Tout dépend de l'axe de rotation dans l'espace : dans l'exemple que tu donne, la rotation est autour de l'axe z. Dans le repère tourné (x1,y1,z1), alors on aura z=z1, car z est l'axe de rotation, donc il est invariant.

Si maintenant la rotation est définie autour d'un vecteur quelconque, c'est plus compliqué. L'astuce consiste alors à scinder la rotation en trois rotation successives autour des axes du repères
.
Tu trouveras plus d'infos sur le web, notamment en infographie.