Méthode de variation de la constante (équa diff)

[invitea1b94408]

Bonjour,

j'ai une question concernant la méthode de variation de la constante pour résoudre une équation différentielle..
Ma question ne porte pas sur la manière d'appliquer cette méthode mais sur l'origine de cette méthode. En fait, je ne vois pas pourquoi on dit que l'on va faire varier la constante..Qu'est-ce qui justifie le fait que l'on va faire varier la constante, pourquoi la fait on varier.. Quelqu'un pourrait donc m'expliquer l'origine de cette méthode de la façon la plus simple possible?
J'espère que vous voyez le fond de ma question..

Merci, merci d'avance.

[invitea8d97425]

Bonsoir,

L'idée sous-jacente de cette méthode, c'est de se dire que les solutions de l'équation (linéaire) avec second membre vont "ressembler" aux solutions de l'équation homogène. Comme le terme de droite va perturber cette solution, on va faire varier uniquement les constantes (qui n'en seront plus), mais on reste sur la "base" des solutions de l'homogène, pour chercher des solutions proches. Après, on vérifie que ce raisonnement "physicien" donne bien toutes les solutions de l'équation.

[invitea1b94408]

donc en fait K(x) "traduit" le second membre, c'est ça?

[invitea8d97425]

C'est bien l'idée : la transformation de la constante en une fonction K(x) est là pour traduire l'influence du second membre. Néanmoins, il faut bien noter que cette méthose "intuitive" a bien une démonstration rigoureuse ; en faisant ça, on obtient bien toutes les solutions (cf. Cauchy-Lipschitz entre autres).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea1b94408]

d'accord merci