Propriétés d'un ensemble d'entiers

[invite7afb8ae6]

Soit un ensemble fini E d'entiers tel que, pour tout nombre premier p, le nombre d'élément de E congrus à p-1 modulo p et celui d'éléments congrus à (p-1)/2 sont égaux.
Peut-on on en deduire d'autres propriétés sur E ou ses éléments ?
J'ai la sensation que oui vu que l'on peut construire un nombre de conditions infini pour un ensemble fini, mais je ne trouve pas...

[Médiat]

J'ai la sensation que oui vu que l'on peut construire un nombre de conditions infini pour un ensemble fini, mais je ne trouve pas...

Mis à part que tu dois exclure 2 des nombres premiers, je ne comprends pas cette dernière phrase.

[invite7afb8ae6]

Il est vrai que dire que le nombre des entiers pairs est égal à lui-même n'apporte pas grand chose.

Les conditions sont
card (x dans E, x=3k+1) = card (x dans E, x=3k+2)
card (x dans E, x=5k+2) = card (x dans E, x=5k+4)
...
card (x dans E, x=pk+(p-1)/2) = card (x dans E, x=pk+p-1)
...
p pouvant prendre une infinité de valeurs et card(E) étant fini, en tant que mécanicien j'ai tendance à penser que le nombre de degré de liberté étant inferieur au nombre de contraintes à priori indépendantes, l'ensemble des solutions devrait être de dimension 0 par rapport l'ensemble des E possibles.
C'est cet ensemble de solution que j'essaie de caractériser.

[invité576543]

p pouvant prendre une infinité de valeurs et card(E) étant fini, en tant que mécanicien j'ai tendance à penser que le nombre de degré de liberté étant inferieur au nombre de contraintes à priori indépendantes, l'ensemble des solutions devrait être de dimension 0 par rapport l'ensemble des E possibles.
C'est cet ensemble de solution que j'essaie de caractériser.

Le nombre de contraintes n'est pas réellement infini. Si M est le max de l'ensemble, alors tous les premiers strictement supérieurs à 2M +1 n'interviennent pas.

Si j'ai bien compris l'énoncé, {1, 2, 4} est solution, non?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Si j'ai bien compris l'énoncé, {1, 2, 4} est solution, non?

Non. Me suis gouré, même en excluant p=2.

Cdlt

[invite7afb8ae6]

il faut effectivement exclure p=2, la condition correspondante n'a pas de sens.

[Médiat]

Il y a aussi des ensembles comme {7} ou {13}, bref {p} où p + 1 n'est pas premier et 2p + 1 non plus.

[Médiat]

Il y a aussi des ensembles comme {7} ou {13}, bref {p} où p + 1 n'est pas premier et 2p + 1 non plus.

Et ben non : c'est une c*rie

Il me semble que les questions suivantes sont intéressantes :
Si A et B sont de tels ensembles en est-il de même de

• A inter B
• A union B
• A - B
• Est que pour tout sous-ensemble fini A de , il existe un sous-ensemble fini B tel que A inclu dans B et B vérifie les conditions ; Existe-t-il un sous ensemble minimal vérifiant cela ?

[invité576543]

Il me semble que les questions suivantes sont intéressantes :
Si A et B sont de tels ensembles en est-il de même de
[*]A inter B[*]A union B[*]A - B

Oui, mais à condition de considérer l'ensemble vide comme solution (ce qu'il est formellement).

[*]Est que pour tout sous-ensemble fini A de , il existe un sous-ensemble fini B tel que A inclu dans B et B vérifie les conditions ; Existe-t-il un sous ensemble minimal vérifiant cela ?

C'est évident si l'ensemble vide est solution

Cordialement,

[Médiat]

Oui, mais à condition de considérer l'ensemble vide comme solution (ce qu'il est formellement).
C'est évident si l'ensemble vide est solution

Euh... Je ne vois pas en quoi dire que l'ensemble vide est solution (ce qu'il est) entraîne la stabilité par intersection, union, et différence, l'existence pour tout ensemble d'un sur-ensemble solution, et l'existence dans ce cas s'un sur-ensemble minimal.

Désolé, mais je ne comprends pas, peux-tu développer ?

Je précise que par existence d'un sur-ensemble minimal, je veux bien dire l'existence d'un seul sur-ensemble ayant le plus petit cardinal, sinon cela n'a aucun intérêt.

[invité576543]

Euh... Je ne vois pas en quoi dire que l'ensemble vide est solution (ce qu'il est) entraîne la stabilité par intersection, union, et différence, l'existence pour tout ensemble d'un sur-ensemble solution, et l'existence dans ce cas s'un sur-ensemble minimal.

Désolé, mais je ne comprends pas, peux-tu développer ?

Je ne voulais pas dire que c'était une condition suffisante, mais que c'était une condition nécessaire.

La stabilité est due à ce que le problème est en termes de cardinaux de sous-ensembles définis par une propriété. N'est-ce pas suffisant?

Je précise que par existence d'un sur-ensemble minimal, je veux bien dire l'existence d'un seul sur-ensemble ayant le plus petit cardinal, sinon cela n'a aucun intérêt.

J'avais mal lu la question...

Cordialement,

[invite35452583]

Pour ma part, j'ai gardé 2 ce qui exclut les impairs. J'ai pu trouver {2,4} {6,12,24} (et donc {2,4,6,12,24}). Ce sont les seuls avec des nombres pairs dont le max est inférieur à 36. Cette recherche à la main ne m'a pas permis de trouver quelque chose d'un peu général par contre.