Calcul d'un volant d'inertie

[invited494020f]

Bonjour,
Ça fait un bail que mes formulaires de mécanique sont passés chez Gibert Jeune!
Pour les volants d'inertie une seule formule surnage: Moment d'inertie d'un disque plein: Ja=1/2 m*R2.
J'aurais besoin des formules de calcul des volants d'inertie suivantes:
Énergie cinétique en Joules emmagasinée en fonction de la vitesse de rotation d'un disque plein en acier (densité 7,8) de ce moment d'inertie Ja;
Contrainte de traction tangentielle au diamètre extérieur de ce même disque, en fonction de la vitesse de rotation.
C'est enfantin, mais que voulez-vous, j'ai oublié!
Merci d'avance paulb.

[invite55ed523b]

Tu y es presque.

Effectivement, le moment d’inertie est bien : J=1/2 m*R² (pour un cylindre plein)
Et l’énergie développée est : E=1/2 J*ώ² (oméga s’exprime en radians par seconde)

Ainsi, par exemple, pour un cylindre plein en acier, de 1 mètre de diamètre par 1 mètre de hauteur (soit 10 dm de diamètre par 10 dm de hauteur):

Masse : Pi * R² * h *d (densité) * g (9,81 m.s²)
soit : 3,1416 * 5 *5 * 10 * 7,85 * 9,81 = 60.482 N
(Dans ce calcul, j’utilise les décimètres pour les dimensions, ce qui donne un volume en litre et permet d’avoir directement la masse en Newtons)

J = 0,5 * 60452 * 0,5 *0,5 = 7560,3 N.m²
(Dans ce calcul-ci, j’utilise les mètres afin d’obtenir directement le moment d’inertie en N.m²)

Si on prend une vitesse tangentielle à la périphérie du cylindre de 1000 km/h
(donc inférieur à mach 1, pour éviter d’atteindre le mur du son. La vitesse de propagation du son dépend du milieu dans lequel il se propage et de la température. A 20°C, dans l'air, elle de 340 mètres par seconde soit 1 224 km/h. – sous vide, il est possible de passer cette barrière qui n’existe plus)

1000 km/h = 277,78 m/s
soit 555,56 rd/s (pour un cylindre d’1 mètre de diamètre - ce qui correspond à 5.305 tr/min)

E = 0,5 * 7560,3 * 555,56 * 555,56 = 1.166.711.699 joules soit 324 KW/h.

Soit un rapport puissance/poids de 52,57 W par kg.

Ce calcul est valable pour un cylindre plein, mais il est avantageux d'évider l'intérieur, puisque la masse au centre n'est pas très utile. Avec un cylindre d'1 mètre de diamètre extérieur et 0,7 mètre intérieur, on obtient un rapport puissance/poids de 78 W par kg à même vitesse de rotation.

Reste à calculer l’effet centrifuge que supporte le volant, c’est à dire l’accélération radiale qui se calcul avec les formules suivant : a_r = V²/R ou a_r = ώ² * R (ce qui revient au même).

Puis il faut comparer les valeurs avec la résistance des matériaux (en l’occurrence, ici, celle de l’acier)

Pour l’heure je n’ai pas le temps de faire ces calculs, mais ce que je puis dire, à titre d’exemple, c’est que dans un turbo de voiture, la périphérie des hélices est soumise à des contraintes beaucoup plus élevées.

[invited494020f]

Merci, kalywake de tes savants calculs. Presque tout y est, sauf la contrainte de traction tangentielle du volant. En général, les volants se résument à un anneau à section rectangulaire, puisque, comme tu le dis, un cylindre plein serait un gaspillage de métal! Et c'est la contrainte tangentielle qui limite la vitesse de rotation du volant et non la contrainte radiale. Pour cette raison c'est cette contrainte qu'il faut calculer. Dans mon souvenir, il faut faire l'intégrale finie de 0 à 90° de la composante de la force radiale perpendiculaire à la section considérée du volant et la diviser par la surface de cette section pour obtenir la contrainte tangentielle. J'ai passé l'âge de faire cette intégrale sans le risque de me gourer. Je préférerais trouver la formule dans un bouquin, ou la recevoir de toi, si tu l'as.
Dans ma jeunesse j'ai fait ce calcul maintes fois et je sais qu'on a des mauvaises surprises.
Amicalement paulb.

[invited494020f]

Cher kalywake,
J'ai retrouvé la formule! Elle est d'une simplicité extrême, mais dure à déduire (en fait elle ressemble à la formule permettant de calculer les tubes sous pression où la force centrifuge est remplacée par la pression):

c=d*V^2/10^6

Où c=contrainte tangentielle en kg/mm^2;
d=densité en kg (masse) par m^3;
V=vitesse tangentielle en m/sec.
( le coeff. est là à cause des mètres et les millimètres).

Il en résulte que la vitesse tangentielle maximum en fonction de la contrainte admissible est égale à

V=<10^3*(c/d)^0,5

Pour l'acier fondu, la contrainte raisonnable est de 15 kg/mm^2
Ceci donne:
1000*(15/7800)^0,5=~43,85 m/sec.

