gradient et mécanique des fluides

[invite246a3c55]

bonjour,
je viens de commencer la lecture de papiers de recherche sur la mécanique des fluides et j'ai une question.
En regardant les équations de Navier-Stokes ou d'Euler, l'opérateur nabla apparait.
Ainsi, a partir de l'opérateur nabla et appliqué à un champ vectoriel (ou scalaire), on obtient son gradient (j'espère que je ne me trompe pas dans mes explications).

Je voulais savoir ce que représente le gradient.

par la même occasion, que repésente les opérateurs divergence, rotationnel et Laplacien ?

Merci
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[invite1679091c]

salut,

tu souhaites une explication physique ou les formules ? Car pour les formules tout dépend du système de coordonnées adopté : (cartésien, cylindrique ou sphérique).

Futura

[invite246a3c55]

non, juste une explication physique.

[invite88ef51f0]

Salut,
Je vais essayer de te donner une interprétation physique approximative de ces différents opérateurs.

Le gradient est le plus simple de ces opérateurs, il représente la variation d'un champ selon chaque direction. Par exemple, si lorsqu'on monte en altitude de 100m la température diminue de 1°C, on parlera d'un gradient de température verticale de -0.01°C/m.
La divergence et le rotationnel sont des opérateurs un peu plus abstraits, mais leurs noms repésentent bien leur signification. Par exemple si tu prends une goutte infinitésimale, et que tu la fais "gonfler" sans la faire tourner, la divergence représentera ce "gonflement" alors que le rotationnel lui sera nul. Par contre si tu prends une goutte de taille fixée et que tu la fais tourner sur elle-même, la divergence sera nulle mais pas le rotationnel.
Par contre, pour ce qui est du laplacien, je ne connais pas d'interprétation physique... mis à part peut-être que c'est la divergence du gradient

Par contre, l'opérateur nabla n'est qu'un truc de physicien pour simplifier tout ça (impossible de se souvenir de l'expression du rotationnel sans lui), mais qui ferait peur à n'importe quel matheux. Il est déconseillé d'inventer de nouvelles formules avec (même si ça marche pour la plupart).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite246a3c55]

merci pour les explications.

pour une explication mathématique, j'ai trouvé ça :
http://www.geologie.ens.fr/~vigny/co...-gphy-mat.html

mais, il est vrai que ce n'est pas évident.

[invite1679091c]

salut,

tu as aussi par exemple pour les écoulements en méca flu ce que l'on appelle le vecteur tourbillon Omega> = (1/2) rot (v>) > ! si le rotationnel de ton champ de vitesses est nul, ton vecteur tourbillon sera nul. C'est une interprétation physique qui peut t'adier à matérialiser cette notion abstraite.

Futura qui espère avoir mis le 1/2 au bon endroit !

[invite246a3c55]

si j'ai bien compris, en physique, le gradient représente une variation.

Donc, le gradient de la vitesse serait la variation de la vitesse par rapport à x (mais aussi y et z ) ?

[invite88ef51f0]

Exactement

[inviteca4b3353]

Salut,

Pour être plus précis, le gradient est une quantité vectorielle qui apporte donc deux informations distinctes (direction et norme). Le gradient pointe vers la direction où la variation est la plus forte, et sa norme est l'intensité de la variation dans cette direction.

Au passage appliquer l'opérateur nabla sur un champ scalaire te donne le gradient, mais pour un champ de vecteur c'est plus subtil puisqu'il y a deux façons de combiner des vecteurs (nabla est lui même un vecteur enfin presque...). Si tu fais le produit scalaire de nabla avec un champ vectoriel, tu obtiens sa divergence, et si c'est le produit vectoriel, ça te donnera le rotationnel.

Le gradient de la vitesse d'ailleurs n'existe pas, puisque la vitesse est un champ vectoriel.

bonne journée !!

[inviteca6ab349]

Pour etre encore a peine plus precis, le vecteur gradient comprend trois infos:
-direction
-SENS
-et norme

le vecteur etant orienté dans le sens de croissance du champ scalaire.

[invite2c6a0bae]

Pour être plus précis, le gradient est une quantité vectorielle qui apporte donc deux informations distinctes (direction et norme). Le gradient pointe vers la direction où la variation est la plus forte, et sa norme est l'intensité de la variation dans cette direction.

Au passage appliquer l'opérateur nabla sur un champ scalaire te donne le gradient, mais pour un champ de vecteur c'est plus subtil puisqu'il y a deux façons de combiner des vecteurs (nabla est lui même un vecteur enfin presque...). Si tu fais le produit scalaire de nabla avec un champ vectoriel, tu obtiens sa divergence, et si c'est le produit vectoriel, ça te donnera le rotationnel.

