Le rôle de la Torsion et de la Courbure en RG

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

ce message est presque identique à un autre posté dans la section des maths sup.

Dans un exo que je fais, on me demande de calculer certaines quantités, pour me faire la main.

Mon problème (s'il en est un, c'est ce que je cherche à savoir), c'est que la connexion affine définie sur me donne un tenseur de torsion non-nul et un tenseur de courbure non-nul, alors que les géodésiques que je trouve sont des droites.

Cela me surprends, et me fait douter de ce que signifie en réalité les concepts de courbure et de torsion (et aussi de mon calcul ).

Si ce qui me surprends ne vous surprends pas, vous seriez gentil de m'expliquer pourquoi. Si ça vous surprend et que vous pensez que mes calculs sont probablement faux, je les ai placés ici.

Merci infiniment,


Simon

[invite8915d466]

Salut Simon

je ne pense pas que ce soit impossible que tes géodésiques soient des droites de IR^3 , si ton espace est topologiquement équivalent et de coubure scalaire nulle (c'est le cas non?). En revanche le transport parallèle de vecteurs doit etre différent , ils doivent "tourner" en se déplaçant le long des géodésiques non? (je n'ai pas vérifié).

Cordialement

Gilles

[invite8ef93ceb]

Bonsoir,

après une petite recherche dans les livres que j'ai en ma possession, voici ce que j'ai trouvé :

"To say that space or spacetime or any other manifold is flat is to say that there exists a coordinate system {} in which all geodesics appear straight:

. (1)

(Example : Lorentz spacetime of special relativity, where test bodies move on such straight lines.) They can appear so if and only if the connection coefficients in the geodesic equation

,

expressed in the same coordinate system, all vanish:

(2)

From the vanishing of these connection coefficients, it follows immediately [voir l'équation du tenseur de courbure ici] that all the components of the curvature tensor are zero:

. (3)

[Geometric restatement of (1)(2)3 : For all geodesics to be straight in a given coordinate system means that initially parallel geodesics preserve their separation ; the geodesic deviation is zero; and therefore the curvature vanishes.]
Is the converse true? Does zero Riemann curvature imply the existence of a coordinate system in which all geodesics appear straight? Yes, as one sees by the following construction. [...]

Summary: Spacetime is flat -- i.e., there exist "flat coordinates" in which everywhere and geodesics are straight lines, -- if and only if ."
Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation, p.283 (1973)

Il y a définitivement un point que je ne comprends pas. MTW dit que les équations sont des droites si et seulement si tous les composantes de la connexion affine sont nuls:

.

Mais dans l'exemple que je donne, i.e. , les composantes de la connexions ne sont pas tous nuls, et pourtant, on obtient (cherchons l'erreur)

.

Par conséquent,

.

J'ai donc bien

.

J'ai un résultat qui contredit le MTW
Je dois m'être trompé... Ma seule porte de sortie, c'est que . Quelqu'un vois une explication potentielle?


Merci pour votre intéret,


Cordialement,

Simon

[invitea29d1598]

salut!

tiens, c'est marrant, j'étais persuadé d'avoir répondu à ce fil...

ou alors j'ai oublié d'envoyer ma réponse

bref. En résumé, je disais :comme te le montre l'équation des géodésiques, seule la partie symétrique de la connexion y joue un rôle. Or, là, tu as une connexion purement antisymétrique. Donc ta géodésique est bien une droite, pas de doute.

pour ce qui est de la torsion, elle est définie à partir de la partie antisymétrique. Donc trivialement, elle n'est pas nulle dans ton cas.

le "hic" (et ce qui fait que ce que tu trouves dans le MTW te semble bizarre), c'est qu'on peut se placer à plusieurs niveaux mathématiques face à tout ça. Généralement pour la RG on se restreint aux variétés riemanniennes où on a une métrique, pas de torsion par hypothèse (c'est pour le principe d'équivalence) et une connexion induite par la métrique compatible avec celle-ci. Donc dans ce cas, effectivement, tu obtiens bien une connexion symétrique (les Christoffel) et tu as des géodésiques droites SSI l'espace est plat.