On est loin, très loin de tes 277,78 m/sec!
A cette vitesse tangentielle, il faudrait un acier dont la contrainte "raisonnable" serait de:

C=7800*277,78^2/1000000~=601,86 kg/mm^2

L'acier allié (nickel-chrome-vanadium, utilisé en outillage) le plus résistant a une limite élastique de 180kg/mm^2. Il autoriserait (à 120 kg/mm^2, à peine raisonnable) une vitesse tangentielle de:

V=1000*(120/7800)^0,5=~124 m/sec.

Mais je n'ose pas imaginer le prix que cela coûterait!

Dans ma prime jeunesse j'ai vu ce que ça fait, quand un simple volant de machine à vapeur (mal calculé, ou à cause d'une "bulle" mal placée) explose: un morceau a traversé deux étages plus le toit et a atterri presque un kilomètre plus loin.
Je ne souhaite pas pareille mésaventure à tes volants!
Amicalement paulb.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited494020f]

Rebonjour,
j'ai oublié de dire que vu mon âge, je préfère faire les calculs en Kg (force) qu'en Newton (qui est d'ailleurs une unité de force et pas de masse!)
Paulb.

[invite55ed523b]

Bonjour Paulb,

J’ai fait quelques calculs de mon coté (qui demandent à être vérifiés, c’est pourquoi je n’en écris pas le détail), et à première vue, pour l’exemple dont on parle, j’obtiens une contrainte tangentielle de 600 N par mm², ce qui correspond à la charge de rupture de l’A60, acier relativement ordinaire.

Par rapport à tes calculs, il y a un écart de 1 à 10, (l’un de nous aurait-il osé faire une erreur ). Donc tout ceci mérite d’être revue et corrigé. Mais, J’en conviens, il faut soit réduire les vitesses, soit augmenter les diamètres, soit utiliser des aciers alliés ou d’autres matériaux (mais c’est plus cher).

De plus, il y a quelques chose qui m’intrigue, comme je l’ai écrit dans un message précédent, les hélices d’un turbocompresseur sont soumises à des accélérations radiales beaucoup plus élevées. Pour preuve : une hélice fait un diamètre de 60 mm et tourne à plus de 100.000 tr/min. ce qui nous donne une vitesse tangentielle de 315 m/s, et son rayon n’étant que de 30 mm, il s’ensuit une accélération radiale plus de 20 fois supérieure ! De plus, elles sont soumises à de violentes accélérations axiales puisqu’elles sont capables de prendre plusieurs dizaines de milliers de tours/minutes par seconde. Par-dessus le marché, la forme de leurs pales génère un porte-à-faux qui n’aide pas à la résistance.

Ceci dit, en fouinant sur le net, on peut voir qu’il existe déjà des volants d’inerties en fonctionnement, dont les capacités se situent entre 50 et 100 W par kg.

Certes la formule des volants d’inerties n’est certainement pas la panacée, mais il y a là une voie, qui si elle est bien étudiée, peut s’avérer malgré tout intéressante.

Amicalement, kalywake.

[Quisit]

Hello !

et si tout simplement les volants étaient consitutés de différentes ceintures suivant la resistance et le cout de leur métaux, les plus solides à l'extérieur ?

Par ailleurs la photo du rotor des active power se présente sous forme d'un disque apparemment plein (mais c'ets peut être un carénage, nécéssaire si le disque n'est pas sous vide pour limiter la friction des "rayons" si le disque est anullaire)

[invited494020f]

Par rapport à tes calculs, il y a un écart de 1 à 10

Bonjour, kalywake,
Je vais à Canossa! C'est moi qui a fait l'erreur, j'ai oublié (!) de diviser les 7800 kg (force) par l'accélération terrestre, 9,81! Je reprends mes calculs:


c=d*V^2/10^6

Où c=contrainte tangentielle en kg/mm^2;
d=densité en kg (masse) par m^3;
V=vitesse tangentielle en m/sec.
( le coeff. est là à cause des mètres et les millimètres).

Il en résulte que la vitesse tangentielle maximum en fonction de la contrainte admissible est égale à

V=<10^3*(c/d)^0,5

Pour l'acier fondu, la contrainte raisonnable est de 15 kg/mm^2
Ceci donne:
1000*(15/795)^0,5=~137,36 m/sec.

On est moins loin de tes 277,78 m/sec.
A cette vitesse tangentielle, il faudrait un acier dont la contrainte "raisonnable" serait de:

C=795*277,78^2/1000000~=61,343 kg/mm^2

Dans ton calcul disant qu'un acier A60 suffirait, tu oublies qu'on ne peut pas dimensionner de telles pièces sans coefficient de sécurité qui, dans le cas de l'acier fondu est au moins de 2,5, pour tenir compte des "bulles" et des criques de refroidissement. Il faudrait donc bien un acier d'au moins 150 kg/mm^2 de rupture, hors de question.

