Le problème de l'avion

[Juzo]

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1) Soit le 1 se place en 1 (et le 100 est à sa place), soit le 1 prend la place 100 (et le 100 n'est pas à sa place) 1 chance sur 2
2) Soit le 1 est à la place 99, et tous les passagers entre 2 et 98 sont à leur place, le 99 n'a le choix qu'entre la place 1 (et 100 est à sa place) et la place 100 (et 100 n'est pas à sa place) soit 1 chance sur 2.
3) Soit le 1 est à la place 98, et tous les passagers entre 2 et 97 sont à leur place, le 98 peut choisir la place 1 et 99 et 100 sont à leurs places, soit la place 100 (et 100 n'est pas à sa place), soit 1 chance sur 2 parmi ces cas, soit le 98 se place en 99 et le 99 se trouve avec le même genre de choix qu'au cas précédent soit 1 chance sur 2
4) etc.
A chaque étape on trouve 1/2, il n'est donc même pas utile de calculer les probabilités de chaque étape puisque le calcul final donnera forcément 1/2

Oups désolé Médiat, j'étais pressé, je n'avais pas lu complètement ta réponse. Bien joué, ton explication me paraissait incomplète même si bien sûr tu as saisi le principe. Pour clarifier ce que tu dis :

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quelque soit le passager concerné, soit celui-ci prend soit la 1 soit la 100, soit son choix nous ramène à l'un des cas précédents (un passager ultérieur est impacté). Le 1er cas vaut 1/2 et par récurrence si tous les cas précédent le passager n valent 1/2, aucun des choix du passager n ne peut favoriser l'issue "place libre" ou l'issue "place prise".

Bravo, je vous dès que possible les différentes formulations de la réponse que j'ai.
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[Juzo]

Le problème vient du livre "énigmes mathématiques corrigées" de G et C Deslandes, ed Ellipses

SOLUTIONS :

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Ma réponse :
On considère la dernière personne ayant du choisir sa place au hasard avant le dernier passager. Cette personne a le rang k. Il y avait alors n-k + 1 places en jeu, dont les n-k-1 de ceux qui arrivent ensuite (car ceux-ci se sont tous assis à leur place), celle du premier (car si elle avait été prise tout le monde aurait eu sa place ensuite) et celle du dernier (idem). Le kème n'a pas choisi une des n-k-1 places qui suivent car ceux-là se sont tous assis a leur place. Il lui reste comme choix la place du 1er ou du dernier, soit une chance sur deux.

Solution du livre :
On constate que la dernière place libre ne peut etre que celle du premier ou du centième passager sinon elle aurait été déjà prise. Les passagers, en s'installant, ne privilégient aucune des hypothèses : on pourrait échanger les numéros des places du 1er et du dernier passager, cela ne modifierait pas l'embarquement des 98 autres. Le centième passager a donc une chance sur deux de trouver sa place libre.

Solution d'un collègue :
Proposition Pn : Pour tout n>1 nombre de passagers, il y aura toujours une chance sur 2 pour que le dernier monté soit a sa place.
Init : si n=2 c'est ok.
heredite : supposons que Pk est vraie de 2 à n-1.
Demontrons que Pn est vraie.
On fait un arbre a trois branches
Le premier passager qui rentre a
* 1/n de s'asseoir à sa place dans ce cas tous seront assis à leur place le dernier y compris.
* 1/n de s'asseoir a la place du dernier. Dans ce cas celui-ci n'aura pas sa place.
* (n-2)/n chances de s'asseoir à une autre place. Ensuite les autres vont rentrer et s'asseoir a leur place sauf celui dont la place a été prise par le 1er. Celui-ci va s'asseoir au hasard et en utilisant l'hypohese de rec, on en deduit qu'alors le dernier a 1/2 chance de s'asseoir a sa place.
Bilan :
Proba que le dernier s'asseoit a sa place = (1/n)*1 + (1/n)*0 + (n-2)/n *(1/2) = 1/2

[Médiat]

Bonjour,

je voudrais ajouter un mot :

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Merci de cette très belle énigme

Bon d'accord, 6 mots.

