Difficulté avec la notation complexe et la trigo

[invite8241b23e]

Bonsoir !

J'ai un soucis avec une correction d'un exercice pour passer de la première ligne à la seconde (il s'agit de la solution générale d'une équation différentielle). Voici ce qu'ils me disent :



en notation réelle (je ne sais même pas ce que ça veut dire)



Si quelqu'un pouvait me dire s'il y a beaucoup de ligne pour le calcul intermédiaire...

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Le fait ue A et B soient des vecteurs ne change rien à l'affaire, ce ne sont que des coefficients. C'est juste une manière d'acrire trois équations simultanées (en dimension 3, je veux dire).

Il suffit de savoir que, par définition, exp(ix) = cos(x)+i.sin(x). Ça se justifie par les développements en série entière de exp, sin et cos.
Après, l'exponentielle a toutes les propriétés habituelles, d'où:
exp(x+iy) = exp(x).exp(iy) = exp(x).[cos(y) + i.sin(y)]

Et voilà.

-- françois

[invite88ef51f0]

Salut,
Ca se fait bien, mais il vaut mieux partir de la fin. Je fais sauter les qui ne posent pas problème, et je prends pas la peine de mettre les flèches sur les vecteurs parce que j'ai la flemme.

Tu as donc
Tu regroupes :
Et tu poses et

C'est tout !

Bref, ta solution générale s'exprime en fonction de deux fonctions, mais tu peux dans une certaine mesure choisir lesquelles (une sorte de changement de base).

Si tu veux t'entraîner, fais la même chose dans l'autre sens : développe les exponentielles en sommes de cosinus et de sinus, mouline, et identifie a et b.

[invite8241b23e]

Merci fderwelt et merci mon canard !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Juste un truc : rajoute les "i" partout où je les ai oubliés (c'est-à-dire partout où y a des sinus)

[invite8241b23e]

oui oui, j'avais vu l'oubli... le truc, c'est que maintenant, ben je retombe pas sur la même expression. Je détaille les 3 lignes de mon calcul :




Ce qui donne :



Contrairement à ma correction, j'ai donc un i, moi...

Je suis bon pour la poubelle ?

[invite88ef51f0]

Si la correction dit "a et b réels" alors elle a faux, et tu peux te sortir de la poubelle pour l'y mettre...

[invite10a6d253]

la solution est à valeurs réelles si et suelment si les coeff a et b sont à coeff. réels, non ?

[invite10a6d253]

Autrement dit, si A et B sont à coeff complexes, b=i(A-B) peut très bien être à coef. réels...

[invite88ef51f0]

Effectivement, mais si les A, B, a et b sont tous réels, y a un i qui manque, non ?

[invite8241b23e]

Oula, je sens que j'ai pas fini d'en baver... Voici ce que dit ma correction :

en notation réelle (???)

Et si j'ai bien compris, il manque dans la correction un i devant mon , c'est ça ?



Edit : voilà Coincoin, on est d'accord... Est-ce que la phrase en rouge change quelque chose ? Il s'agit d'un mouvement d'oscillation, tout simplement...

[invite88ef51f0]

Ok, j'ai compris notre erreur !
Le "en notations réelles" signifie qu'on reprend la partie réelle pour revenir à quelque chose de physique. Donc il ne faut pas chercher à égaliser strictement les deux équations.

Du coup, les A et B sont complexes, tandis que a et b sont réels.

Une autre solution équivalente est un truc de la forme .

[invite88ef51f0]

Bref, en notations complexes, on a un truc du genre et quand on repasse en réels, on a : (où est la partie réelle) qu'on peut identifier à l'expression recherchée.