Mais ton exo se place dans un cadre mathématique plus général où la notion de métrique et celle de connexion ne sont pas dépendantes. Concrètement (ici), tu autorises la connexion à ne pas être purement symétrique, donc tu sors du cadre de la géométrie riemannienne (lequel est suffisant en RG la plupart du temps). Ton espace n'est pas un espace riemannien, c'est une variété munie d'une connexion. D'ailleurs, quand tu as à la fois une métrique et une connexion mais n'es pas en géométrie riemannienne, faut faire attention car une géodésique riemannienne correspond à deux choses qui peuvent être séparées dans un cas général : les courbes autoparallèles ne sont plus nécessairement les courbes de distance extrémale...

ça m'étonne que ça soit pas abordé dans le MTW (je l'ai pas sous la main) tant il est vaste... mais sinon, dans le Straumann la différence est clairement faite si je me souviens bien.

ps: et comme le disait Gilles, l'effet d'une torsion est de faire tourner le vecteur au cours du transport parallèle

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51605009]

Muy muy interessante cette explication
Je note tout ca, c'est un peu plus que mon niveau mais c'est bon à retenir !

Merci pour la question Levesque effectivement elle soulevait un point interessant (j'avoue avoir un peu essayer de chercher d'où venait le problème...sans trouver malheuresement, mais ca a fait travailler quelques uns de mes neurones ).

[invite8ef93ceb]

Oui, tout à fait d'accord BioBen!

Donc, si j'ai bien compris, ce que dit le MTW sous-entends qu'on travaille toujours sur des espaces Riemanniens. Dans ce cas, leur affirmation suppose par définition que la torsion est nulle (pas de partie anti-symétrique dans la connexion). Donc, pas de problème avec ma solution, et pas de problème avec le MTW!

C'est très rassurant

Mais, malheureusement (ou heureusement!) j'avais noté une autre question à ce sujet, que j'espérais aborder après que la première soit classée. Et Rincevent me devance

Généralement pour la RG on se restreint aux variétés riemanniennes où on a une métrique, pas de torsion par hypothèse (c'est pour le principe d'équivalence)

Dans mes recherches des derniers jours sur la torsion, j'étais tombé là-dessus dans le MTW, sans qu'ils ne donnent de détail (MTW, p.250).

Un jour, dans un cours, ma prof a dit que la torsion devenait nulle à partir de maintenant, j'étais allé la voir à la fin pour lui demander pourquoi. Elle m'avait dit que c'était un postulat de la RG sans trop me donner de détail.

Évidemment, Rincevent, tu me fait beaucoup saliver sur une éventuelle explication (ou une bonne source!) sur le lien entre la torsion et le principe d'équivalence...

En tout cas, déjà, merci beaucoup pour tout ton aide! Et merci à tous ceux qui osent se mouiller!


Cordialement,


Simon

[mtheory]

Si la torsion n'est pas nulle tu tombes sur des théories de style Einstein-Cartan où l'on peut connecter la torsion avec une densité de spin.
Plus généralement si la torsion est nulle tu peux exprimer les coefficients de connexion affine (dit de Weyl) en fonction du tenseur métrique.
Tu obtiens alors des coefficients de Christoffell pur jus.
Dans les années 20/40 les tentatives de théories unitaires de la gravitation et de l'électromagnétismes cherchaient à se baser sur des généralisations de la géométrie de Riemann (où on avait une courbure et une torsion nulle).
Certains ont essayés une torsion sans courbure (Einstein-Mayer je crois) et une courbure avec torsion (Einstein-Schroedinger ?).
Dans ce dernier cas la géométrie était basée sur deux éléments indépendants,le tenseur métrique et la connexion affine (dérivée covariante).
C'est à l'origine des théories de jauges et des GUT avec les espaces fibrés car on cherchait une connexion affine avec un groupe de transformation suffisament large pour générer à la fois la gravitation et l'électromagnétisme.

[mtheory]

y a des choses intéressantes sur les tentatives de théories affines ici:

http://relativity.livingreviews.org/

http://relativity.livingreviews.org/...4-2/index.html

[invite8ef93ceb]

Si la torsion n'est pas nulle tu tombes sur des théories de style Einstein-Cartan où l'on peut connecter la torsion avec une densité de spin.

Ouais, vraiment intéressant tout ça... Merci pour les liens aussi!

on arrive toujours à trouver un tel système de coordonnées SSI la connection est symétrique... c'est-à-dire s'il n'y a pas de torsion

Ça me rappelle quelque chose j'ai vu ça ces derniers jours. J'essai de retrouver, en tout cas, ça répond bien à ma question

Ciao,


Simon

[invite8ef93ceb]

Bonjour, j'aimerais seulement esquisser la preuve selon laquelle une torsion non-nulle viole le principe d'équivalence. Mais tout ne me semble pas aussi évident.

