anneau polynomial

[invitecbade190]

Bonjour:
D'abord, je remercie beaucoup Taar pour ses reponses une après l'autre.
j'ai une autre petite question à vous poser:
Comment montrer qu'un corps fini a toujours pour cardinal : avec : : premier.
j'aimerai aussi que vous me clarifer en détail, ce qu'on entend par corps de rupture, corps de décomposition et corps des racines d'un corps.
et merçi infiniment !!

[invitecbade190]

Bonjour:
Pourriez vous me dire pourquoi si : et sont deux racines du même polynôme irréductible alors: avec: polynôme minimal de sur et : polynôme minimal de sur .
et merçi infiniment !!

[invite35452583]

Bonjour:
Pourriez vous me dire pourquoi si : et sont deux racines du même polynôme irréductible alors: avec: polynôme minimal de sur et : polynôme minimal de sur .
et merçi infiniment !!

Irr(a,K) divise f puisque f s’annule en a or f est irréductible donc Irr(a,K) est associé à f ou est un polynôme constant, ce dernier cas étant exclu Irr(a,K) et f sont associés et égaux si ils sont unitaires par exemple. Il en est de même pour b.

Bonjour:
D'abord, je remercie beaucoup Taar pour ses reponses une après l'autre.
j'ai une autre petite question à vous poser:
Comment montrer qu'un corps fini a toujours pour cardinal : avec : : premier.

Un corps fini est commutatif (théorème de Wedderburn, on considère le centre du corps, c’est un corps lui-même, est un sur-corps de ce centre, la finitude permet d’introduire les polynômes cyclotomiques, on regarde ça de près et on aboutit à ce que le centre soit distinct du corps lui-même est contradictoire), donc un corps fini est un ev de dimension finie pour n’importe quel de ses sous-corps, en particulier son corps premier.
F : Z->K l’unique morphisme d’anneau qui applique 1 sur l’unité de k est non injectif car K est fini, son noyau est de la forme pZ. F passe au quotient F’ : Z/(p)->K comme F’ est injective et K intègre Z/(p) est intègre donc p est premier, donc Z/(p) est un corps, et donc l’image de F’ est un corps contenant 1 donc inclus dans le corps premier, mais comme p est premier il ne peut y avoir un sous-corps à celui-ci donc est le corps premier. Le corps premier est donc isomorphe en tant que corps à Z/(p) et Cette notion un surcorps commutatif d’un corps K est aussi un ev sur ce corps est très importante. Le degré de l’extension [L :K]=dim_K(L) (ceci pour fixer la notation qui diffère parfois)

j'aimerai aussi que vous me clarifer en détail, ce qu'on entend par corps de rupture, corps de décomposition et corps des racines d'un corps.
et merçi infiniment !!

Corps de rupture :
Un corps de rupture d’un corps K pour un polynôme P de K[x] est un corps contenant au moins une racine de K.
N’importe quel corps K est corps de rupture pour n’importe quel polynôme de degré 1, mais ce n’est pas très intéressant. Le cas très intéressant est le suivant : soit a un élément d’un surcorps L de K, et soit P le polynôme minimal de a (càd (P) et le noyau de l’application K[X]->L qui à R associe R(a)).) alors K(a)=K[a] est un corps de rupture de K isomorphe à K[X]/(P). Je suppose que tu en as la démo qui considère le morphisme d’anneau donné ci-dessus et exploite le fait essentiel que si P est irréductible alors K[X]/(P) est un corps.
Cet exemple est en fait générique :
Si P est irréductible on a : tout corps de rupture L de K contient un sous-corps K-isomorphe (l’isomorphisme laisse invariant les éléments de K) à [X]/(P).
En effet, soit a une racine de P dans L (existe car L est ..) on peut construire alors le morphisme ci-avant, passer au quotient qui est nécessairement (P) car le polynôme minimal de a divise P ,car a annule P, mais P est irréductible d’où égalité entre le noyau et (P).
Exemples : K=Q P=X^3-2
i) R est corps de rupture car contient a'= (a' vaudra toujours ce nombre désormais), R contient un exemplaire Q[a'] isomorphe à
ii) C est corps de rupture car contient a', ja' et j²a' (où j est une racine cubique de l’unité non égal à 1 donc une racine primitive). C contient trois sous-corps isomorphes à : Q[a'], Q[ja'], Q[j²a']
iii) Q[a']=Q(a')=Q+Qa'+Qa'² sous-corps de R (et de C)
Question de vocabulaire, un corps de rupture mono-engendré K(a) avec P le polynôme minimal de a est souvent appelé le corps de rupture de K pour P (car ils ont pouvoir être distincts, ex : Q[a'] et Q[ja'], ils sont K-isomorphes en tant que corps. K[X]/(P) avec P irréductible en est un exemple, pour a=X. Le degré de l’extension de K(a) par rapport à K est deg(P) (il suffit de calculer ce degré pour K[X]/(P) pour lequel le calcul est aisé).
Si P est un polynôme quelconque alors tout corps de rupture L de K contient un sous-corps K-isomorphe (l’isomorphisme laisse invariant les éléments de K) à [X]/(Pi) où Pi est un facteur irréductible de P. (formulation juste qui englobe le cas précédent, le facteur Pi est alors unique à multiplication d'un scalaire, élément de K, près)
En effet, soit a une racine de P, comme P est produit de facteurs irréductibles, qu’appliquer en a ce polynôme s’annule et que K est intègre a est racine d’un des facteurs irréductibles, le surcorps est alors corps de rupture de Pi et on est revenu au cas précédent.
Exemples : K=Q,
i) Q[a'], Q[ja'], Q[j²a']
ii) Q[i]
iii) R
iv) C qui contient 3 exemplaires isomorphes à et un exemplaire isomorphe à