Bonjour

Pour le premier §, est ce que tu pourrais me donner un exemple explicité. Par contre pour le second §, est ce que tu peux definir nabla, et champ scalaire... cela devrait m'aider a comprendre.
merci beaucoup Karibou blanc

[inviteca4b3353]

Salut,

Tout d'abord définissons un champ scalaire. Si on considère une grandeur pouvant prendre différentes valeurs selon la position dans l'espace, l'ensemble de toutes ces valeurs attachées à des points de l'espace est un champ scalaire. Le terme scalaire vient du fait qu'on associe seulement un nombre à un point donné et non un vecteur. Des exemples de champs scalaires usuels : la température, la pression, l'altitude (par rapport à une surface)... Comme champs vectoriels fréquemment rencontrés citons le champ électrique et son intime compagnon le champ magnétique.

Par essayer de voir ce qu'est un gradient, on peut prendre l'exemple de l'altitude. A tout point de la surface de la terre correspond une altitude qui dépend de ce point (la terre n'est pas lisse ). Si je me trouve à un point donné, autour de moi il y a des points d'altitudes différentes. Le gradient pointera dans la direction où la pente est la plus forte, et sa norme me donnera l'intensité de la pente ou la difficulté de la côte que j'aurai à monter.

Nabla est un opérateur différentiel vectoriel (pseudo vectoriel plus exactement, mais c'est une subtilité dont on peut pratiquement tout le temps se passer). En coordonnées cartésiennes (x,y,z), il s'exprime à l'aide des dérivées partielles comme cela : http://mathworld.wolfram.com/Gradient.html (c'est la troisième égalité sur cette page).

Je ne sais si ça va t'aider, si tu as d'autres questions je pourrais essayer de préciser.
Bonne journée !

[invite2c6a0bae]

re
Cependant, si on suppose que la pente sur ma droite est montante et que la pente sur ma gauche est descendante et que l'inclinaison de ces pentes soit identique(pour devant et derriere c'est plat) alors le gradian sera t il nul?

[inviteca4b3353]

Non, le gradient donne la direction pour laquelle la variation est la plus grande. La variation est à prendre entre des points immédiatement voisins autour du point considéré (où tu te trouves). Il pointera donc vers le haut. Dès l'instant où il y a une différence de valeurs en un point immédiatement à droite et un autre immédiatement à gauche, le gradient est non nul. Il ne faut pas comparer la variation entre le point où tu es et l'ensemble des points voisins, mais les voisins entre eux pour une direction donnée.

J'avoue que ce n'est pas limpide comme réponse, mais sans faire de dessins, je ne peux pas faire mieux

[invite2c6a0bae]

je pense que sa commence à venir

Si tu as le temps fait un dessin rapide sur paint et envoie le moi par mail
Oksoldier59@aol.com

Merci

[inviteca6ab349]

Salut,

en ce qui concerne le Laplacien, je le voit comme la variation de la variation ..... en fait en reprenant l'exemple de la pente, si lapente est constante, le gradient d'altitude est constant, le Laplacien est nul; si la pente augmente, le laplacien de l'altitude est positif etc..

J'espere que ca vous eclairera...

[invite2c6a0bae]

salut

si je saisi , le laplacien est la variation du gradien, ces notions me sont inconnus, il faut que je parte sur des beses solides...

[inviteca6ab349]

Salut,

je dirais ke c'est ca. Une petite précision tout de meme, il existe deux "formes" du laplacien selon qu'on l'applique a un champ scalaire ou vectoriel.
J'essaierai de poster un formulaire qui donne les formules dans la semaine si tu veux.
Une petite subtilité cependant, le laplacien scalaire (applique a un champ scalaire), je crois, est totalement affranchi de la notion de direction, donc du gradient....il somme en effet les derivées secondes sur chaque direction. Si on essaie de reprendre l'image de la pente(le champ scalaire etant l'altitude), si ta pente augmente dans la direction des x mais diminue a la meme vitesse dans celle des y, le laplacien de l'altitude sera nul.....
J'avoue ca peut paraitre un peu bizarre mais ca marche.

[invite246a3c55]

Une petite représentation graphique du gradient.
Je l'ai trouvé dans une note de cours.

[alaink]

Si on raisonne par analogie 3D/2D:

Le gradient est au champ ce que la derivee est a une fonction mathematique (elle rend compte de la variation de la valeur suivant les directions des axes).

Le laplacien correpond à la derivee seconde.

Le rotationnel et la divergence n'ont pas d'equivalent 2D a ce qu'il me semble...

Quelque chose que j'ai remarqué lors de mes etudes et qui m'a bien aidé: les equations de la mecanique des fluides et de l'electrostatique reposent sur les meme modeles mathematiques.

La pression(???) etant analogue au potentiel.
Le debit au courant.
Le gradient au champ electrique.
Le rotationnel au champ magnetique.
(a peu pres, car ca date un peu pour moi...)

Suivant que l'on est a l'aise dans un domaine, on peut se servir des analogies pour l'autre.

[invitec0352266]

Je me pose une question à ce sujet depuis quelque temps:

Dans un torseur, la résultante représente le côté translatif du mouvement, et le moment, son côté tourbillonant, donc y aurrait il une analogie résultante/divergent, moment/rotationnel ?

Merci