Principe d'équivalence: Dans le voisinage de tout point p, il existe un système de coordonnées tel que

et .

Straumann, GR with application to astrophysics, (2004) p.597, dérive l'équation suivante

, (1)

où est la partie antisymétrique [ce sont mes mots] de la connexion : .

Supposons, pour le moment, que le principe d'équivalence est satisfait. Alors, le deuxième terme de (1) est nul () et on substitut :

Je ne suis pas certain de la suite, voici ce que je ferais, mais je doute:

Si c'est bien ça, je continue ma preuve plus tard... je dois aller travailler

Simon

[invitea29d1598]

Mais tout ne me semble pas aussi évident.

j'ai réalisé que je t'avais possiblement induit en erreur : il faut que la métrique soit plate en P mais dans le cas général (pas nécessairement riemannien) la deuxième condition ne porte pas exactement sur les dérivées de la métrique. La deuxième condition qu'impose le principe d'équivalence est l'existence d'un référentiel dans lequel le déplacement parallèle est trivial, ce qui signifie que lorsqu'on transporte un vecteur le long d'une courbe paramétrée, la dérivée covariante du vecteur par rapport au paramètre est égale à la dérivée partielle par rapport à ce même paramètre.

si tu mets ça en commun avec les calculs que tu as faits, tu vois venir le bout...

[invite8ef93ceb]

Bonsoir, je viens de voir tout ces nouveaux posts. Et ils m'amène (encore) des questions.

Certaines théories quantiques de la gravitation ne supposent pas une torsion nulle. Ma question est: on fait quoi du principe d'équivalence à petite échelle?

Je sais qu'il y a beaucoup d'expériences macroscopiques qui torturent le principe d'équivalence pour lui faire dire tout ce qu'il sait, mais qu'en est-il pour le microscopique (c'est surement difficile étant donné la faiblesse de la gravité à cette échelle)?

Est-ce qu'on suppose que la Torsion est quelque chose comme une correction? Ou à une certaine échelle, on peut admettre tous les ordres de grandeur (étant donné que, finalement, le rôle de la gravité est négligeable à cette échelle)? Est-ce qu'il faut choisir une Torsion dont l'effet peut être annulé par la faiblesse du champ gravitationnel?

Merci pour vos précisions là-dessus.

il faut que la métrique soit plate en P mais dans le cas général...

Merci, en revenant de Paris, aujourd'hui, j'ai fini le calcul sur un bout de papier.. et substituant C par son expression en terme de Gamma, je suis arrivé à Gamma=Gamma, ce qui m'a un peu déçu. Je regarde ça avec un nouveau regard.



Cordialement,

Simon

[invitea29d1598]

une éventuelle explication (ou une bonne source!) sur le lien entre la torsion et le principe d'équivalence...

c'est assez simple en fait : reviens à ce dont on a parlé dans l'autre fil sur le principe d'équivalence, c'est-à-dire son expression mathématique via l'existence d'un système de coordonnées tel que localement truc est égal à machin et bidule est nul. Bah en fait, tu peux montrer [c'est vraiment pas dur donc je te donne pas de réf, de toutes façons je suis pas sûr que connaître un endroit où c'est démontré ] qu'on arrive toujours à trouver un tel système de coordonnées SSI la connection est symétrique... c'est-à-dire s'il n'y a pas de torsion.

au passage, voici un papier intéressant sur les trucs à la Einstein-Cartan et leur lien avec la physique des milieux déformables :

http://xxx.arxiv.org/abs/gr-qc/0306029

[chaverondier]

Voici un papier intéressant sur les trucs à la Einstein-Cartan et leur lien avec la physique des milieux déformables : http://xxx.arxiv.org/abs/gr-qc/0306029

Très intéressant. Au passage, ce document confirme le sentiment que j'avais quant à la nécessité de tenir compte de la théorie d'Einstein Cartan en gravitation quantique. En effet, en raison de l'absence de torsion propre à la connexion de Levi-Civita, la Relativité Générale contient implicitement l'hypothèse de nullité de la densité volumique de spin. Cette approximation est valable pour modéliser la gravitation à notre échelle et elle reste même valable à de très petites échelles (telle que l'échelle nucléaire) mais elle ne l'est plus en dessous d'une certaine échelle (et dans des situations extrêmes où la densité de spin pourrait, semble-t-il, être amenée à jouer un rôle (1)). Je cite:

"Spin has no role in general relativity, that is, spin does not influence the geometry of space-time…From a purely geometric point of view, general relativity can be amended to include spin to determine the properties of space-time. This is done in the Einstein-Cartan theory, which is based on a generalization of the geometric structure of general relativity…

In Eqs. (34) and (35), together with the energy-momentum tensor T_alpha bêta, spin is introduced by the spin-current density tensor Sigma^gamma_alpha bêta. It is expected that differences are present inside a spin distribution…Trautman introduced a characteristic length to estimate the effects of torsion, the “Cartan” radius.

r_Cart = r_Planck^(2/3) r_Compton^(1/3)

where r_Planck =1.6 × 10^-33 cm is the Planck length, and r_Compt is the Compton length. For a nucleon we obtain r_Cart = 10^-26 cm, which is very small when compared with macroscopical scales, but it is larger than the Planck length. Hence, torsion must be taken into account to achieve a quantum theory of gravity."

BC

(1) "We expect spin effects to be of the same order as the mass effects when n_moy = m/Kappa hbar^2 (n_moy = nombre moyen de particules de spin 1/2 et de masse m par unité de volume et Kappa = 8 pi G/c^4 désigne la constante de proportionnalité de l’équation de champ d’Einstein) or, alternatively, when the matter density is 10^47 g cm^-3 for electron-like matter and 10^54 g cm^-3 for nucleon-like matter.

These are extremely high densities, which are never reached in normal situations, even in extreme astrophysical objects. However, while in normal conditions the effects of torsion are completely negligible, they are expected to be important in cosmology. For example, it has been shown that a spin fluid model could prevent the big bang singularity, even though at the same time, other models producing torsion would enhance the singularity."

[mtheory]

Petite remarque.
La supergravité N=1,D=4 est souvent présentée comme la théorie d'Einstein Cartan couplée à un champ de spineur (3/2) de Rarita-Schwinger.

[invite6f044255]

Très intéressant. Au passage, ce document confirme le sentiment que j'avais quant à la nécessité de tenir compte de la théorie d'Einstein Cartan en gravitation quantique. En effet, en raison de l'absence de torsion propre à la connexion de Levi-Civita, la Relativité Générale contient implicitement l'hypothèse de nullité de la densité volumique de spin.

C'est bien pour cela qu'en gravité quantique, on n'utilise pas la connection de Levi-Civita, mais plutôt des connections de spin.
Une des différences majeures est que la connection de Levi-Civita provient d'une métrique, contrairement aux connections de spin. Ces dernières sont donc très intéressantes pour les théories qui se veulent "background-independent".

[mtheory]

C'est bien pour cela qu'en gravité quantique, on n'utilise pas la connection de Levi-Civita, mais plutôt des connections de spin.
Une des différences majeures est que la connection de Levi-Civita provient d'une métrique, contrairement aux connections de spin. Ces dernières sont donc très intéressantes pour les théories qui se veulent "background-independent".

Euh...de mémoire les connexions de spin peuvent dépendrent aussi de la métrique non ?.
Il s'agit 'juste' des connexions affines ré-écrites pour des bases de tétrad nulles et donc permettant l'introduction du formalisme spinoriel en espace-temps courbe (quand c'est possible).
Le but initial étant d'écrire l'équation de Dirac en espace-temps courbe.
Par contre c'est vrai que les connexions spinorielles sont particulièrement adaptées pour faire du 'Background independent' comme Sen et Ashtekhar l'ont montrés .

[invitea29d1598]

Euh...de mémoire les connexions de spin peuvent dépendrent aussi de la métrique non ?

ça dépend si tu parles de la description d'une variété riemannienne (et donc par exemple du formalisme de la tétrade de la RG) ou d'une variété (théorie) plus générale. Dans un cadre général la connection est indépendante de la tétrade (et donc de la métrique). On a dépendance si on impose (par exemple) l'absence de torsion.

Il s'agit 'juste' des connexions affines ré-écrites pour des bases de tétrad nulles

dans le formalisme de la tétrade de la RG on ne travaille pas nécessairement avec une tétrade nulle.