Corps de décomposition :
Un corps de rupture L d’un corps K pour un polynôme P contient au moins une racine de P (mais pas seulement , exemple : R et C dans les exemples ci-dessus) mais P n’est pas nécessairement scindé dans L. Néanmoins si on ajoute une 1ère racine a, on a dans K[a] P=(X-a)R avec R un polynôme de K(a)[X] de degré moindre que P (éventuellement partiellement scindé, non nécessairement irréductible même si P l’est). (exemple : X^3-2=(X-a’)(X²+a’X+a’²) ). Si R est scindé c’est fini, sinon on ajoute une nouvelle racine et ainsi de suite, le processus s’arrête car on diminue progressivement le degré qui est fini au départ. On aboutit à la fin à
Un surcorps L de K pour lequel P est scindé et qui est uniquement engendré (comme surcorps de K) par les racines de P, un tel corps est appelé le corps de décomposition de P de K. (qui est de degré au plus égal à n !)
Pourquoi « le » ? parce que la structure de surcorps de K de tels corps est unique.
Idée de la preuve : si L et L’ sont deux tels corps, soit a1 une racine de P, et R=Irr(a1,K), R divise P donc P=R.S, or P est scindé dans L’, on a R.S=(X-b1)(X-b2)…(X-bn) n étant le degré de P, seuls deg(S)(<n) racines de P sont racine de S, il y a donc deg(R) racines de R dans L’ donc au moins une b. On peut alors construire un K-iso de f :K[a1]=K(a1), sous-corps de L, sur K(b1)=K[b1] surcorps de L’. On a P=(X-a1)P1, P=f(P) car P est un polynôme à coeff dans K, P=f((X-a1)P1))=(X-b1)f(P1) on peut alors recommencer ce qui précède dans un cas un tout cas un tout petit peu plus délicat (car K[a1] et K[b1] ne sont plus égaux mais seulement K-isomorphe mais cela ne gène pas énormément). Etc… à la fin P est scindé des deux côtés, on un iso entre K[a1,…,am] sur K[b1,…,bm] avec ces deux corps égaux à L et L’ car L et L’ ne sont engendrés que par les racines de P.

