Carré réel

[inviteab2b41c6]

Salut,
lorsque j'étais en terminal, je me suis demandé pourquoi l'on avait que le produit de 2 nombres réels du même signe était positif, et négatif sinon, et je n'ai jamais eu ma réponse explicite...

Je me suis rendu compte qu'on nous l'a jamais démontré, et hier sur un forum, j'ai lu qu'un prof demandait en seconde une telle démonstration.
A mon avis, ca n'a pas de sens car c'est trop compliqué à ce niveau là d'avoir une démonstration rigoureuse.

J'aimerai savoir comment vous démontreriez ceci.
Ma démonstration passe par la complétude de R.

[inviteeecca5b6]

j'imagine que c'est pas en faisant:
-1 * -1 = 1 ??

[inviteeecca5b6]

Plus sérieusement, est-ce qu'il faut considérer "-" comme un opérateur ? Si on dit que c'est un opérateur défini comme suit:
= opposé de
Donc, maintenant il faut montrer que l'opérateur inverse de "-" est "-".
Ca se montre ca ou est-ce une définition ?

[invitec314d025]

C'est toujours la même chose avec ce genre de problèmes.
D'où est-ce qu'on part ? On reconstruit IR et on montre la propriété en chemin ? Ou on part d'une des manières de définir IR ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

Salut,
en fait je pars de l'existence de N, puis de Z, de Q, et je le complete pour arriver à R.

Sinon j'avais aussi montré ca par une méthode qu'expose Evil.Saien, c'est à dire que je prenais R comme anneau totalement ordonné.

[inviteeecca5b6]

Salut,
en fait je pars de l'existence de N, puis de Z, de Q, et je le complete pour arriver à R.

Sinon j'avais aussi montré ca par une méthode qu'expose Evil.Saien, c'est à dire que je prenais R comme anneau totalement ordonné.

Heu, si tu le dis... J'ai aucune idée de ce qu'est un anneau...

[invite39dcaf7a]

J'ai aucune idée de ce qu'est un anneau...

Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne + et ×. On dit que (A,+,×) est un anneau si :

* (A,+) est un groupe commutatif.
* × est associative.
* × est distributive par rapport à l'addition.

[inviteeecca5b6]

Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne + et ×. On dit que (A,+,×) est un anneau si :

* (A,+) est un groupe commutatif.
* × est associative.
* × est distributive par rapport à l'addition.

si j'ai bien compris c'est:
* a+b = b+a
* c*(d*e) = c*d*e
* a*(b+c) = a*b + a*c
?

[invite39dcaf7a]

si j'ai bien compris c'est:
* a+b = b+a
* c*(d*e) = c*d*e
* a*(b+c) = a*b + a*c
?

Oui, tout ça, c'est vrai dans R donc R est un anneau.

[invitec314d025]

il faut aussi les propriétés de groupe quand même.

[invite9c9b9968]

le mieux je pense c'est de dire que la construction de IR en fait un corps commutatif totalement ordonné (genre avec les sections commençantes ouvertes de Q par exemple) donc en particulier un anneau commutatif totalement ordonné, d'où la démonstration avec le fait que - (-a) = a (par définition de l'opposé d'un nombre)

[invite4793db90]

Salut,

- (-a) = a (par définition de l'opposé d'un nombre)

tout est là: quelque soit la construction de R, à moment ou à un autre on obtient sa structure de groupe (abélien).

[MODE=Je chipote] Ceci dit, dans un groupe, ça se démontre que -(-x)=x (ou (x^-1)^-1=x), la définition de l'opposé (ou inverse) étant sensiblement différente.


Cordialement.

[invite9c9b9968]

[MODE=Je chipote] Ceci dit, dans un groupe, ça se démontre que -(-x)=x (ou (x^-1)^-1=x), la définition de l'opposé (ou inverse) étant sensiblement différente.


Cordialement.

Non non tu ne chipotes pas tu as raison, j'ai été un peu vite

La définition de l'opposé dans un groupe additif (G,+) étant à x fixé "l'élément b dans G tel que a+x = x+ a =0", b étant noté -x, on a :

a+x = x+a =0 donc l'opposé de a est x ; ainsi, l'on a -a = x, mais a = -x, donc -(-x) = x.

Merci d'avoir chipoté, car il s'agit d'être précis et je ne l'avais pas été.

[Bobby]

Pour ce qui suit on va admettre que le produit de deux nombres positifs est positif.
Soient a et b deux réels positifs :

Alors 0 = a*0 = a(b-b) = ab+a(-b) <=> -ab = a(-b)

Le produit de 2 réels de signe contraire est donc négatif.

Pour le produit de deux négatifs le raisonnement est similaire :

0 = -a(b-b) = -ab + (-a)(-b) <=> ab = (-a)(-b) (donc positif car admis au début)

J'ai vu cette démonstration dans un cours de cinquième

[invite39dcaf7a]

j'imagine que c'est pas en faisant:
-1 * -1 = 1 ??

LOL ! Même un élève de collège pourrait dire ça, alors, ce n'est pas ce que doit attendre Quinto...

Mais tout simplement aussi : quand on multiplie par un nombre négatif, on "change" de sens donc quand on multiplie 2 nombres négatifs, on change 2 fois de sens ce qui revient au même donc un produit de 2 nombres négatifs est positif...

Je ne sais pas si c'est accepté comme démonstration...