[Garion]

J'ai une quatrième solution
En tant que bon fainéant d'informaticien, j'ai fait une simulation informatique avec 10 000 000 de tirage, ça a bien l'air de tendre vers une probabilité de

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50%

Pour ceux que ça intéresse, le code (en Delphi) :

unit Unit1;

interface

uses
  Winapi.Windows, Winapi.Messages, System.SysUtils, System.Variants,
  System.Classes, Vcl.Graphics,
  Vcl.Controls, Vcl.Forms, Vcl.Dialogs, Vcl.StdCtrls;

const
  NbDeTirages = 10000000;

type

  TplacesLibres = array [1 .. 100] of boolean;

  TForm1 = class(TForm)
    Button1: TButton;
    procedure Button1Click(Sender: TObject);
  private
    { Déclarations privées }
  public
    { Déclarations publiques }
    PlacesLibres: TplacesLibres;
    NbDeFoisOuleDernierEstALaBonnePlace: Integer;
    procedure Tirages;
    Procedure RendToutesLesPlacesLibres;
    function JeTrouveUnePlace(Position: Integer): Integer;
  end;

var
  Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  Tirages;
  ShowMessage(FormatFloat('0.############', NbDeFoisOuleDernierEstALaBonnePlace
    / NbDeTirages));
end;

procedure TForm1.Tirages;
var
  i, j: Integer;
  PlaceTrouvee: Integer;
begin
  NbDeFoisOuleDernierEstALaBonnePlace := 0;
  for i := 1 to NbDeTirages do
  begin
    RendToutesLesPlacesLibres;
    // Place au hasard le premier
    PlacesLibres[Random(100) + 1] := False;
    // Place les autres
    for j := 2 to 100 do
      PlaceTrouvee := JeTrouveUnePlace(j);
    if PlaceTrouvee = 100 then
    begin
      // Le centième est à la bonne place !
      inc(NbDeFoisOuleDernierEstALaBonnePlace);
    end;
  end;
end;

function TForm1.JeTrouveUnePlace(Position: Integer): Integer;
begin
  if PlacesLibres[Position] then
  begin
    // La place est libre
    PlacesLibres[Position] := False;
    result := Position;
  end
  else
  begin
    // La place n'est pas libre
    while True do // Hérésie sauvée par le Exit
    begin
      // J'en choisi une au hasard
      result := Random(100) + 1;
      if PlacesLibres[result] then
      begin
        // La place est libre
        // donc j'occupe la place et on sort
        PlacesLibres[result] := False;
        Exit;
      end
      else
      begin
        // Je dois en choisir une autre celle-ci est déjà occupée
      end;
    end;
  end;
end;

procedure TForm1.RendToutesLesPlacesLibres;
var
  i: Integer;
begin
  for i := Low(PlacesLibres) to High(PlacesLibres) do
    PlacesLibres[i] := True;
end;

end.

[Deedee81]

Salut,

Bravo pour le programme.

Je trouve aussi assez clair de procéder par dénombrement.
Considérons un avion avec trois place et trois passager. Places attribuées : là 1 à Monsieur 1, la 2 à 2, etc...

Cas possibles
1 prend la place 1, donc 2 prend la place 2, 3 prend la place 3 => OK avec probabilité p = 1/3
1 prend la place 2, 2 la place 1, 3 la place 3 => OK p = 1/6
1 prend la place 2, 2 la place 3, 3 la place 1 => KO p = 1/6
1 prend la place 3, KO p = 1/3

Donc pour les cas ok = 1/3 + 1/6 = 1/2
Et on voit bien pourquoi, on voit la manière dont se répartissent les cas donnant une probabilité 1/2.

On peut refaire le même exercice avec quatre places ou cinq. C'est pas très long. Et à chaque fois, hop p=1/2 et la raison est claire.

Puis par "induction" (guillemets car je triche, je ne l'ai pas démontré) p = 1/2 pour n = 100.
Et on voit bien pourquoi.

Je trouve ça plus intuitif, mais c'est peut-être ma manière tordue de voir les choses