Des exemples concrets
Dans tout ce qui suit évites de généraliser trop vite, la question est de savoir quand est-ce que cela se comporte aussi bien que ce qui précède (la réponse est quand même « « souvent » »). Mais je les ai fait car j’ai l’impression que ton cours est un peu trop théorique et ne vous montre pas les premiers résultats importants auxquels la théorie va aboutir.
Un 1er exemple de corps de décomposition : le corps de décomposition L de Q pour X^3-2. Comme il y a unicité du corps de décomposition il est très avantageux de se placer dans un surcorps pour lequel P est déjà scindé, C pour Q par exemple, le corps de décomposition est alors K(a1,…,an) où les ai sont les racines de P.
Ici, on a a’, ja’ et ja’² qui sont racines. Donc j=(1/2).(ja’)(a’)² est dans L. Cet élément j est de degré 2 par rapport à Q, donc de degré 1 ou 2 par rapport à Q[a’] mais j n’y appartient pas donc de degré 2. Q[a’][j] est donc de degré 2 par rapport à Q[a’] et donc de degré 6=3x2 par rapport à Q donc égal à L qui est de degré au plus 3 !=6.
Regardons de plus près ce corps. Ce qui précède a fait apparaître un élément de degré 2, donc un sous-corps Q[j] de L de degré 2 par rapport à Q, [L :Q[j]]=3.
Y en a-t-il d’autres de degré 2 ? L’argument le plus rapide pour répondre non, sans argument théorique plus sophistiqué, doit être le suivant : si Q[h] est un autre sous-corps de degré 2, on a h qui n’est pas dans Q[i], sinon Q[h]=Q[i], h est de degré 2 par rapport à Q donc de degré au plus 2 par rapport à Q[i] don égal à 2. Ainsi [Q[i][h] :Q] =[Q[i][h] :Q[i]][Q[i] :Q]=4, mais 6=[L:Q]=[L:Q[i][h]].[Q[i][h]:Q] d’où 4 divise 6 ce qui est absurde.
On a trois racines du polynôme irréductible de degré 3 ^3-2 dans L, d’où trois sous-corps (Q-isomorphes) de degré 3, par rapport à Q, dans L. Peut-il y en avoir d’autres ?
Soit M un corps intermédiaire entre Q et L de degré 3 par rapport à Q. Si a’ est dans M alors Q[a’] est inclus dans M et M=Q[a’] pour une raison de degré. Sinon, M(a’) contient strictement M donc de degré >1 par rapport à M et est inclus dans L donc [M(a’)/M] divise [L :M]=2 donc [M(a’) :M]=2, a’ est de degré 2 ainsi que son polynôme minimal R=Irr(a’,M). Comme X^3-2 s’annule en a’, on a R divise X^3-2 dans M[X], X^3-2=RS avec deg(S)=deg(P)-deg(R)=1. S a donc une racine dans M, mais cette racine est aussi racine de X^3-2 donc est égal à ja’ ou j²a’, un de ses éléments a’’ est dans M et M=M(a’’), on est retourné à un cas similaire où a’ est dans M.
Pour les autres éléments de L qui ne sont ni dans Q[i], ni dans Q[a’], ni dans Q[ja’] ni dans Q[j²a’], leur degré par rapport à Q divise 6 mais on vient de voir qu’il n’est égal ni à 2, ni à 3 et certainement pas à 1 donc est égal à 6. L=Q[c] pour n’importe lequel de ses éléments donc est un corps de rupture pour leurs polynômes minimaux. (Un corps de décomposition a beau ne pas être un corps de rupture pour un sous-corps et pour le polynôme minimal d’un de ses éléments, (a’ par exemple), il peut très bien l’être pour d’autres éléments, c’est toujours le cas en caractéristique 0 et pour les corps finis du moment que l’extension soit finie, c’est le théorème de l’élément primitif).
On peut alors se poser la question : L est-il corps de décomposition pour ces éléments de degré 6. La réponse est : oui.
Pour montrer cela il faut construire le groupe de Galois de ce corps.
Il existe un Q-automorphisme de L tel que a’->ja’->j²a’ j et j² sont in variants.
En effet, on a L=Q(j)(a’) avec Irr(a’,Q(j))=X^3-2 donc on a un Q(j)-iso f : Q(j)[X]/(X^3-2) sur L qui envoie X sur a’. De même on en a un g : Q(j)[X]/(X^3-2) sur L qui envoie X sur ja’. H=gof* (f* réciproque de f) est un Q(j)-auto de L donc un Q-automorphisme de L qui envoie a’ sur ja’, envoie ja’ sur j.(ja’)=j²a’, envoie j²a’ sur j²(ja’)=a’ et laisse invariant j et j². Le degré (en tant qu’élément du groupe de Galois) est trivialement égal à 3.
Il existe un Q-automorphisme de L tel que a’ est invariant ja’<->j²a’ j<->j².
En effet, on peut adapter ce qui précède mais il est plus rapide de dire que la conjugaison complexe est un R-automorphisme de C qui préserve L donc sa restriction est un Q[a’]-automorphisme de M, ce morphisme convient évidemment bien.
Y a-t-il d’autres éléments du groupe de Galois : non, les deux éléments précédents engendrent un groupe isomorphe à S3 dont son application dans S(a’, ja’, j²a’) est un iso de groupe. Un automorphisme permutte aussi a’, ja’, j²a’ de la même manière qu’un des éléments précédents, s’ils sont égaux sur {a’,ja’,j²a’} ils sont égaux sur Q(a’,ja’,j²a’)=L donc égaux.
Les éléments invariants des sous-groupes de galois sont :
Pour {id} (indice 6) tout le corps L (degré 6)
Pour l’unique 3-cycle (indice 2) le corps Q[j] (degré 2)
Pour les 3 2-cycles conjugués (indice 3) les 3 corps conjugués Q[a’], Q[ja’], Q[j²a’] (degré 3)
Pour S3 lui-même le corps de base Q (degré 6).
Revenons à nos éléments de degré 6. Pour un élément quelconque, x de L, et si on note fi (i=1,…,6) les 6 éléments du groupe de Galois, le polynôme (X-f1(x))(X-f2(x))…(X-f6(x)) est invariant pour le groupe de Galois qui ne fait que permuter les 6 facteurs de ce polynôme, les coefficients d’un tel polynôme sont donc invariants pour le groupe de Galois et sont donc dans Q.
De manière assez évidente, on a :
j->(X²+X+1)^3
a’->(X^3-2)²
q->(X-q)^6 pour q rationnel
Ces polynômes ont des racines multiples mais sont des puissances des polynômes minimaux de ces éléments qui n’ont pas de racines multiples.
Pour un élément de degré 6, le polynôme défini ci-avant s’annule en x donc divise son polynôme minimal qui est lui aussi de degré 6 donc est son polynôme minimal (si on impose à celui-i d’être unitaire). On peut remarquer aussi que tous les fi(x) sont distincts puisqu’on a vu qu’il n’est dans aucun des sous-corps invariants des fi, donc le polynôme n’a aucune racine multiple.
Attention : les polynômes minimaux pour tous les éléments de L sont scindés dans L[X] mais L n’est pas le corps de décomposition de tous ses éléments (je te laisse trouver lesquels).

