je reste circonspect quand tu me parles du distinguo entre aire et de surface. Veux-tu dire par là, qu'aire serait de source géométrique et surface d'origine analytique ?

[Amanuensis]

L'aire est la mesure en m² (par exemple) ; la surface est un ensemble de points (disque, couronne, etc.).

On pourrait comprendre la question comme couper en deux surfaces égales, au sens de même forme, superposables. Je ne sais s'il y a alors d'autre solution que celle donnée au message #2.

[Amanuensis]

Par ailleurs, j'ai considéré que la coupe était faite d'une seule droite. A-t-on droit aux courbes?

[Amanuensis]

Si oui il me semble qu'il y a une possibilité vers 0.673.

[Coban]

On chauffe le triangle pour le ramollir, on le compresse dans la hauteur pour obtenir un trapèze bien plat puis on coupe le trapèze dans la largeur.

[azad]

Oui, on a droit aux courbes, et oui encore 0.673 est très proche du but.

[ansset]

ça sent le sinh ce truc !

[azad]

Pas vraiment, pas de chainette ou quelque chose d'approchant, la solution géométrique était déjà connue par les anciens Grecs, bien qu'ils n'aient pas eu , je crois, la possibilité d'en donner une démonstration rigoureuse. Cependant la valeur donnée par Amanuensis, approche tellement le résultat que je me demande pourquoi il n'a pas donné la solution exacte. C'est en tout cas plus petit que la mesure de la hauteur ou du segment bissecteur.

[Amanuensis]

Pour laisser à d'autres quelque chose à chercher...

(Mais je cherche toujours une démo rigoureuse qu'il s'agisse du minimum.)

[ansset]

je ne connais pas l'approche d'amanuensis, mais elle m'interesse.
j'étais parti sur une courbe de B à C pseudo sinusoidale et tangente au cotés.
restait à integrer un truc du genre rac(1+a²cos²(x)) pour avoir la longueur.
je suppose que la réponse doit être plus maligne qu ça.

[Amanuensis]

Pas vraiment. La réponse est simple en terme de figure, elle se décrit en quelques mots. J'ai donné la valeur en numérique pour la "cacher", la formule littérale indiquant assez bien la figure. Pas d'intégration, établir la formule à partir de l'idée est niveau collège.

[ansset]

je me doutais qu'il y avait un truc malin derrière.
je ne desespère pas.
cordialement

[Amanuensis]

Voilà la moitié (la non intéressante) de la démonstration:

Supposons une ligne dont les extrémités sont sur le même côté du triangle, ligne de longueur L, et divisant le triangle en deux parties d'aires égales, soit d'aire . En ajoutant le triangle miroir par rapport au côté, on obtient une ligne fermée de longueur 2L dont la surface intérieure est . La longueur minimale d'une telle ligne est la longueur du périmètre du cercle de même aire, soit , soit L plus grande que 1.64, ce qui montre qu'une telle solution est sans intérêt.

On en déduit que les deux extrémités de la ligne de coupe minimale sont sur deux côtés distincts...

[ansset]

peux ton faire 3 coups de ciseaux. ?

[polo974]

vu que couper le triangle en passant par un sommet n'est pas la solution, on se retrouve avec un morceau avec un sommet, et un autre avec 2 sommets, comme 2 sommets, c'est un peu trop compliqué pour moi, occupons nous du morceau avec un sommet.

la découpe est obligatoirement symétrique (si ça faisait gagner d'un coté, ça devrait aussi faire gagner de l'autre...).

la surface ayant le périmètre le plus court est le cercle, mais ici, on est un peu coincé entre 2 segments, et bien faisons avec, la surface est donc un quartier de cercle ayant un des sommets pour centre.

ensuite, ce sont quelques petits calculs qui amènent à la valeur approchée donnée par Amanuensis (qui, n'en doutons, ne l'a pas sortit du chapeau...).

3 chiffres après la virgules en plus: 0,673387

[Amanuensis]

la découpe est obligatoirement symétrique (si ça faisait gagner d'un coté, ça devrait aussi faire gagner de l'autre...).

Juste pour le principe: ce n'est pas une démonstration valable. Le cas classique de la longueur minimale des routes pour joindre les 4 coins d'un carré montre qu'un problème symétrique peut admettre des solutions moins symétriques (par contre l'ensemble des solutions a la même symétrie que le problème).

[ansset]

bien vu tout ça .
franchement bravo !

[Amanuensis]

La deuxième partie de la démo, alors.

On a vu que la ligne de coupe minimale a ses extrémités sur deux côtés distincts. On va alors prendre 6 copies de la figure, dont 3 obtenues par symétrie miroir, les assembler en un hexagone avec au centre le sommet commun aux deux côtés ayant une extrémité, et en alternant une copie directe et une copie symétrisée. En faisant ainsi, on n'a pas besoin de supposer que les extrémités sont à même distance du sommet.

On obtient alors une ligne fermée dont l'aire intérieure est 3 fois l'aire du triangle équilatéral, et la longueur égale à 6 fois la longueur de la ligne de découpage.

Et on applique le faite que 6L est plus grand ou égale à la longueur du périmètre d'un cercle dont l'aire intérieure est 3 fois l'aire du triangle équilatéral.

QED