Pour les hélices de turbocompresseur, c'est la contrainte radiale qui entre en compte et c'est leur épaisseur décroissante vers les extrémités qui sauve la situation. En plus, pour ces minuscules hélices on peut se permettre des matières les plus chères au kilo.

Les aubes des turbo-réacteurs sont aussi bien sollicitées et j'ai eu l'honneur de voir l'une d'elles prendre la tangente sur un Boeing, heureusement pas en direction de la cabine!
Amicalement paulb.

[invite55ed523b]

...Dans ton calcul disant qu'un acier A60 suffirait, tu oublies qu'on ne peut pas dimensionner de telles pièces sans coefficient de sécurité qui, dans le cas de l'acier fondu est au moins de 2,5, pour tenir compte des "bulles" et des criques de refroidissement. Il faudrait donc bien un acier d'au moins 150 kg/mm^2 de rupture, hors de question...

Je n'oublie rien ! Si tu as bien lu la suite de mon message :

...J’en conviens, il faut soit réduire les vitesses, soit augmenter les diamètres, soit utiliser des aciers alliés ou d’autres matériaux (mais c’est plus cher)...

Il est bien évident qu'il faut tenir compte d'un coefficient de sécurité, et qu'il faut même tenir compte non pas de la résistance à la rupture, mais de la limite élastique, qui est plus faible.
Par ailleurs, l’idée de Quisit, avec des ceintures utilisant différents matériaux peut s’avérer efficace.

[invite55ed523b]

Cela dit, nos calculs ne prennent en compte que la partie périphérique, qui, il faut bien se le rappeler, est rattachée aux couches internes qui participent à la résistance radiale. Finalement, peut être serait-il judicieux de faire des volants pleins, le centre participant ainsi à la résistance mécanique.

C’est aussi par rapport aux risques d’éclatement que je préconise de les enterrer.

L’usage de matériaux plus coûteux n’est pas forcément à exclure. Mais il est vrai que cela réduit l’intérêt du système. Cependant, qui dit coût plus élevé, veut simplement dire qu’il faut trimer plus pour un même résultat. Et pour l’avenir énergétique, entre choisir des solutions coûteuses ou ne rien faire et se retrouver à la rue, mon choix est fait.
C’est pourquoi il est important d’œuvrer dans les différentes voies de recherches qui s’offre à nous, avec pour optique le respect de notre planète même si cela peut passer pour du luxe pour certain.

[invite890ff058]

Bonjour,
Désolé de faire remonter ce sujet vieux de 2 ans mais je me suis un peu intéressé a ces volants et il y a peu de site sur le sujet.

kalywake a fait une erreur en confondant la masse (kg) et le poids (N) donc tout ses résultats sont "décalés" de 9.81.
Un tel volant d'inertie stocke donc 33KWh et a un densité énergétique de 5.35Wh/Kg
Si on prend un cylindre de diamètre intérieur 0.7m alors la densité monte a 7.98Wh/Kg ce qui reste très faible !

Concernant l'accélération radiale, on trouve des valeurs astronomiques ! 155 km/s² !

La formule de paulb (c=d*V^2/10^6) c'est pas homogène au niveau des unités.
La première application numérique était la bonne, je trouve ce résultat énorme !

Sur Wikipédia (http://en.wikipedia.org/wiki/Flywheel_energy_storage) il y a cette formule : effort tangentiel a la surface du cylindre = rho * r² * w² avec rho la densité du matériau et w la vitesse angulaire
Dans l'exemple on est a 606 000 (Quelle est l'unité ?)
Ils parlent de densité énergétique de 130 Wh/kg !

En construction amateur on peut espérer quelle densité énergétique et quelle énergie stockée ?

Merci

[invite890ff058]

Bonjour,
Je me suis apercu que la formule de wikipedia est la meme que celle de paulb !
Sauf que c est en N/mm² et non en kg/mm² comme le disait paulb, sa 2e application numerique est donc bonne : 62kg/mm²

Ce qui m'étonne le plus c'est l'acceleration radiale ! 15700g !

[harmoniciste]

Si on prend une vitesse tangentielle à la périphérie du cylindre de 1000 km/h
(donc inférieur à mach 1, pour éviter d’atteindre le mur du son.

Bonjour
Tant que le volant est une surface de révolution lisse, je ne vois aucun "mur" qui s'opposerait à dépasser la vitesse du son.

[inviteb669d8df]

Merci pour ces réponses... J'étais tellement obnubilé par calculer les énergies que je suis passé à coté du problème...

Quelques explications sur ce que je fais en ce moment... J'ai mon couple appliqué sur mon disque qui est calculé via un logiciel... Je cherche à optimiser le freinage pour qu'il n'agisse que pour une certaine plage (en fait, dans certaines conditions).

Le problème, c'est que tout se fait sous Excel... et c'est pas toujours simple ^^

En tout cas, merci beaucoup pour le petit coup de pouce qui remet sur la bonne voie