2ème exemple (beaucoup plus simple et court) : K=Q, P=X^4+X^3+X2+X+1
Le corps de rupture L de P est aussi corps de décomposition, en effet si a est une racine de P alors les autres racines sont a², a^3 et a^4 (P=(X^5-1)/(X-1) a est une racine 5ème de l’unité, toutes ces puissances en sont et comme (X^5-1)=5X^4 X^5-1 n’a que des racines simples ainsi que P, a, a2, a^3 et a^4 sont donc distincts).
Après un exemple où la décomposition est la plus longue possible, un exemple où elle est la plus courte possible.
Le groupe de Galois est composé de Q-automorphisme qui envoie a sur une de ses puissances premières avec 5, on a alors facilement que c’est un 5-cycle.
Il n’ a pas de sous-groupes autres que lui-même et {id}. On peut constater directement que pour un élément x de L, [Q(x) :Q] divise [L :Q]=5 donc est égal à 1 (cas des rationnels) ou égal à 5 (cas des irrationnels). Il n’y a donc pas d’autres sous-corps que Q et L.
Le sous-corps des invariants pour un élément du groupe de Galois est soit L (élément=id) ou Q (les 4 autres). Donc, les éléments invariants pour le groupe de galois en entier sont les seuls éléments de Q. Donc, (X-f1(x))…(X-f5(x)) est un polynôme dans Q(X) qui est le polynôme minimal de x. L est corps de décomposition de tous ses éléments non rationnels.

[invite35452583]

3ème exemple : un corps fini est corps de décomposition de son corps premier pour X^n-X
On pose n=card(k), c’est une puissance d’un premier comme on l’a vu.
En effet, tout élément x non nul est membre des inversibles du groupe multiplicatif (k*,x) donc . Donc x est racine de et de (qui est s’annule aussi en X=0). Ce dernier polynôme de degré n, à coefficients dans le corps premier , a donc n racines distinctes dans k, il y est donc scindé et est engendré par le corps premier et les racines (il ne contient rien d’autres que les racines d’ailleurs).
Le théorème de l’élément primitif est vérifié K=Fp[a], pour cela on montre que k* est cyclique (raisonnement sur les polynômes cyclotomiques, qui jouent un rôle très importants mais un peu long à mettre en place, ou raisonnement sur le nombre d’éléments de degré <n-1, pour un degré m diviseur de n-1, il n’y en a pas plus que m car n’a au plus que m racines, on compare avec un groupe cyclique d’ordre n-1, on constate qu’il y en a donc pas plus de tels éléments que dans un tel groupe les éléments d’ordre n-1 sont donc au moins aussi nombreux donc il en existe au moins un et donc k* est cyclique, et les nombres précédents sont donc exactement égaux).
Il existe donc un élément générateur de k* comme groupe, mais alors un tel élément dans k engendre un corps contenant tous les éléments non nuls donc engendre k en entier. N=p^m, leurs polynômes minimaux (il y en a en général plusieurs) sont donc de degré m.
Un Fp-automorphisme est totalement déterminé par l’image de a qui est une autre des racines du polynôme minimal Pa de a qui est de degré m (et qui n’a que des racines simples car n’a que des racines simples) donc ordre<=m. On a vu que pour un corps de rupture (ici L=Fp[a] Fp-iso à Fp[X]/(Pa)) on peut toujours envoyer par K-automorphisme une racine sur une autre racine don ordre>=m. Donc l’ordre du groupe de Galois est égal à m.
...
Je ne sais plus la structure du groupe de Galois mais je pense qu'il est cyclique, Taar doit savoir celà.

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